Examkin

Question

Difficulty: HardDörtgenler

Aşağıda verilen ABCDABCD yamuğunda [AB]∥[DC][AB] \parallel [DC] dir. m(DAB^)=60∘m(\widehat{DAB}) = 60^\circ, m(ABC^)=45∘m(\widehat{ABC}) = 45^\circ, ∣AD∣=8|AD| = 8 cm ve ∣DC∣=5|DC| = 5 cm olarak verilmiştir.

Buna göre, ABCDABCD yamuğunun alanı kaç cm2\text{cm}^2 dir?

  1. A
    12+14312 + 14\sqrt{3}
  2. B
    20+24320 + 24\sqrt{3}
  3. 24+28324 + 28\sqrt{3}Answer
  4. D
    32+24332 + 24\sqrt{3}
  5. E
    48+56348 + 56\sqrt{3}

Answer

Yamuğun alanı 24+28324 + 28\sqrt{3} cm2\text{cm}^2 dir.
Doğru cevap, yamuğun yüksekliğinin ve alt taban parçalarının özel üçgenler (30-60-90 ve 45-45-90) yardımıyla bulunup, alan formülünde yerine konulmasıyla elde edilir. Yükseklik 434\sqrt{3} ve alt taban 9+439+4\sqrt{3} bulunduğunda, alan (24+283)(24 + 28\sqrt{3}) cm2\text{cm}^2 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
DD ve CC köşelerinden [AB][AB] kenarına dikmeler indirilir.
DD den inilen dikme ayağı HH, CC den inilen dikme ayağı KK olsun. Böylece ortada bir HKCDHKCD dikdörtgeni ve yanlarda ADHADH ile CKBCKB dik üçgenleri oluşur.
Yamuğun alanını bulmak için yüksekliğe ve alt taban uzunluğuna ihtiyaç vardır; bu dikmeler hem yüksekliği hem de taban parçalarını bulmamızı sağlar.
2
ADHADH üçgeninde (30-60-90) kenar uzunlukları hesaplanır.
Hipotenüs ∣AD∣=8|AD|=8 ise, 30∘30^\circ nin karşısı ∣AH∣=4|AH|=4, 60∘60^\circ nin karşısı (yükseklik) ∣DH∣=43|DH|=4\sqrt{3} olur.
30-60-90 üçgeninde hipotenüs, 30 derecenin karşısındaki kenarın 2 katıdır; 60 derecenin karşısı ise 30 derecenin karşısının 3\sqrt{3} katıdır.
3
CKBCKB üçgeninde (45-45-90) kenar uzunlukları hesaplanır.
Yükseklikler eşit olduğundan ∣CK∣=∣DH∣=43|CK| = |DH| = 4\sqrt{3} tür. İkizkenar dik üçgen olduğu için ∣KB∣=43|KB| = 4\sqrt{3} olur.
45-45-90 üçgeninde dik kenarlar birbirine eşittir.
4
Alt taban uzunluğu ∣AB∣|AB| bulunur.
∣AB∣=∣AH∣+∣HK∣+∣KB∣=4+5+43=9+43|AB| = |AH| + |HK| + |KB| = 4 + 5 + 4\sqrt{3} = 9 + 4\sqrt{3} cm. (Not: ∣HK∣=∣DC∣=5|HK|=|DC|=5)
Alt taban, sol üçgenin tabanı, dikdörtgenin tabanı ve sağ üçgenin tabanının toplamıdır.
5
Yamuk alan formülü uygulanır: a+c2⋅h\frac{a+c}{2} \cdot h.
Alan = (9+43)+52⋅43=14+432⋅43=(7+23)⋅43\frac{(9+4\sqrt{3}) + 5}{2} \cdot 4\sqrt{3} = \frac{14+4\sqrt{3}}{2} \cdot 4\sqrt{3} = (7+2\sqrt{3}) \cdot 4\sqrt{3}
Yamuğun alanı, alt ve üst tabanlar toplamının yarısı ile yüksekliğin çarpımına eşittir.
6
Çarpma işlemi dağıtılarak sonuca ulaşılır.
(7⋅43)+(23⋅43)=283+(8⋅3)=283+24(7 \cdot 4\sqrt{3}) + (2\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3}) = 28\sqrt{3} + (8 \cdot 3) = 28\sqrt{3} + 24.
Köklü sayılarda dağılma özelliği uygulanır: a(b+c)=ab+aca(b+c) = ab + ac.

Key Concept

Yamukta Alan Hesabı ve Özel Üçgenler

Hints

1
DD ve CC köşelerinden alt tabana dikmeler indirerek özel üçgenler oluşturmayı deneyin.
2
Oluşan ADHADH üçgeni 30-60-90 üçgeni, CKBCKB üçgeni ise 45-45-90 ikizkenar dik üçgenidir. Bu üçgenlerin kenar bağıntılarını hatırlayın.
3
Yükseklik h=43h = 4\sqrt{3} cm'dir. Alt tabanı üç parça halinde (∣AH∣|AH|, ∣HK∣|HK|, ∣KB∣|KB|) hesaplayıp toplayın, sonra alan formülünü uygulayın.

Practice More

Benzer şekilde, taban açılarından biri 30 derece, diğeri 45 derece olan bir yamuğun alanını hesaplamayı deneyin.

Alternative Method

CC noktasından ADAD'ye paralel bir doğru çizerek yamuğu bir paralelkenar ve bir üçgene ayırabilirsiniz. Oluşan üçgenin kenar ve açı özelliklerini kullanarak yüksekliği bulabilirsiniz.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Dörtgenler

More questions from this topic