Examkin

Question

Difficulty: HardBasit Eşitsizlikler
xx ve yy gerçel sayıları için,
x2<∣x∣ x^2 < |x|
x⋅y<x x \cdot y < x
x+y<0 x + y < 0
y2>y y^2 > y
eşitsizlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

  1. y2>x2y^2 > x^2Answer
  2. B
    x⋅y>0x \cdot y > 0
  3. C
    y>−1y > -1
  4. D
    x−y<1x - y < 1
  5. E
    1x<1\frac{1}{x} < 1

Answer

y2>x2y^2 > x^2 ifadesi daima doğrudur.
xx sayısı 00 ile 11 arasında pozitif bir sayıdır. yy sayısı ise negatiftir ve x+y<0x+y < 0 olduğundan mutlak değerce xx'ten büyüktür (∣y∣>x|y| > x). Bu durumda yy'nin karesi kesinlikle xx'in karesinden büyük olur (y2>x2y^2 > x^2).

Step-by-Step Solution

1
x2<∣x∣x^2 < |x| eşitsizliğini analiz et.
Bu eşitsizlik sadece −1<x<1-1 < x < 1 aralığında (sıfır hariç) sağlanır. Yani x∈(−1,0)∪(0,1)x \in (-1, 0) \cup (0, 1).
Bir sayının karesinin mutlak değerinden küçük olması için sayı basit kesir olmalıdır.
2
x⋅y<xx \cdot y < x eşitsizliğini incele (x(y−1)<0x(y-1) < 0).
İki durum vardır:
Durum 1: x∈(0,1)x \in (0, 1) (pozitif) ise, y−1<0  ⟹  y<1y-1 < 0 \implies y < 1.
Durum 2: x∈(−1,0)x \in (-1, 0) (negatif) ise, eşitsizlik yön değiştirir, y−1>0  ⟹  y>1y-1 > 0 \implies y > 1.
Eşitsizliğin her iki tarafı değişkene bölündüğünde işaretine dikkat edilmelidir.
3
y2>yy^2 > y ve x+y<0x + y < 0 koşullarını kullanarak doğru durumu belirle.
Durum 2 (xx negatif, y>1y > 1) için x+yx+y toplamı pozitif olur (çünkü y>1,x>−1y > 1, x > -1), bu x+y<0x+y<0 ile çelişir. Bu nedenle sadece Durum 1 geçerlidir: x∈(0,1)x \in (0, 1) ve y<0y < 0 (ayrıca y2>yy^2 > y sağlandığından yy negatiftir).
Çelişki analizi ile yanlış durum elenir.
4
x+y<0x+y < 0 eşitsizliğinden mutlak değer ilişkisini çıkar.
x+y<0  ⟹  y<−xx + y < 0 \implies y < -x. Her iki tarafın mutlak değeri alınırsa (y negatif, x pozitif), ∣y∣>∣x∣|y| > |x| olur.
Negatif bir sayı ile pozitif bir sayının toplamı negatif ise, negatif sayının mutlak değeri daha büyüktür.
5
Sonucu seçeneklerle karşılaştır.
∣y∣>∣x∣|y| > |x| olduğundan, kareleri alındığında y2>x2y^2 > x^2 elde edilir.
Mutlak değerce büyük olan sayının karesi de büyüktür.

Key Concept

Basit eşitsizliklerde işaret incelemesi ve mutlak değer ilişkileri

Hints

1
x2<∣x∣x^2 < |x| eşitsizliği, xx sayısının hangi aralıkta olduğunu gösterir? Basit kesirleri düşünün.
2
xx ve yy işaretlerini bulmak için x⋅y<xx \cdot y < x eşitsizliğinde durumları inceleyin. xx pozitif ise yy ne olur, xx negatif ise yy ne olur?
3
xx pozitif (0,10,1 aralığında) ve yy negatiftir. x+y<0x+y < 0 olması, negatif olan yy'nin mutlak değerce xx'ten daha büyük olduğunu gösterir.

Practice More

Mutlak değer ve eşitsizlik içeren karmaşık sorular çözmeye devam edin.

Alternative Method

Sayı doğrusu üzerinde deneme yanılma yöntemi: x=0,5x=0,5 verin. x2<∣x∣x^2 < |x| sağlanır. 0,5⋅y<0,5  ⟹  y<10,5 \cdot y < 0,5 \implies y < 1. y2>y  ⟹  y<0y^2 > y \implies y < 0 veya y>1y > 1. Kesişim y<0y < 0. 0,5+y<0  ⟹  y<−0,50,5 + y < 0 \implies y < -0,5. Örnek y=−2y=-2. Şıkları deneyin: y2=4,x2=0,25  ⟹  4>0,25y^2=4, x^2=0,25 \implies 4 > 0,25.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Basit Eşitsizlikler

More questions from this topic