Examkin

Question

Difficulty: HardBasit Eşitsizlikler

x,yx, y ve zz sıfırdan farklı gerçel sayıları için,

I. x2<xx^2 < x
II. x⋅y>yx \cdot y > y
III. y⋅z>zy \cdot z > z
IV. 1y<1z\frac{1}{y} < \frac{1}{z}

eşitsizlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

  1. A
    x⋅y<zx \cdot y < z
  2. B
    y^2 > z^2
  3. C
    x⋅z>yx \cdot z > y
  4. x + y > zAnswer
  5. E
    xy>xz\frac{x}{y} > \frac{x}{z}

Answer

x ile y'nin toplamının z'den büyük olduğu ifadesi daima doğrudur.
Verilen öncüllerden sayıların z<y<0<x<1z < y < 0 < x < 1 şeklinde sıralandığı bulunur. Doğru seçenek x+y>zx + y > z ifadesidir. yy sayısı zz sayısından büyüktür (y>zy > z). Eşitsizliğin sol tarafına pozitif bir sayı olan xx eklendiğinde büyüklük daha da artar (x+y>y>zx + y > y > z). Dolayısıyla bu ifade daima doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
Birinci öncül olan x2<xx^2 < x eşitsizliğini analiz et.
Bir sayının karesi kendisinden küçükse, o sayı 0 ile 1 arasındadır. Yani 0<x<10 < x < 1.
Karesi kendinden küçük olan tek sayı aralığı (0,1)(0,1) aralığıdır.
2
İkinci öncül olan x⋅y>yx \cdot y > y eşitsizliğini düzenle.
x⋅y−y>0⇒y(x−1)>0x \cdot y - y > 0 \Rightarrow y(x - 1) > 0 elde edilir. x<1x < 1 olduğundan (x−1)(x-1) negatiftir. Çarpımın pozitif olması için yy negatif olmalıdır (y<0y < 0).
İşaret incelemesi yaparak y'nin aralığını belirlemek gerekir.
3
Üçüncü öncül olan y⋅z>zy \cdot z > z eşitsizliğini düzenle.
y⋅z−z>0⇒z(y−1)>0y \cdot z - z > 0 \Rightarrow z(y - 1) > 0 elde edilir. y<0y < 0 olduğundan (y−1)(y-1) kesinlikle negatiftir. Çarpımın pozitif olması için zz negatif olmalıdır (z<0z < 0).
Benzer işaret incelemesi ile z'nin aralığını belirlemek gerekir.
4
Dördüncü öncül olan 1y<1z\frac{1}{y} < \frac{1}{z} eşitsizliğini yorumla.
yy ve zz negatif sayılardır. Negatif sayılarda çarpmaya göre tersi küçük olan sayı aslında daha büyüktür (Sıfıra daha yakındır). Dolayısıyla y>zy > z sonucuna ulaşılır.
Negatif sayılarda sıralama tersine döner.
5
Elde edilen tüm bilgileri sayı doğrusunda sırala ve seçenekleri değerlendir.
Sıralama: z<y<0<x<1z < y < 0 < x < 1. Bu durumda x>0x > 0 ve y>zy > z olduğu için, xx eklenince (x+yx+y), sonuç zz'den kesinlikle büyük olur (x+y>y>zx+y > y > z).
Doğru seçeneği bulmak için sentez yapılması gerekir.

Key Concept

Basit Eşitsizliklerde Sıralama ve İşaret İncelemesi

Hints

1
Önce x2<xx^2 < x eşitsizliğinden xx'in hangi aralıkta olduğunu belirleyin.
2
xx sayısının (0,1)(0, 1) aralığında olduğunu bulduktan sonra, diğer eşitsizliklerdeki paranteze alma işlemlerini (örn. y(x−1)>0y(x-1)>0) yaparak işaretleri inceleyin.
3
Negatif sayılar olan yy ve zz için 1y<1z\frac{1}{y} < \frac{1}{z} eşitsizliği y>zy > z anlamına gelir. Sıralamanızı z<y<0<x<1z < y < 0 < x < 1 şeklinde kurun.

Practice More

Mutlak değerli eşitsizliklerde sıralama soruları çözülebilir.

Alternative Method

Değer vererek sağlama yapılabilir. Örneğin şartları sağlayan değerler olarak x=0.5x = 0.5, y=−2y = -2, z=−4z = -4 seçilip seçenekler test edilebilir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Basit Eşitsizlikler

More questions from this topic