Examkin

Question

Difficulty: MediumPozitif ve Negatif Sayılar

Sıfırdan farklı x,yx, y ve zz gerçel sayıları için aşağıda verilen eşitsizlikler sağlanmaktadır:

xy<0 \frac{x}{y} < 0
x−y>0 x - y > 0
x<z x < z
y+z<0 y + z < 0

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

  1. A
    y⋅z>0y \cdot z > 0
  2. B
    z−x<0z - x < 0
  3. C
    ∣y∣<∣z∣|y| < |z|
  4. x+y<0x + y < 0Answer
  5. E
    x2>z2x^2 > z^2

Answer

x+y<0x + y < 0 ifadesi daima doğrudur.
Verilen öncüllerden xx ve zz'nin pozitif, yy'nin negatif olduğu anlaşılır. y+z<0y+z<0 bilgisi, negatif olan yy'nin mutlak değerce zz'den (ve dolayısıyla zz'den küçük olan xx'ten) daha büyük olduğunu kanıtlar. Bu yüzden x+yx+y toplamı kesinlikle negatif olmalıdır.

Step-by-Step Solution

1
xx ve yy sayılarının işaretlerini belirle.
xy<0\frac{x}{y} < 0 olduğu için xx ve yy zıt işaretlidir. x−y>0x - y > 0 ise x>yx > y demektir. Bu durumda pozitif olan büyük sayı xx, negatif olan küçük sayı yy'dir (x>0,y<0x > 0, y < 0).
Zıt işaretli iki sayıdan büyük olanı pozitif olmak zorundadır.
2
zz sayısının işaretini ve xx ile ilişkisini belirle.
x<zx < z verilmiştir. xx pozitif olduğu için, xx'ten büyük olan zz sayısı da kesinlikle pozitiftir (z>x>0z > x > 0).
Pozitif bir sayıdan daha büyük olan sayı da pozitiftir.
3
yy ve zz arasındaki mutlak değer ilişkisini incele.
y+z<0y + z < 0 verilmiştir. yy negatif, zz pozitiftir. Toplamın negatif olması için negatif sayının mutlak değerinin pozitif sayıdan büyük olması gerekir. Yani ∣y∣>∣z∣|y| > |z|'dir.
Zıt işaretli sayıların toplamı, mutlak değerce büyük olan sayının işaretini alır.
4
xx ve yy toplamının işaretini belirle.
Sıralamamız ∣y∣>∣z∣|y| > |z| ve z>xz > x şeklindedir. Bu durumda ∣y∣>x|y| > x olur. yy negatif ve xx pozitif olduğundan, mutlak değerce büyük olanın işareti geçerlidir. Sonuç: x+y<0x + y < 0.
Negatif sayının büyüklüğü (şiddeti), pozitif sayının büyüklüğünden fazlaysa toplam negatif olur.

Key Concept

Eşitsizliklerde işaret incelemesi ve mutlak değerce büyüklük yorumu.

Hints

1
Önce xy<0\frac{x}{y} < 0 ve x−y>0x - y > 0 eşitsizliklerini kullanarak xx ve yy'nin işaretlerini belirleyin.
2
xx pozitif ve yy negatiftir. x<zx < z olduğuna göre zz'nin işareti ne olmalıdır? Sonrasında y+z<0y+z < 0 ifadesini mutlak değer cinsinden düşünün.
3
y+z<0y+z < 0 olması, negatif olan yy'nin mutlak değerinin pozitif olan zz'den büyük olduğu anlamına gelir (∣y∣>z|y| > z). zz de xx'ten büyüktür. Bu durumda yy ile xx'i toplarsanız sonuç ne olur?

Alternative Method

Sayı vererek deneme yöntemi: Eşitsizlikleri sağlayan örnek sayılar seçilebilir. Örneğin z=5z=5 olsun. x<zx < z olduğundan x=2x=2 olsun (pozitif olmak zorunda). x/y<0x/y < 0 için yy negatif olmalı. y+z<0y+z < 0 olması için yy'nin -5'ten küçük olması gerekir, örneğin y=−8y=-8. Bu değerler için şıklar test edilebilir: x+y=2+(−8)=−6<0x+y = 2 + (-8) = -6 < 0.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Pozitif ve Negatif Sayılar

More questions from this topic