Examkin

Question

Difficulty: HardPozitif ve Negatif Sayılar

Sıfırdan farklı x,yx, y ve zz gerçel sayıları için aşağıda verilen eşitsizlikler sağlanmaktadır:

x3⋅y2<0 x^3 \cdot y^2 < 0
x⋅z>0 x \cdot z > 0
x−yz<0 \frac{x - y}{z} < 0
yz<1 \frac{y}{z} < 1

Buna göre x,yx, y ve zz sayılarının doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. z<y<xz < y < xAnswer
  2. B
    y<z<xy < z < x
  3. C
    x<y<zx < y < z
  4. D
    y<x<zy < x < z
  5. E
    z<x<yz < x < y

Answer

z<y<xz < y < x sıralaması doğrudur.
Verilen eşitsizlikler adım adım çözüldüğünde: x3⋅y2<0x^3 \cdot y^2 < 0 ifadesinden xx'in negatif olduğu; x⋅z>0x \cdot z > 0 ifadesinden zz'nin de negatif olduğu bulunur. x−yz<0\frac{x - y}{z} < 0 ifadesinde zz negatif olduğundan pay pozitif olmalı, yani x>yx > y olmalıdır. Son olarak yz<1\frac{y}{z} < 1 ifadesinde zz ile çarpma yapıldığında eşitsizlik yön değiştirir ve y>zy > z elde edilir. Tüm bu bilgiler birleştirildiğinde doğru sıralama z<y<xz < y < x olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
x3⋅y2<0x^3 \cdot y^2 < 0 eşitsizliğini incele.
y≠0y \neq 0 olduğu için y2>0y^2 > 0 dır. Çarpımın negatif olması için x3<0x^3 < 0 olmalıdır, bu da x<0x < 0 demektir.
Çift kuvvetler daima pozitiftir, tek kuvvetler tabanın işaretini korur.
2
x⋅z>0x \cdot z > 0 eşitsizliğinde xx'in işaretini yerine koy.
xx negatif olduğu için, çarpımın pozitif olması zz'nin de negatif olmasını gerektirir. Yani z<0z < 0.
Aynı işaretli iki sayının çarpımı pozitiftir.
3
x−yz<0\frac{x - y}{z} < 0 eşitsizliğini çöz.
Payda (zz) negatiftir. Bölümün negatif olması için payın (x−yx - y) pozitif olması gerekir. x−y>0⇒x>yx - y > 0 \Rightarrow x > y.
Bölme işleminde sonucun negatif olması için pay ve payda zıt işaretli olmalıdır.
4
yz<1\frac{y}{z} < 1 eşitsizliğini çöz.
Eşitsizliğin her iki tarafını zz (negatif sayı) ile çarparsak eşitsizlik yön değiştirir: y>zy > z.
Eşitsizliklerde negatif bir sayıyla çarpma veya bölme yapıldığında eşitsizlik yön değiştirir.
5
Bulunan sonuçları birleştirerek sıralamayı yaz.
x>yx > y ve y>zy > z olduğuna göre, sıralama z<y<xz < y < x şeklindedir. (Hepsi negatiftir).
Bulunan iki eşitsizlik birleştirilerek tam sıralama elde edilir.

Key Concept

Negatif sayılarla eşitsizlik işlemleri ve işaret incelemesi

Hints

1
Bir sayının karesi (y2y^2) daima pozitiftir, bu bilgiyi x3⋅y2<0x^3 \cdot y^2 < 0 ifadesinde xx'in işaretini bulmak için kullanın.
2
zz'nin negatif olduğunu bulduktan sonra, eşitsizliklerde payda veya çarpan olarak zz kullanırken eşitsizlik yönüne dikkat edin.
3
yz<1\frac{y}{z} < 1 eşitsizliğinde her iki tarafı zz (negatif sayı) ile çarparsanız y>zy > z elde edersiniz.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Pozitif ve Negatif Sayılar

More questions from this topic