Examkin

Question

Difficulty: Very hardDörtgenler

Bir ABCDABCD dik yamuğunda [AB]∥[DC][AB] \parallel [DC] ve [AD]⊥[DC][AD] \perp [DC]'dir. Yamuğun köşegenleri ([AC] ve [BD])([AC] \text{ ve } [BD]) birbirini dik kesmektedir.

∣AD∣=6|AD| = 6 cm ve ABCDABCD yamuğunun alanı 45 cm245 \text{ cm}^2 olduğuna göre, ∣BC∣|BC| uzunluğu kaç cm'dir?

  1. A
    9
  2. B
    10
  3. 3133\sqrt{13}Answer
  4. D
    12
  5. E
    4104\sqrt{10}

Answer

Dik yamukta köşegenler dik kesiştiğinde h2=a⋅ch^2 = a \cdot c bağıntısı kullanılır. Tabanlar 33 ve 1212 bulunur, buradan ∣BC∣=313|BC| = 3\sqrt{13} elde edilir.
Dik yamukta köşegenler dik kesiştiğinde yükseklik bağıntısı (h2=a⋅ch^2 = a \cdot c) ve alan formülü birlikte kullanılarak tabanlar bulunur (33 ve 1212). Ardından oluşturulan dik üçgen yardımıyla yan kenar hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Dik yamukta köşegenlerin dik kesişmesi özelliğini (h2=a⋅ch^2 = a \cdot c) kullan.
62=∣AB∣⋅∣DC∣⇒a⋅c=366^2 = |AB| \cdot |DC| \Rightarrow a \cdot c = 36.
Dik yamukta köşegenler dik kesişiyorsa yükseklik, tabanların geometrik ortalamasıdır.
2
Alan formülünden tabanların toplamını bul.
Alan =a+c2⋅h⇒45=a+c2⋅6⇒a+c=15= \frac{a+c}{2} \cdot h \Rightarrow 45 = \frac{a+c}{2} \cdot 6 \Rightarrow a+c = 15.
Yamuğun alanı, orta taban ile yüksekliğin çarpımına eşittir.
3
Elde edilen iki denklemden (a⋅c=36a \cdot c = 36 ve a+c=15a+c=15) taban uzunluklarını bul.
x2−15x+36=0x^2 - 15x + 36 = 0 denkleminin kökleri 1212 ve 33'tür. Yani ∣AB∣=12|AB|=12 ve ∣DC∣=3|DC|=3.
Toplamları 15, çarpımları 36 olan iki sayı 12 ve 3'tür.
4
CC köşesinden [AB][AB] kenarına dikme indirerek oluşan dik üçgende Pisagor bağıntısı uygula.
Dik kenarlar 66 ve (12−3)=9(12-3)=9 cm olur. ∣BC∣2=62+92=36+81=117|BC|^2 = 6^2 + 9^2 = 36 + 81 = 117.
Yan kenarı bulmak için yamuk içinde dik üçgen oluşturulur.
5
Sonucu kök dışına çıkar.
∣BC∣=117=9⋅13=313|BC| = \sqrt{117} = \sqrt{9 \cdot 13} = 3\sqrt{13} cm.
Sadeleştirme işlemi.

Key Concept

Dik Yamukta Köşegenlerin Dik Kesişmesi (h2=a⋅ch^2=a \cdot c)

Hints

1
Dik yamukta köşegenler dik kesişiyorsa, yükseklik ile tabanlar arasında özel bir bağıntı vardır (h2=a⋅ch^2 = a \cdot c).
2
Alan formülünden tabanların toplamını (a+ca+c), yükseklik bağıntısından çarpımını (a⋅ca \cdot c) bularak aa ve cc değerlerini hesaplayınız.
3
Tabanları 33 ve 1212 bulduktan sonra, CC noktasından [AB][AB]'ye dik inerek oluşan dik üçgende Pisagor bağıntısı uygulayınız.

Alternative Method

Benzerlik kullanarak: Köşegenlerin kesişim noktasından geçen ve tabanlara paralel olan doğru parçasını kullanarak da çözüm yapılabilir, ancak h2=ach^2=ac kuralı en kısa yoldur.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Dörtgenler

More questions from this topic