Examkin

Question

Difficulty: HardÖzdeşlikler
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
x2−4x−1=0x^2 - 4x - 1 = 0
olduğunu göre, x6−1x3\frac{x^6 - 1}{x^3} ifadesinin değeri kaçtır?
  1. A
    52
  2. B
    64
  3. C
    68
  4. 76Answer
  5. E
    82

Answer

İfadenin değeri 76'dır.
Verilen denklem xx ile bölünerek x−1/x=4x - 1/x = 4 bulunur. İstenen ifade x3−1/x3x^3 - 1/x^3 şeklinde sadeleşir. İki küp farkı özdeşliği (a3−b3=(a−b)3+3ab(a−b)a^3 - b^3 = (a-b)^3 + 3ab(a-b)) kullanılarak 43+3(4)=64+12=764^3 + 3(4) = 64 + 12 = 76 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Verilen x2−4x−1=0x^2 - 4x - 1 = 0 denkleminin her iki tarafını xx'e bölün (x ≠\neq 0 olduğu açıktır).
x−4−1x=0  ⟹  x−1x=4x - 4 - \frac{1}{x} = 0 \implies x - \frac{1}{x} = 4
Sorulan ifadeyi hesaplamak için x−1xx - \frac{1}{x} değerine ihtiyacımız vardır.
2
Sorulan x6−1x3\frac{x^6 - 1}{x^3} ifadesini terimlerine ayırarak sadeleştirin.
x6x3−1x3=x3−1x3\frac{x^6}{x^3} - \frac{1}{x^3} = x^3 - \frac{1}{x^3}
İfadeyi iki küp farkı özdeşliği formuna getirmek çözümü kolaylaştırır.
3
İki küp farkı özdeşliğini (a3−b3=(a−b)3+3ab(a−b)a^3 - b^3 = (a-b)^3 + 3ab(a-b)) kullanarak değeri hesaplayın.
x3−1x3=(x−1x)3+3⋅x⋅1x⋅(x−1x)x^3 - \frac{1}{x^3} = (x - \frac{1}{x})^3 + 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x} \cdot (x - \frac{1}{x})
=43+3⋅1⋅4= 4^3 + 3 \cdot 1 \cdot 4
x−1x=4x - \frac{1}{x} = 4 değeri yerine yazılır.
4
Son aritmetik işlemleri yapın.
64+12=7664 + 12 = 76
Sonuç bulunur.

Key Concept

İki Küp Farkı Özdeşliği ve Rasyonel İfade Sadeleştirme

Hints

1
Sorulan ifadeyi x6x3−1x3\frac{x^6}{x^3} - \frac{1}{x^3} şeklinde ayırarak sadeleştirin.
2
Verilen x2−4x−1=0x^2 - 4x - 1 = 0 denkleminin her iki tarafını xx'e bölerek x−1xx - \frac{1}{x} değerini bulun.
3
a3−b3=(a−b)3+3ab(a−b)a^3 - b^3 = (a-b)^3 + 3ab(a-b) özdeşliğini kullanın. Burada a=xa=x ve b=1/xb=1/x alınmalıdır.

Alternative Method

x değerini kök formülüyle bulup (x=2+5x = 2 + \sqrt{5}) yerine koymak da mümkündür ancak bu işlem çok daha uzun sürer ve hata riski yüksektir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Özdeşlikler

More questions from this topic