Examkin

Question

Difficulty: HardÖzel Tanımlı İşlemler
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı Δ\Delta işlemi, her xx ve yy gerçel sayısı için
xΔy=2x+2y−xy−2x \Delta y = 2x + 2y - xy - 2
eşitliği ile veriliyor.

Buna göre, bu işlem altında tersi kendisine eşit olan farklı gerçel sayıların toplamı kaçtır?

  1. A
    1
  2. B
    2
  3. C
    3
  4. 4Answer
  5. E
    5

Answer

Tersi kendisine eşit olan sayıların toplamı 4'tür.
İşlemin birim elemanı e=1e=1 olarak bulunur. Tersi kendisine eşit olan sayılar için xΔx=1x \Delta x = 1 denklemi çözüldüğünde x=1x=1 ve x=3x=3 değerleri elde edilir. Bu değerlerin toplamı 4'tür.

Step-by-Step Solution

1
Birim (etkisiz) elemanı (ee) bulmak için xΔe=xx \Delta e = x eşitliğini kullan.
2x+2e−xe−2=x⇒e(2−x)=2−x⇒e=12x + 2e - xe - 2 = x \Rightarrow e(2-x) = 2-x \Rightarrow e=1
Bir elemanın tersini bulabilmek için önce işlemin birim elemanının bilinmesi gerekir.
2
Tersi kendisine eşit olan eleman şartını (xΔx=ex \Delta x = e) uygula.
xΔx=1⇒2x+2x−x2−2=1x \Delta x = 1 \Rightarrow 2x + 2x - x^2 - 2 = 1
Bir xx sayısının tersi x−1x^{-1} ise, xΔx−1=ex \Delta x^{-1} = e olmalıdır. Soruda x−1=xx^{-1} = x olması istenmiştir.
3
Elde edilen ikinci dereceden denklemi düzenle ve çöz.
4x−x2−2=1⇒x2−4x+3=04x - x^2 - 2 = 1 \Rightarrow x^2 - 4x + 3 = 0. Çarpanları: (x−3)(x−1)=0(x-3)(x-1)=0. Kökler: x1=3,x2=1x_1=3, x_2=1.
Denklemin kökleri, tersi kendisine eşit olan sayıları verir.
4
Bulunan değerleri topla.
3+1=43 + 1 = 4.
Soruda bu sayıların toplamı istenmiştir.

Key Concept

Özel tanımlı bir işlemde birim eleman (ee) x∗e=xx \ast e = x kuralıyla, ters eleman (x−1x^{-1}) ise x∗x−1=ex \ast x^{-1} = e kuralıyla bulunur.

Hints

1
Önce işlemin birim (etkisiz) elemanını bulmalısın. Birim eleman ee için xΔe=xx \Delta e = x eşitliği sağlanmalıdır.
2
Birim elemanı e=1e=1 bulduktan sonra, bir xx sayısının tersinin kendisine eşit olması için xΔx=1x \Delta x = 1 denklemini kurmalısın.
3
xΔx=2x+2x−x2−2x \Delta x = 2x + 2x - x^2 - 2 ifadesini 1'e eşitleyip oluşan x2−4x+3=0x^2 - 4x + 3 = 0 denklemini çözmelisin.

Practice More

Aynı işlem için 'Hangi sayının tersi yoktur?' sorusu çözülebilir (x=2x=2 için tanımsızlık durumu).

Alternative Method

Kökler toplamı formülü (x1+x2=−b/ax_1 + x_2 = -b/a) kullanılarak, x2−4x+3=0x^2 - 4x + 3 = 0 denkleminden kökleri tek tek bulmadan doğrudan toplamın −(−4)/1=4-(-4)/1 = 4 olduğu görülebilir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Özel Tanımlı İşlemler

More questions from this topic