Examkin

Question

Difficulty: MediumÖzdeşlikler
xx sıfırdan farklı bir gerçel sayı olmak üzere,
x2−5x+1=0x^2 - 5x + 1 = 0
olduğuna göre, x2+1x2x^2 + \frac{1}{x^2} toplamının değeri kaçtır?
  1. A
    21
  2. 23Answer
  3. C
    25
  4. D
    27
  5. E
    29

Answer

İşlemler sonucunda x2+1x2x^2 + \frac{1}{x^2} toplamının değeri 23 olarak bulunur.
Verilen denklem xx ile bölündüğünde x+1x=5x + \frac{1}{x} = 5 eşitliği elde edilir. Bu ifadenin karesi alındığında (x+1x)2=x2+2+1x2(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} açılımından 25=x2+2+1x225 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} olur. Buradan 2 çıkarıldığında 23 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Verilen x2−5x+1=0x^2 - 5x + 1 = 0 denkleminin her bir terimini xx ile bölün.
x2x−5xx+1x=0x⇒x−5+1x=0\frac{x^2}{x} - \frac{5x}{x} + \frac{1}{x} = \frac{0}{x} \Rightarrow x - 5 + \frac{1}{x} = 0
x+1xx + \frac{1}{x} yapısına ulaşmak için değişkenleri sadeleştirmek gerekir.
2
Sabit terimi eşitliğin diğer tarafına atarak ifadeyi düzenleyin.
x+1x=5x + \frac{1}{x} = 5
Tam kare özdeşliğini uygulayabilmek için temel toplamı yalnız bırakmak gerekir.
3
Elde edilen x+1x=5x + \frac{1}{x} = 5 eşitliğinin her iki tarafının karesini alın.
(x+1x)2=52⇒x2+2⋅x⋅1x+1x2=25(x + \frac{1}{x})^2 = 5^2 \Rightarrow x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 25
x2+1x2x^2 + \frac{1}{x^2} terimlerine ulaşmak için tam kare açılımı yapılmalıdır.
4
Ortadaki sabit terimi sadeleştirip karşıya atarak istenen toplamı bulun.
x2+2+1x2=25⇒x2+1x2=25−2=23x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 25 \Rightarrow x^2 + \frac{1}{x^2} = 25 - 2 = 23
İstenen ifadeyi yalnız bırakmak için +2+2 sabitini karşıya işaret değiştirerek geçirmek gerekir.

Key Concept

İki terimin toplamının karesi özdeşliği: (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Hints

1
Denklemin her terimini xx değişkenine bölerek x+1/xx + 1/x yapısını elde etmeye çalışın.
2
x+1/x=5x + 1/x = 5 olduğunu bulduktan sonra her iki tarafın karesini alarak tam kare özdeşliğini uygulayın.
3
(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 açılımında a=xa=x ve b=1/xb=1/x alırsanız ortadaki terimin 22 olacağını göreceksiniz.

Practice More

x2−4x−1=0x^2 - 4x - 1 = 0 ise x2+1/x2x^2 + 1/x^2 toplamını bularak farkın karesi özdeşliğini pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

x2+1x2=(x+1x)2−2x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2 genel formülünü kullanarak, x+1x=5x + \frac{1}{x} = 5 değerini doğrudan yerine yerleştirebilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Özdeşlikler

More questions from this topic