Examkin

Question

Difficulty: HardŞekil Yeteneği ve Küp Sayma

Ayrıtları birim küplerden oluşan büyük bir küpün tüm dış yüzeyi maviye boyanıyor. Boyama işleminden sonra bu küp parçalanarak birim küplere ayrılıyor. Elde edilen birim küplerden sadece bir yüzü boyalı olanların sayısı ile hiçbir yüzü boyalı olmayanların sayısı birbirine eşittir.

Buna göre, başlangıçtaki büyük küp toplam kaç birim küpten oluşmaktadır?

  1. A
    64
  2. B
    216
  3. C
    343
  4. 512Answer
  5. E
    729

Answer

Başlangıçtaki küp toplam 512 birim küpten oluşmaktadır.
Büyük küpün bir kenarındaki birim küp sayısına nn dersek, hiç boyası olmayan küpler (iç çekirdek) (n−2)3(n-2)^3 tanedir. Sadece bir yüzü boyalı küpler (yüzey ortaları) ise 6(n−2)26(n-2)^2 tanedir. Bu iki ifade eşitlendiğinde (n−2)3=6(n−2)2(n-2)^3 = 6(n-2)^2 denklemi elde edilir. Sadeleştirme yapıldığında n−2=6n-2=6 ve buradan n=8n=8 bulunur. Toplam küp sayısı n3=83=512n^3 = 8^3 = 512 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Değişken tanımlama ve formülleri belirleme
Küpün bir kenarındaki birim küp sayısına nn diyelim. Hiç boyalı olmayan küpler iç kısımda kalan (n−2)3(n-2)^3 tanedir. Sadece bir yüzü boyalı küpler ise yüzeylerin ortasında kalan 6⋅(n−2)26 \cdot (n-2)^2 tanedir.
Küp boyama problemlerinde iç hacim ve yüzey formülleri kullanılır.
2
Verilen eşitliği denkleme dökme
(n−2)3=6⋅(n−2)2(n-2)^3 = 6 \cdot (n-2)^2
Soruda bu iki grubun sayısının eşit olduğu belirtilmiştir.
3
Denklemi çözerek nn değerini bulma
Eşitliğin her iki tarafı (n−2)2(n-2)^2 ifadesine bölünürse: n−2=6⇒n=8n-2 = 6 \Rightarrow n = 8 bulunur.
Bilinmeyen kenar sayısı olan nn değerini bulmak için.
4
Toplam birim küp sayısını hesaplama
Toplam küp sayısı n3n^3 formülü ile bulunur: 83=8⋅8⋅8=5128^3 = 8 \cdot 8 \cdot 8 = 512.
Soruda başlangıçtaki büyük küpün toplam birim küp sayısı sorulmuştur.

Key Concept

Boyalı Küp Sayma Formülleri

Hints

1
Bir kenarı nn birim olan boyalı bir küpte, hiç boyası olmayan küpler en içte kalan (n−2)(n-2) kenarlı küpü oluşturur.
2
Sadece bir yüzü boyalı küpler, küpün 6 yüzeyinin tam ortasında yer alır ve sayıları 6⋅(n−2)26 \cdot (n-2)^2 formülü ile bulunur.
3
(n−2)3=6⋅(n−2)2(n-2)^3 = 6 \cdot (n-2)^2 eşitliğini kurarak nn değerini bulunuz.

Alternative Method

Deneme yanılma yöntemi: Şıklardaki sayıların küpkökünü alarak nn adaylarını bulabilir (örneğin 512 için n=8n=8). Sonra n=8n=8 için boyasız (63=216)(6^3=216) ve tek yüzü boyalı (6⋅62=216)(6 \cdot 6^2 = 216) sayılarını kontrol edebilirsiniz.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Şekil Yeteneği ve Küp Sayma

More questions from this topic