Examkin

Question

Difficulty: Very hardBasit Eşitsizlikler
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
−3<x<4-3 < x < 4
eşitsizliği veriliyor. Buna göre, x2−4xx^2 - 4x ifadesinin alabileceği farklı tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
  1. A
    190
  2. 200Answer
  3. C
    210
  4. D
    221
  5. E
    231

Answer

İfadenin alabileceği değerler [-4, 21) aralığındadır ve bu aralıktaki tam sayıların toplamı 200'dür.
İkinci dereceden x2−4xx^2 - 4x ifadesi bir paraboldür ve kolları yukarı bakar. Bu ifadenin en küçük değerini aldığı yer tepe noktasıdır (r=−b/2a=2r = -b/2a = 2). x=2x=2 değeri verilen (−3,4)(-3, 4) aralığında olduğu için, ifadenin alabileceği en küçük değer 22−4(2)=−42^2 - 4(2) = -4 olur. Uç noktalar kontrol edildiğinde üst sınırın 21'e yaklaştığı görülür. Böylece değer aralığı [−4,21)[-4, 21) olur. Bu aralıktaki tam sayıların toplamı hesaplandığında doğru cevap bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen ifadeyi tam kareye tamamlama veya parabol tepe noktasını bulma yöntemini uygula.
f(x)=x2−4x=(x−2)2−4f(x) = x^2 - 4x = (x-2)^2 - 4
İkinci dereceden bir ifadenin görüntü kümesini bulmak için tepe noktası kritik öneme sahiptir. Doğrudan uç noktaları yerine koymak hatalı olur.
2
Tanım aralığı (−3,4)(-3, 4) içinde tepe noktasının (x=2x=2) bulunup bulunmadığını kontrol et ve minimum değeri hesapla.
x=2x=2 aralıkta olduğu için minimum değer f(2)=22−4(2)=−4f(2) = 2^2 - 4(2) = -4 olur.
Bir parabolün bir aralıktaki en küçük veya en büyük değeri, tepe noktası aralık içindeyse tepe noktasında alır.
3
Aralığın uç noktalarındaki değerleri hesapla.
x=−3x = -3 için (−3)2−4(−3)=9+12=21(-3)^2 - 4(-3) = 9 + 12 = 21. x=4x = 4 için 42−4(4)=04^2 - 4(4) = 0.
Görüntü kümesinin üst sınırlarını belirlemek için uç noktalar test edilmelidir.
4
Görüntü kümesini (aralığını) yaz.
Minimum -4 (dahil), maksimum 21 (açık aralık çünkü x=−3x=-3 dahil değil). Aralık: [−4,21)[-4, 21).
Minimum değer tepe noktasından gelir, üst sınır ise uç noktalardan büyük olanıdır.
5
Bu aralıktaki tam sayıların toplamını hesapla.
Tam sayılar: {−4,−3,−2,−1,0,1,2,...,20}\{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, ..., 20\}. Pozitif kısım (1'den 20'ye): 20⋅212=210\frac{20 \cdot 21}{2} = 210. Negatif kısım: −4−3−2−1=−10-4-3-2-1 = -10. Toplam: 210−10=200210 - 10 = 200.
Gauss toplam formülü kullanılarak işlem pratikleştirilir.

Key Concept

İkinci dereceden eşitsizliklerde görüntü kümesi bulunurken tepe noktası (minimum/maksimum) mutlaka kontrol edilmelidir. Uç noktaların yerine konulması yeterli değildir.

Hints

1
İfade ikinci dereceden (x2x^2) olduğu için, değer aralığını bulurken sadece uç noktaları (-3 ve 4) yerine koymak yetmez.
2
x2−4xx^2 - 4x ifadesini tam kareye tamamlayın veya bir parabol gibi düşünerek tepe noktasına bakın. (x−2)2−4(x-2)^2 - 4 size ne anlatıyor?
3
Tepe noktası x=2x=2 bu aralığın içindedir. Bu noktada fonksiyon en küçük değerini alır. Minimum değer -4'tür. Negatif tam sayıları toplamdan çıkarmayı unutmayın.

Practice More

Benzer mantıkla, −2<x<5-2 < x < 5 iken x2−6x+5x^2 - 6x + 5 ifadesinin aralığını soran bir soru çözülebilir.

Alternative Method

Eşitsizlik inşası yöntemi: −3<x<4-3 < x < 4 ise her taraftan 2 çıkaralım: −5<x−2<2-5 < x-2 < 2. Şimdi karesini alalım: 0≤(x−2)2<250 \le (x-2)^2 < 25 (Dikkat: Bir aralık 0'ı içeriyorsa karenin alt sınırı 0 olur). Her taraftan 4 çıkaralım: −4≤(x−2)2−4<21-4 \le (x-2)^2 - 4 < 21.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Basit Eşitsizlikler

More questions from this topic