Examkin

Question

Difficulty: HardÖzel Tanımlı İşlemler
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı △\triangle işlemi, her xx ve yy gerçel sayısı için
x△y=2x+2y+xy+2x \triangle y = 2x + 2y + xy + 2
biçiminde tanımlanıyor. Buna göre, △\triangle işlemine göre tersi kendisine eşit olan sayıların çarpımı kaçtır?
  1. 3Answer
  2. B
    2
  3. C
    1
  4. D
    0
  5. E
    -3

Answer

Tersi kendisine eşit olan sayıların çarpımı 3'tür.
İşlemin kuralına göre birim eleman -1 olarak bulunur. Tersi kendisine eşit olma şartı (x△x=−1x \triangle x = -1) uygulandığında x2+4x+3=0x^2 + 4x + 3 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin kökleri -1 ve -3 olup çarpımları 3'tür.

Step-by-Step Solution

1
İşlemin birim (etkisiz) elemanını (ee) bul.
e=−1e = -1
Birim eleman tanımı gereği x△e=xx \triangle e = x olmalıdır. 2x+2e+xe+2=x2x + 2e + xe + 2 = x eşitliğini düzenlersek (x+2)(e+1)=0(x+2)(e+1) = 0 elde edilir. Bu eşitliğin her xx için sağlanması ancak e=−1e = -1 olmasıyla mümkündür.
2
Tersi kendisine eşit olan sayı (aa) için ters eleman tanımını uygula.
a2+4a+3=0a^2 + 4a + 3 = 0
Bir aa sayısının tersi kendisine eşitse a△a=ea \triangle a = e olmalıdır. −1-1 değerini yerine yazarsak: 2a+2a+a2+2=−1⇒a2+4a+3=02a + 2a + a^2 + 2 = -1 \Rightarrow a^2 + 4a + 3 = 0.
3
Elde edilen ikinci dereceden denklemin köklerini bul.
a1=−3,a2=−1a_1 = -3, a_2 = -1
a2+4a+3=(a+3)(a+1)=0a^2 + 4a + 3 = (a+3)(a+1) = 0 denkleminden kökler −3-3 ve −1-1 olarak bulunur.
4
Bulunan değerlerin çarpımını hesapla.
(−3)⋅(−1)=3(-3) \cdot (-1) = 3
Soruda bu sayıların çarpımı istenmiştir.

Key Concept

Özel tanımlı bir işlemde ters eleman bulunmadan önce mutlaka birim eleman bulunmalıdır. Birim eleman (ee), x△e=xx \triangle e = x eşitliğini sağlayan değerdir.

Hints

1
Bir işlemde ters elemanı bulabilmek için önce 'birim elemanı' (ee) bulmanız gerekir. Birim eleman kuralı: x△e=xx \triangle e = x.
2
x△e=xx \triangle e = x eşitliğini kullanarak ee'yi bulun. 2x+2e+xe+2=x2x + 2e + xe + 2 = x denkleminde ee kaç olmalıdır?
3
Birim eleman e=−1e = -1'dir. Şimdi 'tersi kendisine eşit' (a△a=−1a \triangle a = -1) şartını sağlayan aa değerlerini bulmak için ikinci dereceden denklem kurun.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Özel Tanımlı İşlemler

More questions from this topic