Examkin

Question

Difficulty: HardÖzdeşlikler
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
x2−4x−1=0x^2 - 4x - 1 = 0
eşitliği verilmiştir.

Buna göre, x3−1x3x^3 - \frac{1}{x^3} ifadesinin değeri kaçtır?

  1. A
    52
  2. B
    64
  3. C
    68
  4. 76Answer
  5. E
    80

Answer

İstenen ifadenin değeri 76'dır.
Verilen ikinci dereceden denklem düzenlenerek x−1/x=4x - 1/x = 4 bulunur. Daha sonra a3−b3=(a−b)3+3ab(a−b)a^3 - b^3 = (a-b)^3 + 3ab(a-b) özdeşliği kullanılarak 43+3(4)=64+12=764^3 + 3(4) = 64 + 12 = 76 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Verilen x2−4x−1=0x^2 - 4x - 1 = 0 denkleminin her iki tarafını, x≠0x \neq 0 olduğu için xx'e bölelim.
x2x−4xx−1x=0  ⟹  x−4−1x=0\frac{x^2}{x} - \frac{4x}{x} - \frac{1}{x} = 0 \implies x - 4 - \frac{1}{x} = 0
Sorulan ifadede xx ve 1/x1/x terimleri olduğu için, verilen denklemden x−1/xx - 1/x formuna ulaşmamız gerekir.
2
Elde edilen denklemden x−1xx - \frac{1}{x} ifadesini yalnız bırakalım.
x−1x=4x - \frac{1}{x} = 4
Özdeşlik formülünü kullanabilmek için bu temel farkın sayısal değerine ihtiyacımız vardır.
3
İki küp farkı özdeşliğini hatırlayalım: a3−b3=(a−b)3+3ab(a−b)a^3 - b^3 = (a-b)^3 + 3ab(a-b). Burada a=xa=x ve b=1xb=\frac{1}{x} alalım.
x3−1x3=(x−1x)3+3⋅x⋅1x⋅(x−1x)x^3 - \frac{1}{x^3} = \left(x - \frac{1}{x}\right)^3 + 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x} \cdot \left(x - \frac{1}{x}\right)
Bu özdeşlik, bildiğimiz (x−1/x)(x-1/x) değeri ile aradığımız sonucu ilişkilendirir.
4
Bulduğumuz x−1x=4x - \frac{1}{x} = 4 değerini formülde yerine yazalım.
=43+3⋅1⋅4=64+12=76= 4^3 + 3 \cdot 1 \cdot 4 = 64 + 12 = 76
Doğru hesaplama için işlem önceliğine dikkat edilir.

Key Concept

İki Küp Farkı Özdeşliği ve Değişken Dönüştürme

Hints

1
Sorudaki x2−4x−1=0x^2 - 4x - 1 = 0 ifadesini, xx'li bir terim ile 1/x1/x'li bir terim arasındaki farkı bulacak şekilde düzenlemeyi deneyin.
2
Eşitliğin her iki tarafını xx'e bölerseniz x−1xx - \frac{1}{x} değerini bulabilirsiniz.
3
a3−b3=(a−b)3+3ab(a−b)a^3 - b^3 = (a-b)^3 + 3ab(a-b) özdeşliğini kullanarak x3−1x3x^3 - \frac{1}{x^3} değerini hesaplayın.

Practice More

Benzer mantıkla x2−5x+1=0x^2 - 5x + 1 = 0 verildiğinde x2+1/x2x^2 + 1/x^2 toplamını soran sorular çözülebilir.

Alternative Method

(x−1x)3(x - \frac{1}{x})^3 ifadesini doğrudan açarak: (x−1x)3=x3−3x2(1x)+3x(1x)2−1x3=x3−1x3−3(x−1x)(x - \frac{1}{x})^3 = x^3 - 3x^2(\frac{1}{x}) + 3x(\frac{1}{x})^2 - \frac{1}{x^3} = x^3 - \frac{1}{x^3} - 3(x - \frac{1}{x}). Buradan 43=A−3(4)  ⟹  64=A−12  ⟹  A=764^3 = A - 3(4) \implies 64 = A - 12 \implies A = 76 şeklinde de çözülebilir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Özdeşlikler

More questions from this topic