Examkin

Şekil Yeteneği ve Küp Sayma

26 questions

Question 1Question →

Ayrıtları birim küplerden oluşan büyük bir küpün tüm dış yüzeyi maviye boyanıyor. Boyama işleminden sonra bu küp parçalanarak birim küplere ayrılıyor. Elde edilen birim küplerden sadece bir yüzü boyalı olanların sayısı ile hiçbir yüzü boyalı olmayanların sayısı birbirine eşittir.

Buna göre, başlangıçtaki büyük küp toplam kaç birim küpten oluşmaktadır?

Show answer & explanation

Answer: 512

Answer

Başlangıçtaki küp toplam 512 birim küpten oluşmaktadır.
Büyük küpün bir kenarındaki birim küp sayısına nn dersek, hiç boyası olmayan küpler (iç çekirdek) (n−2)3(n-2)^3 tanedir. Sadece bir yüzü boyalı küpler (yüzey ortaları) ise 6(n−2)26(n-2)^2 tanedir. Bu iki ifade eşitlendiğinde (n−2)3=6(n−2)2(n-2)^3 = 6(n-2)^2 denklemi elde edilir. Sadeleştirme yapıldığında n−2=6n-2=6 ve buradan n=8n=8 bulunur. Toplam küp sayısı n3=83=512n^3 = 8^3 = 512 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Değişken tanımlama ve formülleri belirleme
Küpün bir kenarındaki birim küp sayısına nn diyelim. Hiç boyalı olmayan küpler iç kısımda kalan (n−2)3(n-2)^3 tanedir. Sadece bir yüzü boyalı küpler ise yüzeylerin ortasında kalan 6⋅(n−2)26 \cdot (n-2)^2 tanedir.
Küp boyama problemlerinde iç hacim ve yüzey formülleri kullanılır.
2
Verilen eşitliği denkleme dökme
(n−2)3=6⋅(n−2)2(n-2)^3 = 6 \cdot (n-2)^2
Soruda bu iki grubun sayısının eşit olduğu belirtilmiştir.
3
Denklemi çözerek nn değerini bulma
Eşitliğin her iki tarafı (n−2)2(n-2)^2 ifadesine bölünürse: n−2=6⇒n=8n-2 = 6 \Rightarrow n = 8 bulunur.
Bilinmeyen kenar sayısı olan nn değerini bulmak için.
4
Toplam birim küp sayısını hesaplama
Toplam küp sayısı n3n^3 formülü ile bulunur: 83=8⋅8⋅8=5128^3 = 8 \cdot 8 \cdot 8 = 512.
Soruda başlangıçtaki büyük küpün toplam birim küp sayısı sorulmuştur.

Key Concept

Boyalı Küp Sayma Formülleri

Hints

1
Bir kenarı nn birim olan boyalı bir küpte, hiç boyası olmayan küpler en içte kalan (n−2)(n-2) kenarlı küpü oluşturur.
2
Sadece bir yüzü boyalı küpler, küpün 6 yüzeyinin tam ortasında yer alır ve sayıları 6⋅(n−2)26 \cdot (n-2)^2 formülü ile bulunur.
3
(n−2)3=6⋅(n−2)2(n-2)^3 = 6 \cdot (n-2)^2 eşitliğini kurarak nn değerini bulunuz.

Alternative Method

Deneme yanılma yöntemi: Şıklardaki sayıların küpkökünü alarak nn adaylarını bulabilir (örneğin 512 için n=8n=8). Sonra n=8n=8 için boyasız (63=216)(6^3=216) ve tek yüzü boyalı (6⋅62=216)(6 \cdot 6^2 = 216) sayılarını kontrol edebilirsiniz.
Estimated Time:2m 30s
Question 2Question →

Birim küplerin üst üste konulmasıyla oluşturulan yukarıdaki yapının, bir ayrıtı 33 birim olan içi dolu büyük bir küpe tamamlanması istenmektedir.

Buna göre, bu yapıyı eksiksiz bir küpe dönüştürmek için en az kaç tane daha birim küp eklenmelidir?

Show answer & explanation

Answer: 1313

Answer

Yapıyı tamamlamak için 13 tane daha birim küp eklenmelidir.
Bir ayrıtı 33 birim olan tam bir küp 33=273^3 = 27 birim küpten oluşur. Verilen görseldeki yapı incelendiğinde; en alt tabanda 99, onun üstündeki ikinci tabakada 44 ve en üstte 11 küp olduğu görülür (9+4+1=149 + 4 + 1 = 14). Tamamlanması için gereken miktar 27−14=1327 - 14 = 13 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Hedeflenen büyük küpün toplam hacmini (küp sayısını) hesapla.
3×3×3=273 \times 3 \times 3 = 27 birim küp.
Bir ayrıtı 3 birim olan dolu bir küpün toplam kaç birim küpten oluştuğunu bilmemiz gerekir.
2
Mevcut yapıda bulunan birim küpleri katman katman say.
Alt kat: 99 (tam dolu), Orta kat: 44 (2×22 \times 2 blok), Üst kat: 11. Toplam: 9+4+1=149 + 4 + 1 = 14 birim küp.
Elimizdeki mevcut malzeme miktarını belirlemek için sayım yapılır.
3
Gereken ek küp sayısını bulmak için çıkarma işlemi yap.
27−14=1327 - 14 = 13 birim küp.
Toplam ihtiyaçtan mevcut olan çıkarılarak eksik miktar bulunur.

Key Concept

Hacim tamamlama ve üç boyutlu nesneleri katmanlarına ayırarak sayma.

Hints

1
Büyük küpü tamamlamak için toplamda kaç tane birim küp gerektiğini (3×3×33 \times 3 \times 3) düşünerek işe başlayın.
2
Şekildeki küpleri sayarken en alttan başlayıp yukarı doğru çıkın. Görünmeyen küplerin, üstteki küpleri taşımak için orada olması gerektiğini unutmayın.
3
Tabanda 9, ortada 4 ve en üstte 1 küp var. Bu toplamı 27'den çıkararak sonuca ulaşın.

Practice More

Benzer bir soruyu bir ayrıtı 4 birim olan bir küp için çözmeyi deneyerek hacim tamamlama becerinizi pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Eksik olan boşlukları sayarak da ilerleyebilirsiniz. En üst katta 8 boşluk, orta katta 5 boşluk bulunmaktadır. Toplam 8+5=138 + 5 = 13 boşluk küple doldurulmalıdır.
Estimated Time:45s
Question 3Question →

Ayrıt uzunluğu 3 birim olan ve 27 adet birim küpten oluşan büyük bir küpün, tüm yüzeyleri boyanmıştır. Daha sonra bu küpün; tam merkezindeki birim küp ve dış yüzeylerin tam ortasında bulunan 6 adet birim küp çıkarılmıştır. Elde edilen yeni cisimde, birim küplerin birbirine temas ettiği (yapışık olduğu) kaç adet yüzey çifti vardır?

Show answer & explanation

Answer: 24

Answer

Geriye kalan cisimde toplam 24 adet temas yüzeyi çifti vardır.
Doğru hesaplamada, cismin 'iskeletini' oluşturan köşe ve kenar küplerinin bağlantılarına bakılır. Cismin kalan kısmı sadece 8 köşe küpü ve 12 ayrıt (kenar) küpünden oluşur. Her bir köşe küpü, kendisine komşu olan 3 ayrıt küpüne temas eder. Toplam bağlantı sayısı (derece toplamı) 8 köşe x 3 = 24'tür. Ayrıt küpleri sadece köşe küplerine temas eder, birbirlerine temas etmezler. Bu nedenle toplam temas (bağlantı) sayısı 24'tür.

Step-by-Step Solution

1
Başlangıçtaki toplam temas yüzeyi sayısını hesapla.
3x3x3'lük küpte temaslar: 3 eksende de (3x3x2) = 18 temas. Toplam 18x3 = 54 temas.
Çıkarma işlemi yapmadan önce bütünün durumunu tespit etmek gerekir.
2
Çıkarılan küpler nedeniyle azalan temas sayılarını belirle.
Merkezdeki küp: 6 komşusu ile temas halindeydi (6 temas). Yüzey merkezlerindeki 6 küp: Her biri 1 merkeze ve 4 çevre küpe temas ediyordu. Merkeze olan temas zaten sayıldı, geriye her biri için 4 temas kalır (6x4=24 temas).
Çıkarılan parçaların kopardığı bağları hesaplamak gerekir.
3
Kalan temas sayısını bulmak için çıkarma işlemini yap.
Toplam kayıp: 6 (merkez) + 24 (yüzeyler) = 30 temas. Kalan: 54 - 30 = 24 temas.
Bütünden eksilenleri çıkararak sonuca ulaşılır.

Key Concept

Birim küplerden oluşan sistemlerde temas yüzeyi analizi ve parça çıkarma mantığı.

Hints

1
Cisimden çıkarılan küpleri ve bu küplerin kaçar tane komşusu olduğunu düşünün.
2
Geriye sadece küpün 'iskeleti' yani köşelerdeki ve ayrıtlar üzerindeki küpler kalmıştır.
3
8 köşe küpü kalmıştır ve her biri sadece kendisine komşu olan 3 ayrıt küpüne temas etmektedir.

Practice More

Benzer bir mantıkla, 4x4x4 boyutundaki bir küpten iç kısımlar çıkarıldığında temas yüzeyi sayısının nasıl değişeceğini inceleyin.

Alternative Method

Doğrudan sayma yöntemi: Kalan cisim sadece köşeler (8 adet) ve ayrıt ortaları (12 adet) küplerinden oluşur. Köşeler sadece ayrıt ortalarına dokunur. Her köşe 3 ayrıt ortasına dokunur: 8 x 3 = 24 temas.
Estimated Time:2m 0s
Question 4Question →

Özdeş birim küplerin yan yana ve üst üste dizilmesiyle oluşturulan aşağıdaki yapıda küpler arasında boşluk bulunmamaktadır.

Buna göre, bu yapıda toplam kaç adet birim küp bulunmaktadır?

Show answer & explanation

Answer: 1111

Answer

Yapıda toplam 1111 adet birim küp bulunmaktadır.
Yapıyı oluşturan küpler katman katman incelendiğinde; zemin katta 66 küp (3×23 \times 2), ikinci katta bu küplerin üzerine dizilmiş 44 küp (2×22 \times 2) ve en üstte de 11 küp bulunmaktadır. Bu sayıların toplamı olan 1111, yapıyı oluşturan toplam birim küp sayısını verir.

Step-by-Step Solution

1
En alt katmandaki (zemin) küpleri sayın.
66 adet küp.
Tabanda 3×23 \times 2 birimlik bir dikdörtgen alan kaplanmıştır.
2
İkinci katmandaki küpleri sayın.
44 adet küp.
Zemin katın sol tarafındaki 2×22 \times 2 birimlik alanın üzerinde küpler bulunmaktadır.
3
En üst (üçüncü) katmandaki küpleri sayın.
11 adet küp.
En arka sol köşede tek bir küp bulunmaktadır.
4
Tüm katmanlardaki küp sayılarını toplayın.
6+4+1=116 + 4 + 1 = 11.
Yapının tamamını oluşturan küp sayısına ulaşmak için her seviye toplanmalıdır.

Key Concept

Katman katman sayma yöntemi

Hints

1
Yapıyı sanki bir bina katıymış gibi düşünerek her katı ayrı ayrı saymayı deneyin.
2
En alt katta (zeminde) kaç küp olduğunu bulun. Unutmayın, üstteki küplerin altında da mutlaka onları taşıyan küpler olmalıdır.
3
Zemin katta 66, ikinci katta 44 ve en üstte 11 küp vardır. Bu sayıları toplamalısınız.

Practice More

Benzer bir yapıda, eksik küpleri tamamlayarak büyük bir küp oluşturmak için kaç küp gerektiğini hesaplamaya çalışın.

Alternative Method

Sütun sayma yöntemi: Her sütunun en üstündeki küpün üzerine, o sütunda kaç küp olduğunu yazın. Örneğin, en arkadaki sütun 33 katlı olduğu için 33, yanındakiler 22 katlı ise 22 yazın. Sonra tüm bu rakamları toplayın.
Estimated Time:45s
Question 5Question →

Aşağıdaki görselde birim küplerden oluşturulmuş bir yapı verilmiştir. Küplerin üst üste durabilmesi için altlarında mutlaka başka bir küp bulunması gerekmektedir. Buna göre, yapıda toplam kaç adet birim küp bulunmaktadır?

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

Yapıda toplam 10 adet birim küp bulunmaktadır.
Şekildeki birim küpleri sayarken en güvenilir yöntem, her bir dikey sütunun kaç katlı olduğunu tespit edip bunları toplamaktır. Verilen şekildeki sütun yükseklikleri şu şekildedir: Arka sıradaki sütunlar sırasıyla 3, 2 ve 1 katlıdır (Toplam 6). Orta sıradaki sütunlar 2 ve 1 katlıdır (Toplam 3). En öndeki sütun ise 1 katlıdır (Toplam 1). Tüm bu değerler toplandığında: 6 + 3 + 1 = 10 sonucuna ulaşılır. Doğru cevap 10'dur.

Step-by-Step Solution

1
Yapıyı sütunlar (dikey sıralar) halinde analiz et.
Yapı 3 farklı derinlik sırasında incelenebilir: Ön, Orta ve Arka sıra.
Karmaşık şekilleri saymanın en garantili yolu, her bir sütundaki küp sayısını ayrı ayrı belirlemektir.
2
Her bir sütundaki küp sayısını belirle.
Arka sıra (Soldan sağa): 3, 2, 1 küp (Toplam 6). Orta sıra (Soldan sağa): 2, 1 küp (Toplam 3). Ön sıra (En sol): 1 küp (Toplam 1).
Görünen en üst küp, o sütunun yüksekliğini verir. Altındaki görünmeyen küpler de bu sayıya dahildir.
3
Tüm sütunlardaki küp sayılarını topla.
3 + 2 + 1 + 2 + 1 + 1 = 10.
Toplam küp sayısı, tüm dikey sütunlardaki küp sayılarının toplamıdır.

Key Concept

Görünmeyen Küp Analizi
Question 6Question →

Tabanı 3×33 \times 3 karesel bölge olan ve birim küplerden oluşan bir yapının, tabanındaki her bir karenin üzerinde en az bir küp bulunmaktadır. Bu yapının önden ve sağdan görünümlerindeki sütun ve satır yükseklikleri aşağıda verilmiştir:

* Önden Görünüm (Soldan Sağa): Sütunların en yüksek noktaları sırasıyla 4, 2 ve 3 birimdir.
* Sağdan Görünüm (Soldan Sağa): Satırların (önden arkaya doğru) en yüksek noktaları sırasıyla 3, 4 ve 2 birimdir.

Buna göre, bu yapıyı oluşturmak için kullanılabilecek birim küp sayısının alabileceği en büyük değer ile en küçük değerin toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 38

Answer

En büyük ve en küçük değerlerin toplamı 38'dir.
Verilen görünümlere göre yapının alabileceği en fazla küp sayısı, her bir karenin kısıtlar dahilinde alabileceği maksimum yüksekliğe (23) eşittir. En az küp sayısı ise, görünen en yüksek sütunların kesişim noktalarına yerleştirilerek optimize edilmesiyle (15) bulunur. Bu iki değerin toplamı 38'dir.

Step-by-Step Solution

1
Kısıtları bir matris üzerine yerleştirin. Sütun (C) limitleri: C1=4, C2=2, C3=3. Satır (R) limitleri: R1=3, R2=4, R3=2.
Matris yapısı: 3 sütun, 3 satır.
Her hücrenin yüksekliği, bulunduğu sütunun ve satırın maksimum değerini geçemez.
2
Maksimum küp sayısını hesaplamak için her hücreye alabileceği en büyük değeri (min(SütunMax, SatırMax)) verin.
Hücreler:
(1,1)=min(4,3)=3, (1,2)=min(4,4)=4, (1,3)=min(4,2)=2
(2,1)=min(2,3)=2, (2,2)=min(2,4)=2, (2,3)=min(2,2)=2
(3,1)=min(3,3)=3, (3,2)=min(3,4)=3, (3,3)=min(3,2)=2
Toplam: 9 + 6 + 8 = 23.
Maksimum değer için kısıtları aşmayan en yüksek sayılar seçilir.
3
Minimum küp sayısını hesaplamak için zorunlu zirve noktalarını belirleyin ve mümkün olduğunca çakıştırın.
C1(4) için R2(4) uygundur -> (1,2)=4.
C3(3) için R1(3) uygundur -> (3,1)=3.
C2(2) ve R3(2) için (2,3)=2 uygundur.
Kalan tüm hücreler taban kuralı gereği 1 olur.
Minimum sayıda küp ile görünüm şartlarını sağlamak için en yüksek bloklar ortak kesişim noktalarına konulmalıdır.
4
Minimum konfigürasyonun toplamını hesaplayın.
Seçilenler: 4 + 3 + 2. Kalan 6 karede 1'er küp var: 6. Toplam: 4+3+2+6 = 15.
Zorunlu yüksek bloklar ve taban bloklarının toplamı.
5
Sonuçları toplayın.
23 (Max) + 15 (Min) = 38.
Soruda istenen toplam değer.

Key Concept

İzdüşüm Analizi ve Optimizasyon

Hints

1
Yapıyı 3×33 \times 3 bir matris gibi düşünün. Her bir kareye koyabileceğiniz en fazla küp sayısı, o karenin bulunduğu satır ve sütunun izin verdiği maksimum değerlerin küçüğü kadardır.
2
Maksimum küp sayısını bulmak için her hücreye limitleri aşmayan en büyük sayıyı verin. Minimum sayı için ise, zorunlu olan en yüksek blokları (örneğin 4 birimlik blok) hem satır hem de sütun şartını aynı anda sağlayacak şekilde ortak karelere yerleştirmeye çalışın.
3
Maksimum için: Matrisin (1,2) hücresi 1. sütunda (max 4) ve 2. satırda (max 4) olduğu için buraya 4 küp konabilir. Minimum için: 1. sütun 4, 2. satır 4 istiyor; (1,2) hücresine 4 koyarak her iki şartı tek blokla sağlayın.

Practice More

Benzer bir soruyu, bu kez üstten görünümde bazı karelerin boş olduğu (küp konulmadığı) bir senaryo ile çözmeyi deneyin.

Alternative Method

Minimum değeri bulurken 'bina inşa etme' analojisi kullanın: Önce zorunlu gökdelenleri (4, 3, 3 gibi) en uygun yerlere dikin, geri kalan tüm boş arsalara sadece 1 katlı gecekondu yapın.
Estimated Time:3m 0s
Question 7Question →

Karşılıklı yüzlerindeki sayıların toplamı 77 olan özdeş standart zarlar kullanılarak, aralarında boşluk kalmayacak şekilde 3×3×33 \times 3 \times 3 boyutlarında büyük bir küp oluşturuluyor.

Oluşturulan bu büyük küpün dış yüzeyine denk gelen yüzlerdeki sayıların toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 90

Answer

Dış yüzeydeki sayıların toplamının alabileceği en küçük değer 90'dır.
3x3x3'lük küpün dış yüzeyindeki toplamı en aza indirmek için zarların konumuna göre görünen yüz sayısı belirlenir: Köşeler (3 yüz), Ayrıtlar (2 yüz), Göbekler (1 yüz). Her konum için zarlar, görünen yüzlere en küçük sayılar (1, 2, 3) gelecek şekilde yerleştirilir. Hesaplama: 8 köşe x (1+2+3) + 12 ayrıt x (1+2) + 6 göbek x (1) = 90 sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1
Büyük küpü oluşturan birim küplerin (zarların) konumlarını analiz et.
3x3x3 küpte toplam 27 zar vardır. Dış yüzeyde bulunanlar: 8 köşe, 12 ayrıt ortası ve 6 yüzey ortası zarıdır. (Merkezdeki 1 zar görünmez.)
Toplamı minimize etmek için her pozisyondaki zarın dışa bakan yüz sayısını ve bu yüzlere gelebilecek en küçük değerleri belirlememiz gerekir.
2
Köşelerdeki 8 zar için minimum toplamı hesapla.
Her köşe zarı 3 yüz gösterir. Standart bir zarda kesişen üç yüzün alabileceği en küçük değerler 1, 2 ve 3'tür. Bir köşe için toplam: 1+2+3=61+2+3=6. Tüm köşeler: 8×6=488 \times 6 = 48.
Köşeler 3 dış yüzeye sahiptir. En küçük toplam için zarların 1, 2 ve 3 numaralı yüzlerinin köşede buluşması sağlanır.
3
Ayrıt ortalarındaki 12 zar için minimum toplamı hesapla.
Her ayrıt ortası zarı 2 yüz gösterir. Komşu iki yüzün alabileceği en küçük değerler 1 ve 2'dir. Bir ayrıt için toplam: 1+2=31+2=3. Tüm ayrıtlar: 12×3=3612 \times 3 = 36.
Ayrıt ortaları 2 dış yüzeye sahiptir. En küçük komşu yüz çifti 1 ve 2'dir.
4
Yüzey ortalarındaki 6 zar için minimum toplamı hesapla.
Her yüzey ortası zarı 1 yüz gösterir. Bir yüzün alabileceği en küçük değer 1'dir. Tüm yüzey ortaları: 6×1=66 \times 1 = 6.
Yüzey ortaları sadece 1 dış yüzeye sahiptir.
5
Tüm grupların toplamını al.
Toplam = 48+36+6=9048 + 36 + 6 = 90.
Bulunan minimum değerlerin toplanmasıyla sonuca ulaşılır.

Key Concept

Küp Yüzey Analizi ve Optimizasyon
Question 8Question →

Birim küplerle oluşturulan bir yapının üstten, önden ve sağdan görünümleri aşağıda verilmiştir.

Buna göre, bu yapının oluşturulması için en az kaç birim küp kullanılmıştır?

Show answer & explanation

Answer: 1414

Answer

Verilen görünümleri sağlayan en az küp sayısı 1414 birimdir.
Verilen görünümlere göre yapının minimum küp sayısına sahip olması için yüksek blokların her iki yönün şartını da aynı anda sağlaması gerekir. 3×33 \times 3'lük bir zeminde, önden gelen 3,2,33, 2, 3 yükseklik şartları ile sağdan gelen 2,3,12, 3, 1 yükseklik şartları en verimli şekilde eşleştirildiğinde (iki adet 33'lük ve bir adet 22'lik blok kullanarak) ve boş kalan hücrelere de tabanı doldurmak için 11'er küp yerleştirildiğinde toplam 1414 küpe ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Üstten görünümü analiz etme
3×33 \times 3 toplam 9 hücrenin tamamı dolu
Üstten görünüm tam bir kare olduğu için tabanda boşluk yoktur, her hücrede en az 1 küp bulunmalıdır.
2
Önden ve sağdan görünümdeki yükseklik şartlarını belirleme
Önden: 3,2,33, 2, 3; Sağdan: 2,3,12, 3, 1
Bu değerler her bir satır ve sütundaki en yüksek küp sayısını temsil eder.
3
En büyük yükseklikleri kesişim noktalarına yerleştirme
Merkez satıra (yükseklik 3) iki adet 3'lük blok, ön satıra (yükseklik 2) bir adet 2'lik blok
Minimum sayı için büyük değerleri ortak noktalarda kullanmalıyız: (Satır 2, Sütun 1) = 33, (Satır 2, Sütun 3) = 33, (Satır 1, Sütun 2) = 22.
4
Diğer hücreleri doldurma ve toplamı hesaplama
3+3+2+6×1=143+3+2 + 6 \times 1 = 14
Kalan 6 hücreye, üstten görünümü sağlamak için en az 1'er küp konulur. Toplam: 3+3+2+1+1+1+1+1+1=143+3+2+1+1+1+1+1+1 = 14.

Key Concept

Üç boyutlu yapıların farklı yönlerden görünümlerini kullanarak hacim (küp sayısı) tahmini yapma.

Alternative Method

Hücreleri bir 3×33 \times 3 matris olarak düşünüp, her hücreye hi,jh_{i,j} yüksekliğini vererek max⁡(hi,j)\max(h_{i,j}) değerlerini satır ve sütun bazlı kontrol edebilirsiniz.
Estimated Time:2m 0s
Question 9Question →

Aşağıda birim küplerden oluşturulmuş, tabanı 3×33 \times 3 karesel bölge olan bir yapı verilmiştir. Yapının köşelerindeki sütunlar 2 birim, kenar ortalarındaki sütunlar 1 birim ve tam ortadaki sütun 3 birim yüksekliğindedir.

Buna göre, bu yapının toplam yüzey alanı kaç birim karedir?

Show answer & explanation

Answer: 54

Answer

Yapının toplam yüzey alanı 54 birim karedir.
Doğru cevap 54'tür. Alternatif bir yöntem (Projeksiyon Yöntemi) ile de doğrulanabilir:
1. Alt ve Üst Görünüm: Taban 3×3=93 \times 3 = 9, Üstten görünüm de 9 birim kare. (Toplam 18)
2. Ön ve Arka Görünüm: Ön profil en yüksek sütunları görür. Köşe (2), Orta (1), Köşe (2) sütunları arkadaki daha yüksek sütunları maskeler mi? Hayır. Önden bakınca en yüksek sütunlar: Sol(2), Orta(3), Sağ(2). Alan = 2+3+2=72+3+2 = 7. Arkadan da aynı: 7. (Toplam 14)
3. Sağ ve Sol Görünüm: Benzer şekilde profil 2+3+2=72+3+2 = 7. (Toplam 14)
4. Projeksiyon Toplamı: 18+14+14=4618 + 14 + 14 = 46 birim kare.
5. İç Duvarlar (Fark): Orta kule (yükseklik 3) ile yanındaki kenar sütunları (yükseklik 1) arasında yükseklik farkı 2'dir. Orta kulenin 4 yan yüzeyi bu fark kadar açıktadır: 4 yu¨z×2 birim=84 \text{ yüz} \times 2 \text{ birim} = 8 birim kare eklenmelidir.
6. Sonuç: 46+8=5446 + 8 = 54.

Step-by-Step Solution

1
Toplam küp sayısını belirle.
Taban (1. kat): 9 küp. 2. kat: 4 köşe + 1 orta = 5 küp. 3. kat: 1 orta = 1 küp. Toplam küp sayısı: 9+5+1=159 + 5 + 1 = 15 küp.
Toplam yüzey alanını bulmak için önce yapıyı oluşturan tüm parçaların sayısı bilinmelidir.
2
Maksimum olası yüzey alanını hesapla (hiçbir küp birbirine değmeseydi).
15 ku¨p×6 yu¨z=9015 \text{ küp} \times 6 \text{ yüz} = 90 birim kare.
Bu değerden çakışan (yapışık) yüzeyleri çıkararak gerçek alanı bulacağız.
3
Çakışan (temas eden) yüzey sayısını hesapla.
Dikey temaslar (üst üste): 2. katın altındaki 5 yüzey + 3. katın altındaki 1 yüzey = 6 temas (6×2=126 \times 2 = 12 kayıp yüzey). Yatay temaslar (yan yana): 1. katta 12 temas (12×2=2412 \times 2 = 24 kayıp yüzey). 2. ve 3. katta yan yana temas yok. Toplam kayıp yüzey: 12+24=3612 + 24 = 36.
Her temas eden yüzey çifti, dış yüzey alanından 2 birim kare eksiltir.
4
Toplam alandan kayıp yüzeyleri çıkar.
90−36=5490 - 36 = 54 birim kare.
Maksimum alandan içte kalan yüzeyleri çıkararak dış yüzey alanı bulunur.

Key Concept

Yüzey Alanı Hesaplama ve Birim Küp Sayma

Hints

1
Yapıyı oluşturan toplam küp sayısını bulup, her bir küpün 6 yüzü olduğunu düşünerek başlayın.
2
Küpler birbirine yapıştığında, temas eden her yüzey dış dünyadan gizlenir ve alan hesabına katılmaz. Kaç yüzeyin birbirine değdiğini sayın.
3
Her temas (yapışma), toplam alandan 2 birim kare eksiltir. Toplam 18 temas noktası vardır (6 dikey, 12 yatay).

Practice More

Benzer bir yapının içinden bir tünel açıldığında yüzey alanının nasıl değişeceğini soran bir soru çözülebilir.
Estimated Time:1m 30s
Question 10Question →

Aşağıdaki şekilde, bir ayrıtı 4 birim olan ve birim küplerden oluşturulmuş büyük bir küp verilmiştir. Bu küpün karşılıklı yüzeylerinin tam ortasından, yüzeylere dik olacak şekilde ve kesiti 2×22 \times 2 birim kare olan boydan boya tüneller açılıyor.

Tünellerin oluşturulması sırasında yerinden çıkarılan tüm birim küpler atıldığına göre, geriye kalan cisim toplam kaç birim küpten oluşmaktadır?

Show answer & explanation

Answer: 32

Answer

Geriye 32 birim küp kalır.
Büyük küp 4×4×4=644 \times 4 \times 4 = 64 birim küpten oluşur. 2×22 \times 2 boyutundaki tüneller merkezden geçer. Bu tünellerin dışında kalan (yani kesilip atılmayan) küpler şunlardır: Küpün 8 köşesi ve her bir ayrıtın ortasındaki 2'şer küp. Toplam 12 ayrıt vardır, yani 12×2=2412 \times 2 = 24 kenar küpü kalır. Köşelerle birlikte: 8+24=328 + 24 = 32 küp kalır. Diğer bir deyişle, çıkarılan kısım (tünellerin birleşimi) 32 birim küptür, geriye kalan da 32 birim küptür.

Step-by-Step Solution

1
Toplam küp sayısını hesapla.
4×4×4=644 \times 4 \times 4 = 64 birim küp.
Başlangıçtaki küpün hacmini bulmak için.
2
Açılan tünellerin özelliklerini ve kesişimlerini analiz et.
3 farklı eksenden 2×22 \times 2 boyutunda tüneller açılmaktadır. Bu tüneller küpün tam merkezinde 2×2×22 \times 2 \times 2 boyutunda ortak bir boşluk oluşturur.
Çıkarılan parçaları doğru modellemek için.
3
Kalan parçaları hesapla (Kabuk yöntemi).
Dıştaki kabuktan yüzey merkezleri çıkarılır: 64−(8 ko¨s¸e+24 kenar+24 yu¨zey merkezi+8 ic¸ merkez)64 - (8 \text{ köşe} + 24 \text{ kenar} + 24 \text{ yüzey merkezi} + 8 \text{ iç merkez}). Ancak daha basitçe: Tünellerin dışında kalanlar sadece 8 köşe küpü ve 12 ayrıtın her birindeki 2 orta küptür (Toplam 24).
Alternatif doğrulama için.
4
Kesişim kümesi formülü ile sağlamasını yap.
Bir tünel hacmi: 2×2×4=162 \times 2 \times 4 = 16. Üç tünel toplamı (ayrık varsayılırsa): 4848. Kesişim (Merkez küp bloğu): 2×2×2=82 \times 2 \times 2 = 8. Formül: Toplam Hacim - (Tünel 1 + Tünel 2 + Tünel 3 - 2 \times Kesişim). Çıkarılan = 16+16+16−2(8)−2(8)+...16 + 16 + 16 - 2(8) - 2(8) + ... Hayır, Birleşim Formülü: N(A∪B∪C)=16+16+16−(8+8+8)+8=32N(A \cup B \cup C) = 16+16+16 - (8+8+8) + 8 = 32 çıkarılan küp.
Matematiksel kesinlik için.
5
Sonucu bul.
64−32=3264 - 32 = 32 kalan küp.
Nihai cevap.

Key Concept

Hacim ve Kesişim Prensibi

Hints

1
Tünellerin küpün tam merkezinde kesiştiğini ve bu bölgenin boşluk olduğunu unutmayın.
2
Tünellerden etkilenmeyen (hiç dokunulmayan) küpler sadece en dıştaki köşeler ve ayrıtların orta kısımlarıdır.
3
Bir tünel 2×2×4=162 \times 2 \times 4 = 16 küp içerir. Ancak üç tünel de merkezdeki 2×2×2=82 \times 2 \times 2 = 8 küplük bloğu paylaşır. Kümelerdeki birleşim formülünü (A ∪ B ∪ C) hatırlayın.

Practice More

Benzer bir soruyu 5×5×55 \times 5 \times 5 küp ve 1×11 \times 1 tüneller için deneyin.

Alternative Method

Sadece 'kurtulan' küpleri sayabilirsiniz: Küpün 8 köşesi tünellerden uzaktır. Ayrıca 12 ayrıtın her birinde, köşeler arasındaki 2 küp de tünellere denk gelmez. 8+(12×2)=328 + (12 \times 2) = 32.
Estimated Time:2m 30s
Question 11Question →

Özdeş birim küplerin yan yana ve üst üste dizilmesiyle oluşturulan aşağıdaki yapıda, küpler arasında boşluk bulunmamaktadır. Buna göre, bu yapıda toplam kaç adet birim küp bulunmaktadır?

Show answer & explanation

Answer: 1515

Answer

Yapıdaki toplam birim küp sayısı 1515 adettir.
Yapı katmanlarına ayrılarak incelendiğinde, en alt katta (zemin) 3×3=93 \times 3 = 9 küp, ikinci katta bu tabanın bir köşesinde 2×2=42 \times 2 = 4 küp ve en üstte de bu yapının arkasında yan yana 22 küp bulunmaktadır. Bu değerlerin toplamı (9+4+29 + 4 + 2) bize 1515 sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1
En alt katmandaki (taban) küp sayısını belirleyin.
3×3=93 \times 3 = 9 adet küp.
Yapı 33 birim genişliğinde ve 33 birim derinliğinde bir taban üzerine kurulmuştur.
2
İkinci katmandaki küp sayısını belirleyin.
2×2=42 \times 2 = 4 adet küp.
Tabanın bir köşesinde 2×22 \times 2 birimlik bir alan ikinci katmanı oluşturmaktadır.
3
En üst (üçüncü) katmandaki küp sayısını belirleyin.
22 adet küp.
İkinci katmandaki küplerin en arka sırasının üzerine 22 adet küp daha yerleştirilmiştir.
4
Tüm katmanlardaki küp sayılarını toplayın.
9+4+2=159 + 4 + 2 = 15.
Yapının tamamını oluşturan toplam birim küp sayısına ulaşmak için her seviyedeki küpler toplanmalıdır.

Key Concept

Katmanlı Sayma Stratejisi

Hints

1
Yapıyı katmanlara (katlara) ayırarak saymak işinizi kolaylaştıracaktır.
2
En alt katta kaç tane küp olduğunu görmek için taban alanına (3×33 \times 3) bakın.
3
Üst katlarda bulunan her bir küpün altında onu taşıyan bir küp daha olduğunu unutmayın. Toplamı 9+4+29 + 4 + 2 şeklinde hesaplayabilirsiniz.

Practice More

Bu yapıyı 3×3×33 \times 3 \times 3 boyutlarında tam bir büyük küpe tamamlamak için kaç küp daha eklenmesi gerektiğini hesaplayarak kendinizi test edebilirsiniz.

Alternative Method

Sütun yöntemi ile sayma: Her bir dikey sütundaki küp sayılarını tek tek belirleyip toplayabilirsiniz. Bazı sütunlar 33 katlı, bazıları 22, bazıları ise sadece 11 katlıdır.
Estimated Time:1m 0s
Question 12Question →

Aşağıda birim küplerden oluşturulmuş bir yapı verilmiştir.

Bu yapıyı, ayrıt uzunlukları 4 birim olan içi dolu büyük bir kübe tamamlamak için en az kaç birim küp daha eklenmelidir?

Show answer & explanation

Answer: 36

Answer

Yapıyı tamamlamak için 36 birim küp eklenmelidir.
Verilen yapıdaki küpler tek tek analiz edildiğinde; en ön sırada 5, ikinci sırada 9, üçüncü sırada 9 ve en arka sırada 5 adet küp olduğu tespit edilir. Toplamda 28 adet birim küp bulunan bu yapıyı 4×4×4=644 \times 4 \times 4 = 64 birim küplük bir kübe tamamlamak için 64−28=3664 - 28 = 36 adet daha küp eklenmesi gerekmektedir.

Step-by-Step Solution

1
Yapıdaki mevcut birim küpleri her sütundaki yüksekliğe göre tek tek saymak.
Önden arkaya doğru satır bazında sayıldığında:
- 1. Satır: 1+2+1+1=51 + 2 + 1 + 1 = 5 küp
- 2. Satır: 2+4+2+1=92 + 4 + 2 + 1 = 9 küp
- 3. Satır: 3+1+3+2=93 + 1 + 3 + 2 = 9 küp (Buradaki 1 birimlik yükseklik çevreleyen bloklar nedeniyle gizlidir)
- 4. Satır: 1+2+1+1=51 + 2 + 1 + 1 = 5 küp
Toplam: 5+9+9+5=285 + 9 + 9 + 5 = 28 birim küp bulunmaktadır.
Yapıdaki toplam küp sayısını belirlemek, eksik olanı bulmak için ilk adımdır.
2
Oluşturulması istenen 4×4×44 \times 4 \times 4'lük büyük küpün toplam hacmini hesaplamak.
43=644^3 = 64 birim küp.
Ayrıtı aa olan bir küpün hacmi V=a3V = a^3 formülüyle hesaplanır.
3
Hedeflenen toplam küp sayısından mevcut olanı çıkararak sonucu bulmak.
64−28=3664 - 28 = 36.
Tamamlama sorularında 'en az' ifadesi, yapının içindeki boşlukların tamamen doldurulması gerektiğini belirtir.

Key Concept

Birim küplerden oluşan yapılarda gizli küp analizi ve hacim tamamlama.
Estimated Time:2m 0s
Question 13Question →

Tabanı 3×33 \times 3 boyutlarında kareli bir zemin üzerine birim küpler yerleştirilerek bir yapı oluşturulmuştur. Zemindeki her bir kare üzerinde en az 1 birim küp bulunmaktadır.

Bu yapının;
* Önden görünümünde (soldan sağa doğru) sütun yükseklikleri sırasıyla 3, 2 ve 4 birim,
* Sağdan görünümünde (arkadan öne doğru) sütun yükseklikleri sırasıyla 4, 1 ve 3 birimdir.

Buna göre, bu yapıyı oluşturmak için kullanılabilecek toplam birim küp sayısının alabileceği en büyük değer ile en küçük değer arasındaki fark kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 5

Answer

En büyük ve en küçük değerler arasındaki fark 5'tir.
Yapının alabileceği en fazla küp sayısı için her kareye koyabileceğimiz en yüksek değeri koyarız. Bu değer, o karenin bulunduğu satır ve sütun limitlerinin küçüğüdür. Matris toplamı 20 eder.

Yapının alabileceği en az küp sayısı için ise, zorunlu olan en yüksek blokları (zirveleri) tek bir küple hem satırı hem sütunu kurtaracak şekilde kesişimlere yerleştiririz. Geri kalan boş yerleri zemin kuralı gereği 1 ile doldururuz. Bu stratejiyle toplam 15 küp elde edilir.

Fark: 20−15=520 - 15 = 5 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen görünümleri matris kısıtlamalarına dönüştür
Önden görünüm (Sütun Max): C1=3, C2=2, C3=4. Sağdan görünüm (Satır Max): R1(Arka)=4, R2=1, R3(Ön)=3.
Yapının üstten görünümü 3x3 bir matris gibi düşünülürse, her kare hem satırının hem de sütununun kısıtlamasına uymalıdır.
2
En büyük (maksimum) küp sayısını hesapla
Her kareye min(SatırLimiti, SütunLimiti) değeri verilir. Toplam: 9 + 3 + 8 = 20.
Bir kare, bağlı olduğu satırın en yükseğinden veya sütununun en yükseğinden daha yüksek olamaz. Bu yüzden iki limitin küçüğü alınır.
3
En küçük (minimum) küp sayısını hesapla
Zirve değerleri (4 ve 3'ler) kesişim noktalarına yerleştirilir. (1,3) karesine 4, (3,1) karesine 3, (1,2) karesine 2 konulur. Diğer kareler 1 yapılır. Toplam: 15.
Görünümdeki yükseklikleri sağlamak için en az sayıda küp kullanmak adına, yüksek bloklar satır ve sütunun kesiştiği noktalara konur.
4
Farkı bul
20 - 15 = 5.
Soruda istenen değer farktır.

Key Concept

Maksimum-Minimum Problemleri (İzdüşüm Analizi)

Hints

1
Tablodaki her bir kare, hem önden görünümün (sütun) hem de sağdan görünümün (satır) yükseklik sınırını aşamaz.
2
En çok küp kullanmak için; her kareye, izin verilen en yüksek değeri (satır ve sütun limitlerinin küçüğünü) verin.
3
En az küp kullanmak için; en yüksek sayıları (örneğin 4'ü) satır ve sütunun kesiştiği tek bir kareye koyarak 'bir taşla iki kuş vurun'. Kalanları 1 ile doldurun.

Alternative Method

Matris çizerek her hücreye 'Maksimum' ve 'Minimum' adaylarını yazıp toplamak en garantili yoldur.
Estimated Time:3m 0s
Question 14Question →

Aşağıdaki şekilde, eş birim küplerden oluşturulmuş bir yapının üstten görünümü ve her bir sütunda kaç adet küp bulunduğu sayılarla belirtilmiştir.

Bu yapı, tabanı değişmemek şartıyla, tüm boyutları (en, boy, yükseklik) tam sayı olan en küçük hacimli dikdörtgenler prizmasına tamamlanmak isteniyor.

Buna göre, yapıya en az kaç adet daha birim küp eklenmelidir?

Show answer & explanation

Answer: 16

Answer

Yapıya en az 16 adet birim küp eklenmelidir
Verilen üstten görünüm haritasındaki sayılar, o konumdaki sütunun yüksekliğini ifade eder. En küçük hacimli prizmayı oluşturmak için taban boyutları (3x3) korunmalı ve yükseklik, mevcut en yüksek sütuna (4) eşitlenmelidir. Hedef prizmanın hacmi 3 x 3 x 4 = 36 birim küptür. Mevcut küplerin toplamı 20 olduğundan, aradaki fark 16'dır.

Step-by-Step Solution

1
Tablodaki sayıları toplayarak mevcut küp sayısını hesapla.
4 + 2 + 1 + 1 + 3 + 2 + 2 + 2 + 3 = 20 birim küp vardır.
Mevcut durumu analiz etmek için toplam küp sayısı gereklidir.
2
En küçük hacimli dikdörtgenler prizmasının boyutlarını belirle.
Taban 3x3 birim, yükseklik ise tablodaki en büyük sayı olan 4 birimdir. Prizma boyutları: 3 x 3 x 4.
Yapının tamamlanacağı prizma, mevcut yapının sınırlarını (taban ve maksimum yükseklik) kapsamalıdır.
3
Hedeflenen prizmanın toplam hacmini (toplam küp sayısını) hesapla.
3 x 3 x 4 = 36 birim küp.
Prizmanın hacmi = Taban Alanı x Yükseklik.
4
Hedeflenen küp sayısından mevcut sayıyı çıkararak eklenecek miktarı bul.
36 - 20 = 16 birim küp gereklidir.
İhtiyaç duyulan miktar fark işleminden bulunur.

Key Concept

Hacim Tamamlama ve 3 Boyutlu Düşünme

Hints

1
Önce tablodaki tüm sayıları toplayarak yapıda şu an kaç tane küp olduğunu bulun.
2
Oluşturulacak prizmanın tabanı 3x3 karedir. Yüksekliği ise tablodaki en büyük sayıya eşit olmalıdır.
3
En yüksek sütun 4 birimdir. Öyleyse hedef prizma 3x3x4 boyutlarında olmalıdır. Bu prizmanın hacminden mevcut küp sayısını çıkarın.

Practice More

Benzer bir yapı verilip, şeklin sağdan veya önden görünümünün alanının sorulduğu soruları çözebilirsiniz.

Alternative Method

Her bir kare için: Hedef yükseklik (4) ile mevcut yükseklik (karedeki sayı) arasındaki farkı bulup toplayabilirsiniz. Örn: (4-4) + (4-2) + (4-1) + ... Bu yöntem de aynı sonucu (16) verir.
Estimated Time:1m 30s
Question 15Question →

Özdeş birim küplerin yan yana ve üst üste dizilmesiyle oluşturulan yukarıdaki blokta, bir küpün üstte durabilmesi için altında mutlaka başka bir küpün bulunması gerekmektedir. Buna göre, bu yapıda toplam kaç adet birim küp kullanılmıştır?

Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

Yapıda toplam 8 adet birim küp bulunmaktadır.
Yapıyı incelediğimizde alt katta 3 sıra ve 2 sütundan oluşan toplam 6 küp bulunmaktadır. Bu 6 küpün üzerine, arka sırada olacak şekilde 2 küp daha eklenmiştir. Bu durumda toplam küp sayısı 6+2=86 + 2 = 8 olur.

Step-by-Step Solution

1
Taban katmanındaki (z=0 seviyesi) küpleri sayın.
3 x 2'lik bir alana yayılan toplam 6 küp vardır.
Yapının en alt seviyesindeki tüm pozisyonlar doludur.
2
İkinci katmandaki (z=1 seviyesi) küpleri sayın.
Arka sırada yan yana duran 2 küp vardır.
Görselde sadece bu iki konumda yükselme olduğu görülmektedir.
3
Tüm katmanlardaki küp sayılarını toplayın.
6 + 2 = 8
Toplam küp sayısı, her katmandaki küplerin toplamına eşittir.

Key Concept

Birim küplerden oluşan yapılarda toplam sayı bulunurken katman katman sayma veya sütunlardaki küp sayılarını toplama yöntemi kullanılır.

Hints

1
Yapıyı kat kat (alt kat ve üst kat şeklinde) saymayı deneyin.
2
Üstte gördüğünüz her küpün altında, onu taşıyan bir küp daha olduğunu unutmayın.
3
Tabanda 6 küp, ikinci katta ise 2 küp bulunmaktadır. Bu iki sayıyı toplamanız yeterlidir.

Practice More

Benzer bir yapıda bazı küpler çıkarıldığında oluşan boşlukları sayarak eksik küp bulma egzersizleri yapabilirsiniz.

Alternative Method

Sütun yöntemi: Her bir dikey sütundaki küp sayılarını üzerine yazın. Ön sıradaki 3 sütunda 1'er küp, arka sıradaki ilk 2 sütunda 2'şer küp ve son sütunda 1 küp vardır. 1+1+1+2+2+1=81+1+1+2+2+1 = 8 sonucuna ulaşırsınız.
Estimated Time:45s
Question 16Question →

Birim küplerden oluşan bir yapının üstten, önden ve sağdan görünümleri aşağıdaki kareli zeminlerde verilmiştir.

- Üstten Görünüm: 2×22 \times 2'lik bir karesel bölgenin tamamı doludur.
- Önden Görünüm: Sol sütun 33, sağ sütun 22 birim kare yüksekliğindedir.
- Sağdan Görünüm: Arka sıra 33, ön sıra 11 birim kare yüksekliğindedir.

Buna göre, bu yapıyı oluşturmak için kullanılan birim küp sayısı en az kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 7

Answer

Yapıyı oluşturmak için gereken minimum birim küp sayısı 7'dir.
Doğru yanıt olan yedi sayısı, taban matrisindeki hücrelere yerleştirilen 33, 22, 11 ve 11 birim küpün toplamıdır. Bu yerleşimde; sol sütun en yüksek 33, sağ sütun en yüksek 22 (önden görünüm sağlar) ve arka sıra en yüksek 33, ön sıra en yüksek 11 (sağdan görünüm sağlar) birim küp içermektedir.

Step-by-Step Solution

1
Üstten görünüme göre 2×22 \times 2'lik bir taban matrisi oluşturun.
Dört adet hücrenin (x11,x12,x21,x22x_{11}, x_{12}, x_{21}, x_{22}) her birinde en az bir küp bulunmalıdır.
Üstten görünümde 2×22 \times 2'lik alanın tamamen dolu olduğu belirtilmiştir.
2
Önden ve sağdan görünümleri yükseklik sınırları olarak tanımlayın.
Önden: max⁡(Sol)=3\max(Sol) = 3, max⁡(Sag˘)=2\max(Sağ) = 2. Sağdan: max⁡(Arka)=3\max(Arka) = 3, max⁡(O¨n)=1\max(Ön) = 1.
Görünümlerdeki yükseklikler, o bakış doğrultusundaki en yüksek sütunu temsil eder.
3
Küpleri minimum olacak şekilde yerleştirin.
Arka-Sol hücreye 33, Arka-Sağ hücreye 22, Ön-Sol hücreye 11 ve Ön-Sağ hücreye 11 küp yerleştirilir.
Maksimumları aynı hücrelerde (örneğin arka sırada) toplamak toplam küp sayısını azaltır.
4
Toplam küp sayısını hesaplayın.
3+2+1+1=73 + 2 + 1 + 1 = 7.
Yerleştirilen tüm birim küplerin toplamı yapının hacmini verir.

Key Concept

Görünümleri verilen yapıların minimum/maksimum küp sayısını bulurken, farklı yönlerden görülen maksimum yüksekliklerin ortak hücrelerde çakıştırılması toplam küp sayısını minimize eder.

Hints

1
Üstten görünüm size tabanda kaç farklı sütun olduğunu ve her sütunda en az bir küp bulunması gerektiğini söyler.
2
Önden bakınca görülen yükseklikler sütunların maksimumlarını, sağdan bakınca görülenler ise sıraların (arka/ön) maksimumlarını belirler.
3
2×22 \times 2'lik bir kare oluşturun. Hücrelere öyle sayılar verin ki her satırın ve her sütunun en büyük sayısı görünümlerdekilerle eşleşsin.

Practice More

Aynı görünümler için yapılabilecek 'en fazla' küp sayısını hesaplayarak konuyu pekiştirebilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Question 17Question →

Birim küplerin birleştirilmesiyle oluşturulmuş, ayrıt uzunlukları 2 birimden büyük tam sayılar olan dikdörtgenler prizması şeklindeki bir yapının tüm dış yüzeyi boyanıyor. Boya kuruduktan sonra yapı tekrar birim küplere ayrılıyor.

Yapılan sayım sonucunda, sadece bir yüzü boyalı olan birim küp sayısının, hiçbir yüzü boyalı olmayan birim küp sayısının 2 katına eşit olduğu görülmüştür.

Buna göre, bu yapının hacmi en az kaç birim küptür?

Show answer & explanation

Answer: 125

Answer

Prizmanın hacmi en az 125 birim küptür.
Verilen koşulu sağlayan en küçük prizma 5×5×55 \times 5 \times 5 boyutlarındadır. Bu durumda içteki boyasız küp sayısı 33=273^3 = 27, sadece bir yüzü boyalı küp sayısı ise 6×32=546 \times 3^2 = 54 olur. 54=2×2754 = 2 \times 27 eşitliği sağlanır. Hacim 53=1255^3 = 125 birim küptür.

Step-by-Step Solution

1
Prizmanın boyutlarını ve boyalı yüzey sayılarını formülize et.
Boyutlar a,b,ca, b, c olsun. Hiç boyalı olmayan (iç) küp sayısı: (a−2)(b−2)(c−2)(a-2)(b-2)(c-2). Sadece bir yüzü boyalı küp sayısı: 2[(a−2)(b−2)+(a−2)(c−2)+(b−2)(c−2)]2[(a-2)(b-2) + (a-2)(c-2) + (b-2)(c-2)].
İçteki küpler boyutlardan 2'şer birim kısılarak bulunur. Bir yüzü boyalılar ise yüzeylerin ortasındaki alanlardır.
2
Verilen eşitliği kullanarak matematiksel denklemi kur.
2[(a−2)(b−2)+(a−2)(c−2)+(b−2)(c−2)]=2×(a−2)(b−2)(c−2)2[(a-2)(b-2) + (a-2)(c-2) + (b-2)(c-2)] = 2 \times (a-2)(b-2)(c-2)
Soruda 'bir yüzü boyalı sayısının, boyasızların 2 katı' olduğu belirtilmiştir.
3
Denklemi sadeleştir ve temel bir bağıntı elde et.
Her iki tarafı 2(a−2)(b−2)(c−2)2(a-2)(b-2)(c-2) ifadesine bölersek: 1c−2+1b−2+1a−2=1\frac{1}{c-2} + \frac{1}{b-2} + \frac{1}{a-2} = 1 elde edilir.
Değişkenleri basitleştirerek çözümüamsayılar kümesinde aramak içindir.
4
x=a−2,y=b−2,z=c−2x = a-2, y = b-2, z = c-2 dönüşümü yaparak 1x+1y+1z=1\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1 denkleminin tam sayı çözümlerini bul.
Olası çözümler: (3,3,3), (2,4,4) ve (2,3,6).
Birim kesirlerin toplamının 1 olduğu durumlar sınırlıdır.
5
Her çözüm kümesi için hacmi (V=a⋅b⋅cV = a \cdot b \cdot c) hesapla ve en küçüğünü seç.
1. Durum (3,3,3): a=5,b=5,c=5⇒V=125a=5, b=5, c=5 \Rightarrow V=125. 2. Durum (2,4,4): a=4,b=6,c=6⇒V=144a=4, b=6, c=6 \Rightarrow V=144. 3. Durum (2,3,6): a=4,b=5,c=8⇒V=160a=4, b=5, c=8 \Rightarrow V=160. En küçük hacim 125'tir.
Minimum hacim sorulmuştur.

Key Concept

Küp Sayma ve Boyama Problemleri

Hints

1
Prizmanın boyutlarına a,b,ca, b, c diyerek, 'hiç boyası olmayan' ve 'sadece bir yüzü boyalı olan' küp sayılarını bu boyutlar cinsinden ifade etmeye çalışın.
2
Hiç boyası olmayan küpler, prizmanın en iç kısmında kalan (a−2)(b−2)(c−2)(a-2)(b-2)(c-2) adet küptür.
3
Denklem 1a−2+1b−2+1c−2=1\frac{1}{a-2} + \frac{1}{b-2} + \frac{1}{c-2} = 1 haline gelir. Bu eşitliği sağlayan en küçük tam sayıları deneyin.

Practice More

Benzer mantıkla, sadece 2 yüzü boyalı küp sayısının hiç boyalı olmayan küp sayısına eşit olduğu durumları inceleyen bir soru çözebilirsiniz.

Alternative Method

Deneme-yanılma yöntemi: En küçük küp olan 3×3×33 \times 3 \times 3 için kontrol edin (sağlamaz). Sonra 4×4×44 \times 4 \times 4 (sağlamaz). Sonra 5×5×55 \times 5 \times 5: İçeride 3×3×3=273 \times 3 \times 3=27, Yüzeylerde 6×(3×3)=546 \times (3 \times 3)=54. 54=2×2754 = 2 \times 27 tutuyor.
Estimated Time:4m 0s
Question 18Question →

Özdeş birim küplerin bir köşe boyunca üst üste ve yan yana dizilmesiyle oluşturulan yukarıdaki yapıda, küpler arasında boşluk bulunmamaktadır. Buna göre, bu blok yapıda toplam kaç adet birim küp bulunmaktadır?

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

Yapıda toplam 10 adet birim küp bulunmaktadır.
Yapı incelendiğinde, en arka köşede 3 katlı bir sütun (33 küp), bu sütuna bitişik iki adet 2 katlı sütun (2+2=42 + 2 = 4 küp) ve en dış tarafta tabanda duran üç adet 1 katlı sütun (1+1+1=31 + 1 + 1 = 3 küp) olduğu görülür. Toplamda 3+4+3=103 + 4 + 3 = 10 adet birim küp vardır.

Step-by-Step Solution

1
Yapıyı oluşturan her bir dikey sütundaki küp sayılarını belirleyin.
En arkadaki en yüksek sütun 3 küp, onun yanındaki iki sütun 2'şer küp ve en öndeki/dıştaki üç sütun 1'er küp yüksekliğindedir.
Küp sayma sorularında en güvenilir yöntem sütun yüksekliklerini tek tek belirlemektir.
2
Belirlenen sütun yüksekliklerini toplayın.
3+2+2+1+1+1=103 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 = 10
Toplam küp sayısı, tüm sütunlardaki küplerin toplamına eşittir.

Key Concept

Hacimsel bir yapıda birim küplerin sayılması ve görünmeyen küplerin mantıksal olarak belirlenmesi.

Hints

1
Şekli yukarıdan baktığınızı hayal ederek her karede kaç küpün üst üste durduğunu (yüksekliğini) rakamla üzerine yazmayı deneyin.
2
En yüksek sütun 3 birimdir. Bu sütunun hemen önündeki ve sağındaki sütunlar 2 birim yüksekliktedir.
3
Toplam küp sayısı; 33 adet 11 katlı, 22 adet 22 katlı ve 11 adet 33 katlı sütunun toplamıdır.

Practice More

Bu yapıyı bir ayrıtı 3 birim olan tam bir küpe (3×3×33 \times 3 \times 3) tamamlamak için kaç küp daha gerektiğini hesaplayarak kendinizi test edebilirsiniz.

Alternative Method

Katman yöntemi kullanabilirsiniz: 1. kat (taban) tamamen dolu mu? Hayır, sadece belirli karelerde küp var. Taban seviyesinde 6 küp, 2. seviyede 3 küp ve 3. seviyede (en tepede) 1 küp vardır. 6+3+1=106 + 3 + 1 = 10.
Estimated Time:45s
Question 19Question →

Ayrıt uzunluğu 5 birim olan dolu bir küp, birim küplerin birleştirilmesiyle oluşturulmuştur. Bu yapının tüm dış yüzeylerine en az 1 birim uzaklıkta bulunan küplerin tamamı çıkarılıyor. Buna göre, geriye kalan yapıda kaç adet birim küp bulunur?

Show answer & explanation

Answer: 98

Answer

Geriye kalan yapıda 98 adet birim küp bulunur.
Soruda verilen yapı, dış kabuğu 1 birim kalınlığında olan içi boş bir küp modelidir. Toplam küp sayısı 5'in küpü olan 125'tir. İçeriden çıkarılan kısım ise, her yüzeyden 1 birim içeride olduğu için boyutları (5-2)x(5-2)x(5-2) yani 3x3x3 olan bir küptür. Bu iç küpün hacmi 27 birim küptür. Geriye kalan küp sayısı 125 - 27 = 98 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Büyük küpün toplam birim küp sayısını hesapla.
5 x 5 x 5 = 125 birim küp
Bir küpün hacmi (veya içerdiği birim küp sayısı), bir kenar uzunluğunun küpüne eşittir.
2
Çıkarılacak iç kısmın boyutlarını belirle.
Kenar uzunluğu = 5 - 2 = 3 birim
Dış yüzeylere en az 1 birim uzaklıkta olan küpler, her boyuttan (sağdan-soldan, üstten-alttan, önden-arkadan) 1'er birim içeride kalır. Bu nedenle her boyuttan 2 birim eksilir.
3
Çıkarılan iç küpün sayısını hesapla.
3 x 3 x 3 = 27 birim küp
İçeride kalan ve çıkarılan kısım, kenar uzunluğu 3 birim olan bir küptür.
4
Kalan küp sayısını bulmak için çıkarma işlemi yap.
125 - 27 = 98 birim küp
Toplam küp sayısından çıkarılan küp sayısı düşülür.

Key Concept

Hacimden Hacim Çıkarma ve Konumsal Mantık

Hints

1
Büyük küpün toplam kaç birim küpten oluştuğunu hesaplayın (535^3).
2
Çıkarılan küplerin oluşturduğu şeklin boyutlarını düşünün. Her yüzeyden 1 birim içeri girildiğinde, bir kenar uzunluğu ne kadar kısalır?
3
Çıkarılan kısım, kenar uzunluğu 5−2=35-2=3 birim olan bir küptür. Toplam sayıdan bu küpün hacmini çıkarın.

Practice More

Benzer mantıkla, 4×4×44 \times 4 \times 4 boyutundaki bir küpün sadece köşelerindeki küpler çıkarılsaydı kaç küp kalırdı?

Alternative Method

Yüzey alanından gitmek de mümkündür ancak daha zordur: Dış yüzeydeki küplerin sayısını hesaplarken köşeleri ve kenarları mükerrer saymamaya dikkat edilmelidir. En güvenli yol toplam hacimden iç hacmi çıkarmaktır.
Estimated Time:1m 30s
Question 20Question →

Aşağıdaki tabloda, zemine yerleştirilen birim küplerden oluşan bir yapının üstten görünümü ve her bir sütundaki küp sayıları (kat yükseklikleri) verilmiştir.

421
252
312

Buna göre, bu yapıya sağ profilden (tablonun sağ tarafından) bakıldığında görülen yüzey alanı kaç birimkaredir?

Show answer & explanation

Answer: 12

Answer

Yapıya sağdan bakıldığında görülen toplam yüzey alanı 12 birimkaredir.
Bir küp yapısına yan profilden bakıldığında oluşan görüntü, o bakış açısına dik olan sıralardaki (burada satırlar) en yüksek kulelerin toplam alanına eşittir. Sağdan bakıldığında:
1. Satır (4-2-1): En yüksek kule 4 birimdir.
2. Satır (2-5-2): En yüksek kule 5 birimdir.
3. Satır (3-1-2): En yüksek kule 3 birimdir.
Toplam görünen yüzey alanı: 4+5+3=124 + 5 + 3 = 12 birimkaredir.

Step-by-Step Solution

1
Bakış yönünü ve mantığını belirle
Sağ profilden bakmak, tablonun satırlarına sağ taraftan bakmak demektir. Bu durumda her bir satır için en yüksek küp sayısı, o satırın izdüşüm alanını (görünen yüksekliğini) verir.
Bir yönden bakıldığında görülen yüzey alanı (silüet), o bakış doğrultusundaki en yüksek blokların toplam alanına eşittir. Arkada kalan daha kısa bloklar görünmez.
2
Birinci satırın (üst satır) görünen alanını hesapla
Satır değerleri: 4, 2, 1. Sağdan bakıldığında en yüksek blok 4 birimdir.
1 birimlik blok en öndedir, ancak arkasındaki 4 birimlik blok onu aşar ve toplamda 4 birimlik yükseklik görünür.
3
İkinci satırın (orta satır) görünen alanını hesapla
Satır değerleri: 2, 5, 2. Sağdan bakıldığında en yüksek blok 5 birimdir.
En yüksek değer 5 olduğu için bu satırın sağdan görünümü 5 birimkarelik bir yüzey oluşturur.
4
Üçüncü satırın (alt satır) görünen alanını hesapla
Satır değerleri: 3, 1, 2. Sağdan bakıldığında en yüksek blok 3 birimdir.
2 birimlik blok öndedir ancak arkadaki 3 birimlik blok daha yüksek olduğu için toplam görünüm 3 birimdir.
5
Toplam alanı bul
Toplam Alan = 4 + 5 + 3 = 12 birimkare.
Her satırın maksimum yüksekliği toplanarak toplam izdüşüm alanı bulunur.

Key Concept

Ortografik İzdüşüm ve Görünüm Analizi

Hints

1
Sağdan baktığınızda, her bir yatay sırada (satırda) göreceğiniz yükseklik, o sıradaki en yüksek kule kadar olacaktır.
2
Örneğin, en üstteki satırda (4, 2, 1) sayıları var. Sağdan baktığınızda en önde 1 katlı bina var, ama onun arkasında 4 katlı bina olduğu için toplamda 4 katlık bir duvar görürsünüz.
3
Her satırın en büyük sayısını bulun ve bunları toplayın: Max(4,2,1) + Max(2,5,2) + Max(3,1,2).

Practice More

Aynı yapının ön ve üst yüzey alanları toplamını soran bir soru çözülebilir.

Alternative Method

Hayal gücünüzü kullanarak en yüksek binaların diğerlerini nasıl gölgelediğini çizerek de bulabilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Page 1 / 2Next