Examkin

Question

Difficulty: HardDörtgenler

Kısa kenarı ∣AB∣=12|AB| = 12 cm, uzun kenarı ∣BC∣=18|BC| = 18 cm olan ABCDABCD dikdörtgeni biçimindeki bir kağıt, [AC][AC] köşegeni boyunca katlanıyor. Katlama işlemi sonucunda DD köşesi D′D' noktasına gelmekte ve [AD′][AD'] kenarı ile [BC][BC] kenarı KK noktasında kesişmektedir.

Buna göre, oluşan AKCAKC üçgeninin alanı kaç cm2\text{cm}^2'dir?

  1. A
    54
  2. B
    72
  3. 78Answer
  4. D
    90
  5. E
    108

Answer

Oluşan AKC üçgeninin alanı 78 cm²'dir.
Katlama işlemi açıortay oluşturur ve dikdörtgenin paralelliği ile birleşince AKCAKC üçgeninin ikizkenar (∣AK∣=∣KC∣|AK|=|KC|) olduğu görülür. Pisagor bağıntısı ile ikizkenar üçgenin eş kenarlarının uzunluğu 13 cm bulunur. Tabanı 13 cm ve yüksekliği 12 cm olan üçgenin alanı 78 cm² olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Katlama özelliğini ve açıları analiz et
Katlama nedeniyle m(DAC^)=m(D′AC^)m(\widehat{DAC}) = m(\widehat{D'AC}) olur. Ayrıca dikdörtgenin karşılıklı kenarları paralel olduğundan (AD//BCAD // BC), iç ters açılardan (Z kuralı) m(DAC^)=m(ACB^)m(\widehat{DAC}) = m(\widehat{ACB}) olur. Dolayısıyla m(KAC^)=m(KCA^)m(\widehat{KAC}) = m(\widehat{KCA}) olur.
Katlama simetrisi ve paralellik özelliklerini kullanarak üçgenin türünü belirlemek için.
2
Oluşan üçgenin ikizkenar olduğunu belirle ve bilinmeyenleri tanımla
Açıların eşitliği nedeniyle AKCAKC üçgeni ikizkenardır, yani ∣AK∣=∣KC∣=x|AK| = |KC| = x diyelim. KK noktası [BC][BC] üzerinde olduğundan, ∣BK∣=18−x|BK| = 18 - x olur.
Uzunlukları bulmak için denklemi kurmaya hazırlık.
3
ABK dik üçgeninde Pisagor bağıntısını uygula
ABKABK dik üçgeninde (∣AB∣=12|AB|=12): 122+(18−x)2=x212^2 + (18-x)^2 = x^2 denklemi kurulur. 144+324−36x+x2=x2⇒468=36x⇒x=13144 + 324 - 36x + x^2 = x^2 \Rightarrow 468 = 36x \Rightarrow x = 13 cm bulunur.
AKCAKC üçgeninin taban uzunluğunu (∣KC∣|KC|) bulmak için.
4
AKC üçgeninin alanını hesapla
Alan formülü: Taban×Yu¨kseklik2\frac{Taban \times Yükseklik}{2}. Taban ∣KC∣=13|KC| = 13 cm, bu tabana ait yükseklik dikdörtgenin kısa kenarı olan ∣AB∣=12|AB| = 12 cm'dir. Alan = 13×122=13×6=78\frac{13 \times 12}{2} = 13 \times 6 = 78 cm2\text{cm}^2.
Sonuca ulaşmak için.

Key Concept

Katlama sorularında açıortay ve paralellik (Z kuralı) birleşerek daima ikizkenar üçgen oluşturur.

Hints

1
Dikdörtgeni köşegeni boyunca katladığınızda, kat izi bir açıortay oluşturur. Z kuralını kullanarak iç ters açıları bulun.
2
Oluşan AKCAKC üçgeninin taban açılarının eşit olduğunu, dolayısıyla bu üçgenin bir ikizkenar üçgen (∣AK∣=∣KC∣|AK| = |KC|) olduğunu fark edin.
3
∣KC∣=x|KC| = x diyerek ∣BK∣=18−x|BK| = 18-x yazın ve ABKABK dik üçgeninde Pisagor bağıntısını (122+(18−x)2=x212^2 + (18-x)^2 = x^2) kullanarak x'i bulun.

Practice More

Benzer bir mantıkla, kare şeklindeki bir kağıdın köşegeni boyunca değil, bir kenarının orta noktasına gelecek şekilde katlandığı soruları inceleyin.

Alternative Method

Benzerlik kullanarak da çözülebilir: ABKABK üçgeni ile CD′KCD'K üçgeni eştir (Açı-Kenar-Açı). Buradan da kenar eşitlikleri görülebilir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Dörtgenler

More questions from this topic