Examkin

Question

Difficulty: HardÖzel Tanımlı İşlemler
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı △\triangle işlemi, her xx ve yy gerçel sayısı için
x△y=2x−3y+x⋅(y△x)x \triangle y = 2x - 3y + x \cdot (y \triangle x)
eșitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, 2△32 \triangle 3 işleminin sonucu kaçtır?

  1. A
    -5
  2. 1Answer
  3. C
    3
  4. D
    5
  5. E
    7

Answer

İşlemin sonucu 1'dir.
İşlem kuralı kendi tersine (y△xy \triangle x) bağlı olduğu için, x=2,y=3x=2, y=3 ve x=3,y=2x=3, y=2 durumları için iki denklem yazılıp sistem çözüldüğünde sonuç 1 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Soruda verilen eşitlikte istenen değerler için (x=2,y=3x=2, y=3) ve bunların yer değiştirmiş hali için (x=3,y=2x=3, y=2) iki ayrı denklem oluşturulur.
2△3=2(2)−3(3)+2⋅(3△2)2 \triangle 3 = 2(2) - 3(3) + 2 \cdot (3 \triangle 2) ve 3△2=2(3)−3(2)+3⋅(2△3)3 \triangle 2 = 2(3) - 3(2) + 3 \cdot (2 \triangle 3)
İşlem kendi tersi cinsinden tanımlandığı için (y△xy \triangle x), bir denklem sistemi kurulmalıdır.
2
Değişken ataması yapılarak denklem sistemi sadeleştirilir. A=2△3A = 2 \triangle 3 ve B=3△2B = 3 \triangle 2 olsun.
(1) A=4−9+2B⇒A=−5+2BA = 4 - 9 + 2B \Rightarrow A = -5 + 2B
(2) B=6−6+3A⇒B=3AB = 6 - 6 + 3A \Rightarrow B = 3A
Sistemi daha kolay çözebilmek için karmaşık ifadeler yerine harf sembolleri kullanılır.
3
İkinci denklemde bulunan BB değeri, birinci denklemde yerine yazılır.
A=−5+2(3A)⇒A=−5+6AA = -5 + 2(3A) \Rightarrow A = -5 + 6A
Yok etme veya yerine koyma metoduyla bilinmeyenlerden biri bulunur.
4
Elde edilen tek bilinmeyenli denklem çözülerek AA değeri bulunur.
5=5A⇒A=15 = 5A \Rightarrow A = 1
Soruda istenen 2△32 \triangle 3 değeri AA'ya eşittir.

Key Concept

Özel tanımlı işlemlerde, işlemin kuralı x△yx \triangle y ifadesini y△xy \triangle x cinsinden içeriyorsa, xx ve yy değerleri yer değiştirilerek elde edilen iki denklem ortak çözülür.

Hints

1
İfade içinde y△xy \triangle x terimi geçtiği için, sadece sayıları yerine koymak yetmez; ikinci bir denkleme ihtiyacınız var.
2
xx ve yy harflerinin yerlerini değiştirerek (x=3,y=2x=3, y=2) ikinci bir eşitlik yazın.
3
2△32 \triangle 3 ifadesine AA, 3△23 \triangle 2 ifadesine BB diyerek iki bilinmeyenli denklem sistemini çözün.

Practice More

Benzer yapıda ancak katsayıların sabit olduğu (x△y=2x+y−3(y△x)x \triangle y = 2x + y - 3(y \triangle x) gibi) sorular çözülerek pekiştirilebilir.

Alternative Method

Genel çözüm formülü üretilebilir: A(1−xy)=(2x−3y)+x(2y−3x)A(1-xy) = (2x-3y) + x(2y-3x) formülü türetilip değerler yerine yazılabilir, ancak bu sınav anında daha uzun sürer.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Özel Tanımlı İşlemler

More questions from this topic