Examkin

Question

Difficulty: HardDörtgenler

Bir ABCDABCD dışbükey dörtgeninde ∣AB∣=6|AB| = 6 cm, ∣AD∣=4|AD| = 4 cm ve m(BAD^)=60∘m(\widehat{BAD}) = 60^\circ olarak verilmiştir. Ayrıca ∣BC∣=∣CD∣|BC| = |CD| ve m(BCD^)=60∘m(\widehat{BCD}) = 60^\circ olduğuna göre, ABCDABCD dörtgeninin alanı kaç cm2\text{cm}^2 dir?

  1. A
    10310\sqrt{3}
  2. B
    11311\sqrt{3}
  3. C
    12312\sqrt{3}
  4. 13313\sqrt{3}Answer
  5. E
    14314\sqrt{3}

Answer

13313\sqrt{3}
Dörtgenin alanı, [BD] köşegeni ile iki üçgene (ABDABD ve BCDBCD) ayrılarak hesaplanır. ABDABD üçgeninin alanı sinüs teoremi ile 636\sqrt{3} bulunur. BDBD kenarı kosinüs teoremi ile 272\sqrt{7} bulunur. BCDBCD üçgeni, tepe açısı 60∘60^\circ olan bir ikizkenar üçgen olduğu için eşkenardır ve alanı 737\sqrt{3} olarak hesaplanır. Toplam alan 13313\sqrt{3} olur.

Step-by-Step Solution

1
Dörtgeni iki üçgene ayırmak için [BD] köşegenini çizin.
Dörtgen, ABDABD ve BCDBCD olmak üzere iki üçgene ayrılır.
Verilen açı ve kenar bilgilerini kullanarak her bir parçanın alanını ayrı ayrı hesaplayabilmek için.
2
ABDABD üçgeninin alanını Sinüs Alan Formülü ile hesaplayın: Alan=12⋅∣AB∣⋅∣AD∣⋅sin⁡(60∘)\text{Alan} = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot |AD| \cdot \sin(60^\circ).
Alan(ABD)=12⋅6⋅4⋅32=63 cm2\text{Alan}(ABD) = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \text{ cm}^2.
İki kenar ve arasındaki açı bilindiğinde alan hesabı yapmak için.
3
BDBD uzunluğunu bulmak için ABDABD üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulayın: ∣BD∣2=62+42−2⋅6⋅4⋅cos⁡(60∘)|BD|^2 = 6^2 + 4^2 - 2 \cdot 6 \cdot 4 \cdot \cos(60^\circ).
∣BD∣2=36+16−24=28|BD|^2 = 36 + 16 - 24 = 28 olup, ∣BD∣=28=27|BD| = \sqrt{28} = 2\sqrt{7} cm bulunur.
Diğer üçgenin (BCDBCD) kenar uzunluğunu bulmak için ortak kenar olan köşegeni hesaplamak gerekir.
4
BCDBCD üçgeninin türünü ve alanını belirleyin.
∣BC∣=∣CD∣|BC|=|CD| ve m(C^)=60∘m(\widehat{C})=60^\circ olduğundan BCDBCD eşkenar üçgendir. Kenar uzunluğu 272\sqrt{7} cm'dir.
Tepe açısı 60∘60^\circ olan ikizkenar üçgen her zaman eşkenardır.
5
BCDBCD eşkenar üçgeninin alanını hesaplayın: Alan=a234\text{Alan} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}.
Alan(BCD)=(27)234=2834=73 cm2\text{Alan}(BCD) = \frac{(2\sqrt{7})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{28\sqrt{3}}{4} = 7\sqrt{3} \text{ cm}^2.
Eşkenar üçgen alan formülü uygulanarak ikinci parçanın alanı bulunur.
6
Toplam alanı bulmak için iki üçgenin alanını toplayın.
Alan(ABCD)=63+73=133 cm2\text{Alan}(ABCD) = 6\sqrt{3} + 7\sqrt{3} = 13\sqrt{3} \text{ cm}^2.
Dörtgenin toplam alanı, kendisini oluşturan ayrık bölgelerin alanları toplamına eşittir.

Key Concept

Dörtgenlerde Alan Paylaşımı ve Kosinüs Teoremi

Hints

1
Dörtgeni [BD] köşegenini çizerek iki farklı üçgene ayırmayı deneyin.
2
Oluşan ABDABD üçgeninde alan hesabı için Sinüs Alan Formülünü, ∣BD∣|BD| uzunluğunu bulmak için ise Kosinüs Teoremini kullanın.
3
BCDBCD üçgeninin tepe açısı 60∘60^\circ olan bir ikizkenar üçgen olduğunu fark edin. Bu, onun bir eşkenar üçgen olduğu anlamına gelir.

Practice More

Benzer şekilde, açılar 90∘90^\circ veya 120∘120^\circ verildiğinde alan ve kenar ilişkilerini inceleyen sorular çözülebilir.

Alternative Method

Dörtgenin alanını bulmak için A ve C köşelerinden BD köşegenine dikmeler indirilerek taban ve yükseklikler üzerinden de gidilebilir, ancak bu soruda özel açılar (60∘60^\circ) olduğu için üçgenlere ayırma yöntemi en pratik yoldur.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Dörtgenler

More questions from this topic