Examkin

Question

Difficulty: MediumDörtgenler

Dışbükey bir ABCDABCD dörtgeninde; AA ve BB köşelerine ait iç açıortaylar dörtgenin iç bölgesindeki KK noktasında, CC ve DD köşelerine ait iç açıortaylar ise LL noktasında kesişmektedir.

m(AKB^)=3α−20∘m(\widehat{AKB}) = 3\alpha - 20^{\circ} ve m(DLC^)=α+40∘m(\widehat{DLC}) = \alpha + 40^{\circ} olduğuna göre, m(DLC^)m(\widehat{DLC}) açısının ölçüsü kaç derecedir?

  1. A
    70
  2. 80Answer
  3. C
    90
  4. D
    100
  5. E
    110

Answer

m(DLC^)m(\widehat{DLC}) açısı 80∘80^{\circ} dir.
Dörtgenlerde ardışık köşelerin (A,BA, B gibi) açıortaylarının kesiştiği noktadaki açı (KK), diğer iki açının (C,DC, D) toplamının yarısına eşittir: m(K^)=m(C^)+m(D^)2m(\widehat{K}) = \frac{m(\widehat{C}) + m(\widehat{D})}{2}. Benzer şekilde m(L^)=m(A^)+m(B^)2m(\widehat{L}) = \frac{m(\widehat{A}) + m(\widehat{B})}{2}. Bu iki eşitlik taraf tarafa toplanırsa, m(K^)+m(L^)=3602=180∘m(\widehat{K}) + m(\widehat{L}) = \frac{360}{2} = 180^{\circ} bulunur. Soruda verilen (3α−20)+(α+40)=180(3\alpha - 20) + (\alpha + 40) = 180 denklemi çözülerek α=40\alpha=40 bulunur ve istenen açı 80∘80^{\circ} olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
ABCDABCD dörtgeninin iç açıları toplamının 360∘360^{\circ} olduğunu ve açıortayların açıları iki eş parçaya böldüğünü hatırlayalım.
m(A^)+m(B^)+m(C^)+m(D^)=360∘m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) + m(\widehat{D}) = 360^{\circ}
Dörtgenin temel özelliği
2
Açıortayların oluşturduğu üçgenlerde (ABKABK ve DLCDLC) tepe açısı ile taban açıları arasındaki ilişkiyi yazalım.
m(AKB^)=180∘−m(A^)+m(B^)2m(\widehat{AKB}) = 180^{\circ} - \frac{m(\widehat{A}) + m(\widehat{B})}{2} ve m(DLC^)=180∘−m(C^)+m(D^)2m(\widehat{DLC}) = 180^{\circ} - \frac{m(\widehat{C}) + m(\widehat{D})}{2}
Üçgenin iç açıları toplamı 180∘180^{\circ} dir.
3
Bu iki açının toplamının 180∘180^{\circ} olduğunu gösterelim.
m(AKB^)+m(DLC^)=360∘−m(A^)+m(B^)+m(C^)+m(D^)2=360∘−360∘2=180∘m(\widehat{AKB}) + m(\widehat{DLC}) = 360^{\circ} - \frac{m(\widehat{A})+m(\widehat{B})+m(\widehat{C})+m(\widehat{D})}{2} = 360^{\circ} - \frac{360^{\circ}}{2} = 180^{\circ}
Karşılıklı olmayan (ardışık) köşelerin açıortaylarının kesim noktalarındaki açılar bütünlerdir.
4
Verilen cebirsel ifadeleri toplayıp 180∘180^{\circ}'ye eşitleyerek α\alpha değerini bulalım.
(3α−20)+(α+40)=180⇒4α+20=180⇒4α=160⇒α=40(3\alpha - 20) + (\alpha + 40) = 180 \Rightarrow 4\alpha + 20 = 180 \Rightarrow 4\alpha = 160 \Rightarrow \alpha = 40
Denklem çözümü
5
Bulunan α\alpha değerini m(DLC^)m(\widehat{DLC}) ifadesinde yerine koyalım.
m(DLC^)=40+40=80∘m(\widehat{DLC}) = 40 + 40 = 80^{\circ}
Sonuç hesabı

Key Concept

Dörtgenlerde ardışık iki açının açıortaylarının oluşturduğu açı ile karşıdaki ardışık iki açının açıortaylarının oluşturduğu açı bütünlerdir (toplamları 180∘180^{\circ} dir).

Hints

1
Dörtgenin iç açılarının toplamının 360∘360^{\circ} olduğunu hatırlayınız.
2
Ardışık iki köşenin açıortaylarının oluşturduğu açı, diğer iki köşenin açılarının toplamının yarısıdır.
3
m(AKB^)m(\widehat{AKB}) ve m(DLC^)m(\widehat{DLC}) açılarının toplamı daima 180∘180^{\circ} dir. Bu eşitliği kullanarak α\alpha değerini bulunuz.

Practice More

Karşılıklı köşelerin (A ve C) açıortaylarının oluşturduğu dar açının, diğer iki açının farkının mutlak değerinin yarısına eşit olduğu durumla ilgili sorular çözünüz.

Alternative Method

Açılara değer vererek (örneğin A=B=C=D=90∘A=B=C=D=90^{\circ} karesi gibi) formülün doğruluğunu test edebilir ve özel durumdan genel sonuca ulaşabilirsiniz.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Dörtgenler

More questions from this topic