Examkin

Question

Difficulty: MediumTekrarlı Permütasyon

Bir sporcu, 88 basamaklı bir merdiveni her bir adımda 11 basamak veya 22 basamak çıkarak tırmanmaktadır. Buna göre bu sporcu, merdivenin en üstüne toplam 66 adım atarak kaç farklı şekilde çıkabilir?

  1. A
    1212
  2. 1515Answer
  3. C
    2121
  4. D
    2828
  5. E
    3030

Answer

Sporcu merdiveni 15 farklı şekilde çıkabilir.
Toplamda 8 basamağı 6 adımda çıkabilmek için sporcunun 2 adet '2 basamaklı' ve 4 adet '1 basamaklı' adım atması gerekir (2+2+1+1+1+1=8). Bu adımların kendi içindeki farklı dizilişleri, tekrarlı permütasyon formülü olan 6!2!×4!\frac{6!}{2! \times 4!} ile hesaplanır ve sonuç 15 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Atılan adım türlerinin sayılarını belirlemek için değişkenler tanımlanır.
xx: 22 basamaklı adım sayısı, yy: 11 basamaklı adım sayısı olsun.
Toplam adım ve toplam basamak sayılarını veren bir denklem sistemi kurmak için gereklidir.
2
Verilen bilgilere göre denklem sistemi kurulur ve çözülür.
x+y=6x + y = 6 (Toplam adım) ve 2x+y=82x + y = 8 (Toplam basamak). Bu sistem çözüldüğünde x=2x = 2 ve y=4y = 4 bulunur.
Sporcunun kaç adet 1'lik ve kaç adet 2'lik adım attığını belirlemek için.
3
Belirlenen adım türlerinin sıralama sayısını bulmak için tekrarlı permütasyon formülü uygulanır.
{2,2,1,1,1,1}\{2, 2, 1, 1, 1, 1\} kümesinin sıralanış sayısı: 6!2!×4!=7202×24=15\frac{6!}{2! \times 4!} = \frac{720}{2 \times 24} = 15.
Adımların hangi sırada atıldığı her bir farklı çıkış yolunu temsil eder.

Key Concept

Tekrarlı Permütasyon

Hints

1
Sporcunun kaç adet 1 basamaklı, kaç adet 2 basamaklı adım attığını bularak işe başlayın.
2
Toplam adım sayısı 6 ve toplam basamak sayısı 8 ise; iki bilinmeyenli bir denklem kurabilirsiniz.
3
İki adet 2'lik ve dört adet 1'lik adımın sıralanışı için tekrarlı permütasyon formülünü (n!n1!×n2!\frac{n!}{n_1! \times n_2!}) kullanın.

Practice More

Benzer bir soruyu, adım sayısı kısıtlaması olmadan tüm olasılıkları soran (Fibonacci dizisi mantığı) bir soruyla karşılaştırarak çözün.

Alternative Method

Olası durumları listeleyerek de kontrol edebilirsiniz: (2,2,1,1,1,1) dizilişinde 2'lerin yerlerini seçmek C(6,2) = 15 farklı durum verir.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Tekrarlı Permütasyon

More questions from this topic