Examkin

Question

Difficulty: HardÖzdeşlikler
xx ve yy birer gerçel sayı olmak üzere,
x3+3xy2=63x^3 + 3xy^2 = 63
3x2y+y3=623x^2y + y^3 = 62
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, x2−y2x^2 - y^2 ifadesinin değeri kaçtır?

  1. A
    1
  2. 5Answer
  3. C
    13
  4. D
    25
  5. E
    125

Answer

İki kare farkı özdeşliği kullanılarak elde edilen sonuç 5'tir.
Verilen iki denklem taraf tarafa toplandığında (x+y)3=125(x+y)^3 = 125 elde edilir, buradan x+y=5x+y=5 bulunur. Taraf tarafa çıkarıldığında ise (x−y)3=1(x-y)^3 = 1 elde edilir, buradan x−y=1x-y=1 bulunur. İstenen x2−y2x^2-y^2 ifadesi (x−y)(x+y)(x-y)(x+y) çarpımına eşittir, bu da 1⋅5=51 \cdot 5 = 5 sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen iki denklemi taraf tarafa toplayarak (x+y)3(x+y)^3 açılımını elde et.
x3+3x2y+3xy2+y3=63+62  ⟹  (x+y)3=125x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 = 63 + 62 \implies (x+y)^3 = 125
Tam küp toplamı özdeşliğini: (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 kullanmak için.
2
Elde edilen eşitlikten x+yx+y değerini bul.
(x+y)3=53  ⟹  x+y=5(x+y)^3 = 5^3 \implies x+y = 5
Sonuca gitmek için gerekli olan bileşenlerden birini bulmak.
3
Birinci denklemden ikinci denklemi taraf tarafa çıkararak (x−y)3(x-y)^3 açılımını elde et.
x3−3x2y+3xy2−y3=63−62  ⟹  (x−y)3=1x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3 = 63 - 62 \implies (x-y)^3 = 1
Tam küp farkı özdeşliğini: (a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 kullanmak için.
4
Elde edilen eşitlikten x−yx-y değerini bul.
(x−y)3=13  ⟹  x−y=1(x-y)^3 = 1^3 \implies x-y = 1
İstenen ifadeyi hesaplamak için ikinci bileşeni bulmak.
5
x2−y2x^2 - y^2 ifadesini iki kare farkı özdeşliği ile hesapla.
x2−y2=(x−y)(x+y)=1⋅5=5x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) = 1 \cdot 5 = 5
Bulunan değerleri yerine koyarak nihai sonuca ulaşmak.

Key Concept

Tam küp açılımları ((x±y)3(x ± y)^3) ve iki kare farkı (x2−y2x^2-y^2) özdeşliklerinin sistemli kullanımı.

Hints

1
Denklemleri taraf tarafa toplamayı ve çıkarmayı deneyin.
2
Toplama işlemi (x+y)3(x+y)^3 açılımını, çıkarma işlemi (x−y)3(x-y)^3 açılımını verecektir.
3
x2−y2=(x−y)(x+y)x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) özdeşliğini kullanmak için x+yx+y ve x−yx-y değerlerini ayrı ayrı bulun.

Practice More

Benzer katsayı ilişkileri içeren ancak x3+y3x^3+y^3 toplamının sorulduğu sorular.

Alternative Method

x ve y değerlerini tahmin ederek veya çözerek (x=3,y=2x=3, y=2) doğrudan yerine koyma yöntemi de kullanılabilir, ancak denklem sistemi çözümü daha geneldir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Özdeşlikler

More questions from this topic