Examkin

Question

Difficulty: HardBasit Eşitsizlikler

a,ba, b ve cc gerçel sayıları için aşağıdaki eşitsizlikler verilmiştir:

a2<aa^2 < a
a⋅c>ca \cdot c > c
a⋅b⋅c>0a \cdot b \cdot c > 0
b>cb > c

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

  1. (a - b) \cdot (b - c) > 0Answer
  2. B
    b^2 > c^2
  3. C
    1b>1c\frac{1}{b} > \frac{1}{c}
  4. D
    a - b < 0
  5. E
    a + c > 0

Answer

Verilen koşullar altında sayıların sıralaması c<b<0<a<1c < b < 0 < a < 1 şeklindedir; bu durumda (a−b)(b−c)>0(a-b)(b-c) > 0 ifadesi daima doğrudur.
Yapılan analizler sonucunda sayıların sıralaması c<b<0<a<1c < b < 0 < a < 1 olarak bulunmuştur. Doğru seçenek (a−b)⋅(b−c)>0(a - b) \cdot (b - c) > 0 ifadesidir. Çünkü:
1. aa pozitif, bb negatiftir. a−b=a+∣b∣a - b = a + |b| olacağından bu ifade pozitiftir.
2. b>cb > c olduğu verilmiştir, dolayısıyla b−c>0b - c > 0 yani bu ifade de pozitiftir.
3. İki pozitif sayının çarpımı (+⋅++\cdot+) sıfırdan büyüktür.

Step-by-Step Solution

1
İlk eşitsizliği analiz etme (a2<aa^2 < a)
0<a<10 < a < 1
Bir sayının karesi kendisinden küçükse, o sayı 0 ile 1 arasındadır.
2
İkinci eşitsizliği kullanarak cc'nin işaretini bulma (a⋅c>ca \cdot c > c)
c(a−1)>0⇒c<0c(a - 1) > 0 \Rightarrow c < 0
0<a<10 < a < 1 olduğu için (a−1)(a-1) negatiftir. Çarpımın pozitif olması için cc de negatif olmalıdır.
3
Üçüncü eşitsizliği kullanarak bb'nin işaretini bulma (a⋅b⋅c>0a \cdot b \cdot c > 0)
a(+)⋅b(?)⋅c(−)>0⇒−b>0⇒b<0a(+) \cdot b(?) \cdot c(-) > 0 \Rightarrow -b > 0 \Rightarrow b < 0
Pozitif (aa) ve negatif (cc) sayıların çarpımı negatiftir. Sonucun pozitif olması için bb negatif olmalıdır.
4
Sayılar arasındaki genel sıralamayı oluşturma (b>cb > c)
c<b<0<a<1c < b < 0 < a < 1
bb ve cc negatif olup b>cb > c verildiğinden sıralama bu şekilde oluşur.
5
Seçenekleri bu sıralamaya göre test etme
(a−b)(a-b) pozitiftir (pozitif - negatif). (b−c)(b-c) pozitiftir (büyük - küçük). Çarpımları pozitiftir.
Doğru seçeneği belirlemek için işaret analizi yapılır.

Key Concept

Basit Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi

Hints

1
a2<aa^2 < a eşitsizliği, aa sayısının 0 ile 1 arasında olduğunu gösterir.
2
a⋅c>ca \cdot c > c eşitsizliğini c(a−1)>0c(a - 1) > 0 şeklinde düzenleyerek cc'nin işaretini belirleyin.
3
İşaretleri belirledikten sonra sayıları c<b<0<a<1c < b < 0 < a < 1 şeklinde sayı doğrusuna yerleştirip seçenekleri test edin.

Alternative Method

Değer verme yöntemi: a=0.5a = 0.5, b=−2b = -2, c=−4c = -4 seçerek koşulların sağlandığını (b>cb > c ve işaretler) doğrulayın ve seçeneklerde yerine koyun.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Basit Eşitsizlikler

More questions from this topic