Examkin

Question

Difficulty: HardDörtgenler

Dışbükey bir ABCDABCD dörtgeninin kenar orta noktaları birleştirilerek elde edilen KLMNKLMN dörtgeninin alanı 16316\sqrt{3} cm2\text{cm}^2 dir.

ABCDABCD dörtgeninin köşegenleri arasında ∣AC∣=2∣BD∣|AC| = 2|BD| bağıntısı bulunmaktadır ve köşegen uzunluklarının toplamı 24 cm'dir.

Buna göre, ABCDABCD dörtgeninin köşegenleri arasındaki dar açının ölçüsü kaç derecedir?

  1. A
    15
  2. B
    30
  3. C
    45
  4. 60Answer
  5. E
    75

Answer

Dörtgenin köşegenleri arasındaki dar açı 60 derecedir.
Dörtgenin kenar orta noktaları birleştirildiğinde oluşan alan, tüm alanın yarısıdır. Bu bilgiyle tüm alan 32332\sqrt{3} bulunur. Köşegenler 1616 ve 88 cm olarak hesaplandıktan sonra, alan formülü 12⋅e⋅f⋅sin⁡(α)\frac{1}{2} \cdot e \cdot f \cdot \sin(\alpha) kullanılarak sin⁡(α)=32\sin(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2} elde edilir, bu da dar açının 60 derece olduğunu gösterir.

Step-by-Step Solution

1
Köşegen uzunluklarını bulmak için verilen denklemleri çöz.
∣AC∣=2∣BD∣|AC| = 2|BD| ve ∣AC∣+∣BD∣=24|AC| + |BD| = 24 ise 2∣BD∣+∣BD∣=24⇒3∣BD∣=242|BD| + |BD| = 24 \Rightarrow 3|BD| = 24. Buradan ∣BD∣=8|BD| = 8 cm ve ∣AC∣=16|AC| = 16 cm bulunur.
Soruda verilen uzunluk bağıntılarını kullanarak sayısal değerlere ulaşmak gerekir.
2
Orta noktalar dörtgeni (Varignon paralelkenarı) ile ana dörtgenin alanı arasındaki ilişkiyi kullan.
Alan(ABCDABCD) = 2×2 \times Alan(KLMNKLMN) =2×163=323= 2 \times 16\sqrt{3} = 32\sqrt{3} cm2\text{cm}^2.
Bir dörtgenin kenar orta noktalarının birleştirilmesiyle oluşan dörtgenin alanı, esas dörtgenin alanının yarısıdır.
3
Dörtgenin alan formülünü kullanarak aradaki açıyı hesapla.
Alan(ABCDABCD) = 12⋅∣AC∣⋅∣BD∣⋅sin⁡(α)\frac{1}{2} \cdot |AC| \cdot |BD| \cdot \sin(\alpha) formülünde değerleri yerine koy: 323=12⋅16⋅8⋅sin⁡(α)32\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 8 \cdot \sin(\alpha).
Köşegen uzunlukları ve aralarındaki açı bilindiğinde genel dörtgen alanı sinüs formülüyle bulunur.
4
Denklemi çözerek α\alpha açısını bul.
323=64⋅sin⁡(α)⇒sin⁡(α)=32364=3232\sqrt{3} = 64 \cdot \sin(\alpha) \Rightarrow \sin(\alpha) = \frac{32\sqrt{3}}{64} = \frac{\sqrt{3}}{2}. Sinüsü 32\frac{\sqrt{3}}{2} olan dar açı 60∘60^\circ dir.
Trigonometrik denklem çözümü.

Key Concept

Genel dörtgenlerde alan formülü (Sinüslü Alan) ve Kenar Orta Noktalar Dörtgeni (Varignon Teoremi) ilişkisi.

Hints

1
Önce verilen denklemleri kullanarak köşegen uzunluklarını (∣AC∣|AC| ve ∣BD∣|BD|) hesaplayınız.
2
Kenar orta noktalarını birleştiren KLMNKLMN dörtgeninin alanı ile büyük ABCDABCD dörtgeninin alanı arasında sabit bir oran vardır: Alan(KLMNKLMN) = Alan(ABCD)2\frac{\text{Alan}(ABCD)}{2}.
3
Büyük dörtgenin alanını bulduktan sonra, Alan = 12⋅∣AC∣⋅∣BD∣⋅sin⁡(α)\frac{1}{2} \cdot |AC| \cdot |BD| \cdot \sin(\alpha) formülünü kullanarak açıyı bulunuz.

Practice More

Köşegenleri dik kesişen bir dörtgenin orta noktalar dörtgeninin şekli ve alanı ile ilgili bir soru çözünüz.

Alternative Method

Orta noktalar dörtgeninin kenar uzunlukları, paralel oldukları köşegenlerin yarısına eşittir (∣KL∣=∣AC∣/2|KL| = |AC|/2, ∣LM∣=∣BD∣/2|LM| = |BD|/2). Aradaki açı da köşegenler arasındaki açıya eşittir. Paralelkenar alanı formülünden (a⋅b⋅sin⁡(α)a \cdot b \cdot \sin(\alpha)) doğrudan sonuca gidilebilir: (8)⋅(4)⋅sin⁡(α)=163(8) \cdot (4) \cdot \sin(\alpha) = 16\sqrt{3}.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Dörtgenler

More questions from this topic