Examkin

Question

Difficulty: HardPozitif ve Negatif Sayılar
x,yx, y ve zz sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere,
x⋅y2<0x \cdot y^2 < 0

x−z>0x - z > 0

x⋅y⋅z>0x \cdot y \cdot z > 0

eşitsizlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?

  1. A
    y⋅z>0y \cdot z > 0
  2. B
    x+z>0x + z > 0
  3. x2<z2x^2 < z^2Answer
  4. D
    y<xy < x
  5. E
    z−x>0z - x > 0

Answer

Sayıların işaretleri ve sıralaması z<x<0<yz < x < 0 < y şeklinde olduğundan, x2<z2x^2 < z^2 ifadesi doğrudur.
Verilen eşitsizliklerden xx ve zz'nin negatif, yy'nin pozitif olduğu ve aralarındaki sıralamanın z<x<0<yz < x < 0 < y olduğu anlaşılmaktadır. Negatif sayılarda sayı doğrusunda sola gidildikçe (sayı küçüldükçe) mutlak değer artar. z<x<0z < x < 0 olduğu için ∣z∣>∣x∣|z| > |x| olur ve her iki tarafın karesi alındığında z2>x2z^2 > x^2 (veya x2<z2x^2 < z^2) eşitsizliği elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
x⋅y2<0x \cdot y^2 < 0 eşitsizliğini analiz etme.
y≠0y \neq 0 olduğu için y2>0y^2 > 0 olur. Çarpımın negatif olması için x<0x < 0 olmalıdır.
Bir sayının çift kuvveti daima pozitiftir (0 hariç), bu bilgi xx'in işaretini belirlemeyi sağlar.
2
x−z>0x - z > 0 eşitsizliğinden xx ve zz arasındaki ilişkiyi bulma.
x>zx > z elde edilir. x<0x < 0 olduğunu bildiğimizden sıralama z<x<0z < x < 0 şeklindedir.
Negatif sayılarda sıralama belirlenerek zz'nin xx'ten daha küçük (mutlak değerce daha büyük) olduğu tespit edilir.
3
x⋅y⋅z>0x \cdot y \cdot z > 0 eşitsizliğini kullanarak yy'nin işaretini bulma.
xx negatif ve zz negatiftir, çarpımları x⋅z>0x \cdot z > 0 (pozitif) olur. Sonucun pozitif kalması için y>0y > 0 olmalıdır.
İşaret kuralına göre (-) ile (-)'nin çarpımı (+)'dır.
4
Elde edilen z<x<0<yz < x < 0 < y sıralamasına göre seçenekleri değerlendirme.
z<x<0z < x < 0 olduğu için zz'nin mutlak değeri xx'ten büyüktür (∣z∣>∣x∣|z| > |x|). Bu nedenle kareleri alındığında z2>x2z^2 > x^2 olur.
Negatif sayılarda 0'dan uzaklaştıkça sayı küçülür ancak karesi büyür.

Key Concept

Negatif sayılarda sıralama ve kuvvet alma ilişkisi

Hints

1
Önce x⋅y2<0x \cdot y^2 < 0 eşitsizliğine bakarak yy'nin çift kuvvetinin işaretini düşünün ve xx'in işaretini belirleyin.
2
xx'in negatif olduğunu bulduktan sonra, x−z>0x - z > 0 eşitsizliğinden zz'nin xx'e göre konumunu (büyüklük/küçüklük) belirleyin.
3
z<x<0z < x < 0 sıralamasını bulduktan sonra, negatif sayıların karelerinin nasıl sıralanacağını hatırlayın (örneğin -5 ve -2 vererek deneyin).

Practice More

Benzer mantıkla, x<y<0<zx < y < 0 < z verildiğinde x−zy\frac{x-z}{y} ifadesinin işaretini soran sorular çözülebilir.

Alternative Method

Değer verme yöntemi: Şartları sağlayan örnek sayılar seçilebilir. Örneğin y=1y=1 olsun (pozitif). x⋅12<0  ⟹  x=−2x \cdot 1^2 < 0 \implies x=-2 olsun. x−z>0  ⟹  −2>zx - z > 0 \implies -2 > z, buradan z=−5z=-5 seçilebilir. Çarpım kontrolü: (−2)(1)(−5)=10>0(-2)(1)(-5) = 10 > 0 (sağlıyor). Bu değerler için seçenekler test edilebilir: x2=4,z2=25  ⟹  4<25x^2=4, z^2=25 \implies 4 < 25.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Pozitif ve Negatif Sayılar

More questions from this topic