Examkin

Question

Difficulty: MediumTekrarlı Permütasyon

Bir kamu kurumunun arşiv düzenlemesi sırasında; içerikleri ve özellikleri bakımından özdeş olan 3 adet kırmızı, 2 adet mavi ve 2 adet sarı dosya, tek bir raf üzerine yan yana dizilecektir.

Kırmızı dosyaların herhangi ikisinin yan yana gelmemesi şartıyla, bu dosyalar rafa kaç farklı şekilde dizilebilir?

  1. 60Answer
  2. B
    120
  3. C
    180
  4. D
    210
  5. E
    360

Answer

Dosyalar 60 farklı şekilde dizilebilir.
Soruda verilen 'kırmızı dosyaların yan yana gelmemesi' şartı, tekrarlı permütasyon içinde 'boşluk yöntemi' (gap method) kullanılmasını gerektirir. Önce kısıtlama olmayan Mavi (2 adet) ve Sarı (2 adet) dosyalar dizilir. Bu 4 dosya 4!2!2!=6\frac{4!}{2!2!} = 6 farklı şekilde sıralanır. Bu dosyaların arasında ve uçlarında toplam 5 adet boşluk oluşur (_ D _ D _ D _ D _). Özdeş olan 3 kırmızı dosya, bu 5 boşluktan herhangi 3'üne yerleştirilmelidir. Kırmızı dosyalar özdeş olduğundan sıra önemli değildir, sadece yer seçimi yapılır: (53)=10\binom{5}{3} = 10. Sonuç çarpım kuralıyla 6×10=606 \times 10 = 60 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Kısıtlamasız olan diğer dosyaların (mavi ve sarı) kendi aralarındaki sıralanışını hesapla.
Mavi (2) ve Sarı (2) dosyalar için: 4!2!⋅2!=244=6\frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{24}{4} = 6 farklı dizilim.
Yan yana gelmemesi istenen nesneler haricindekiler önce dizilerek boşluklar oluşturulur.
2
Oluşan boşluk sayısını belirle ve kırmızı dosyaların yerleşebileceği yerleri seç.
4 dosya 5 boşluk oluşturur: _ D _ D _ D _ D _. 3 kırmızı dosya, bu 5 boşluğa (53)\binom{5}{3} şeklinde yerleşir.
Kırmızı dosyalar özdeş olduğu için yerleştirme işleminde sıralama (permütasyon) değil, seçme (kombinasyon) kullanılır.
3
Boşluk seçimi kombinasyonunu hesapla.
(53)=5⋅4⋅33⋅2⋅1=10\binom{5}{3} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10.
Matematiksel işlem.
4
Bulunan iki değeri çarpım kuralına göre çarp.
6×10=606 \times 10 = 60.
Olayların birlikte gerçekleşme sayısı çarpım kuralı ile bulunur.

Key Concept

Tekrarlı nesnelerin diziliminde 'yan yana gelmeme' şartı varsa, önce diğer nesneler dizilir, sonra oluşan boşluklara kısıtlı nesneler yerleştirilir (Ayraç/Boşluk Yöntemi).

Hints

1
Önce kısıtlama olmayan mavi ve sarı dosyaları dizerek başlayın.
2
Mavi ve sarı dosyalar dizildikten sonra, kırmızı dosyaları bunların arasında oluşan boşluklara yerleştirmeniz gerekir.
3
4 dosya dizildiğinde 5 boşluk oluşur. Kırmızı dosyalar özdeş olduğu için, bu 5 boşluktan 3 tanesini seçmeniz (kombinasyon) yeterlidir.

Alternative Method

Toplam dizilim sayısı (210) üzerinden gitmek bu soruda çok zordur çünkü '2 kırmızı yan yana, 1 ayrı' durumlarını tek tek hesaplayıp çıkarmak gerekir. Ayraç yöntemi (boşluklara yerleştirme) her zaman daha pratiktir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Tekrarlı Permütasyon

More questions from this topic