Examkin

Question

Difficulty: HardPozitif ve Negatif Sayılar
Sıfırdan farklı aa ve bb gerçel sayıları için,
∣a∣a+∣b∣b=0 \frac{|a|}{a} + \frac{|b|}{b} = 0
a−b<0 a - b < 0
a2<b2 a^2 < b^2
eşitsizlikleri ve eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

  1. A
    a+b<0 a + b < 0
  2. a+ba<0 \frac{a + b}{a} < 0 Answer
  3. C
    a⋅b>0 a \cdot b > 0
  4. D
    ∣a∣−b>0 |a| - b > 0
  5. E
    ab+1<0 \frac{a}{b} + 1 < 0

Answer

Daima doğru olan ifade: a+ba<0\frac{a + b}{a} < 0
Verilen şartlar altında aa negatif, bb pozitiftir ve bb'nin mutlak değeri aa'dan büyüktür (∣b∣>∣a∣|b| > |a|). Bu durumda a+ba+b toplamı pozitif olur. aa sayısı negatif olduğundan, pozitif bir sayının negatif bir sayıya bölümü (a+ba\frac{a+b}{a}) daima negatif çıkar.

Step-by-Step Solution

1
Birinci eşitliği analiz et: ∣a∣a+∣b∣b=0\frac{|a|}{a} + \frac{|b|}{b} = 0
Bu toplamın 0 olması için terimlerden biri 1, diğeri -1 olmalıdır. Bu, aa ve bb sayılarının zıt işaretli olduğunu gösterir.
Bir sayının mutlak değerine bölümü, sayı pozitifse 1, negatifse -1'dir.
2
İkinci eşitsizliği analiz et: a−b<0⇒a<ba - b < 0 \Rightarrow a < b
Zıt işaretli iki sayıdan küçük olanı negatif, büyük olanı pozitif olmak zorundadır. Yani a<0a < 0 ve b>0b > 0.
Eğer aa pozitif olsaydı, bb negatif olurdu ve a>ba > b çıkardı ki bu eşitsizlikle çelişirdi.
3
Üçüncü eşitsizliği analiz et: a2<b2a^2 < b^2
Her iki tarafın karekökü alınırsa ∣a∣<∣b∣|a| < |b| elde edilir. Yani pozitif olan bb sayısı, negatif olan aa sayısından mutlak değerce daha büyüktür (Sıfıra daha uzaktır).
Kare alma işlemi işaretleri yok eder ve büyüklük kıyaslaması sağlar.
4
Doğru seçeneği test et: a+ba\frac{a + b}{a}
Pay (a+ba+b): ∣b∣>∣a∣|b| > |a| ve bb pozitif olduğu için toplam pozitiftir (++). Payda (aa): Negatiftir (−-). Sonuç: (+)/(−)=(−)(+) / (-) = (-). Bu ifade daima sıfırdan küçüktür.
İşaret incelemesi sonucu kesinlik kazanır.

Key Concept

Zıt işaretli sayılarda mutlak değerce büyük olanın işareti, toplamın işaretini belirler.

Hints

1
∣x∣x\frac{|x|}{x} ifadesi, xx pozitifse 1, negatifse -1 değerini alır. Toplamın 0 olması için sayılardan biri pozitif, diğeri negatif olmalıdır.
2
aa ve bb zıt işaretli ise, a−b<0a - b < 0 (yani a<ba < b) eşitsizliği hangisinin negatif, hangisinin pozitif olduğunu kesinleştirir.
3
a2<b2a^2 < b^2 eşitsizliği ∣a∣<∣b∣|a| < |b| anlamına gelir. Yani pozitif olan sayı (b), negatif olanın (a) büyüklüğünden fazladır. Buna göre a+ba+b toplamının işaretini bulun.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Pozitif ve Negatif Sayılar

More questions from this topic