Examkin

Question

Difficulty: HardTekrarlı Permütasyon

0, 0, 2, 2, 2, 3, 3 rakamlarının yerleri değiştirilerek yazılabilen 7 basamaklı doğal sayıların kaç tanesi tektir ve bu sayılarda herhangi iki sıfır rakamı yan yana gelmemektedir?

  1. A
    16
  2. 24Answer
  3. C
    30
  4. D
    36
  5. E
    40

Answer

İstenen şartları sağlayan 24 farklı sayı yazılabilir.
Soru üç temel kısıtlama içerir: Sayının tek olması, sıfırların yan yana gelmemesi ve sayının sıfırla başlamaması. Öncelikle sayı tek olmalı dendiği için sona bir '3' rakamı sabitlenir. Geriye {0,0,2,2,2,3} kalır. Sıfırlar yan yana gelmeyeceği için önce sıfır olmayanlar (2,2,2,3) dizilir; bu 4 durum oluşturur. Bu dizilimin oluşturduğu 5 boşluktan en baştaki hariç diğer 4 boşluğa 2 sıfır C(4,2)=6 şekilde yerleştirilir. Sonuç 4x6=24'tür.

Step-by-Step Solution

1
Sayının tek olması şartını sağla.
Son basamak 3 olmalıdır.
Sayının tek olması için birler basamağı tek sayı ({3}) olmalıdır. Elimizdeki rakamlardan sadece 3 tektir. Bir tane 3'ü sona sabitledik.
2
Geriye kalan rakamları ve yerleştirilecek boşlukları belirle.
Kalan rakamlar: {0, 0, 2, 2, 2, 3}. Düzenlenecek 'iskelet' rakamlar (sıfır olmayanlar): {2, 2, 2, 3}.
Sıfırlar yan yana gelmeyeceği için önce sıfır dışındaki rakamları dizip, aralarına sıfırları yerleştireceğiz (Ayraç Yöntemi).
3
Sıfır dışındaki rakamların (2, 2, 2, 3) kendi aralarındaki diziliş sayısını hesapla.
4! / (3! · 1!) = 4 farklı dizilim.
Bu rakamlar arasında üç tane 2 özdeştir. Tekrarlı permütasyon formülü uygulanır.
4
Sıfırların gelebileceği uygun boşlukları belirle.
Uygun boşluk sayısı 4'tür.
4 rakam yan yana dizildiğinde 5 boşluk oluşur: _ R _ R _ R _ R _. Ancak sayı 7 basamaklı olacağı için EN BAŞTAKİ boşluğa sıfır gelemez. Bu yüzden 1. boşluk iptal edilir. Geriye 4 uygun boşluk kalır.
5
Sıfırları uygun boşluklara yerleştir ve toplam sayıyı bul.
4 (dizilim) × 6 (yerleştirme) = 24.
2 tane özdeş sıfırı, 4 uygun boşluğa C(4,2) = 6 farklı şekilde yerleştirebiliriz. Çarpma kuralı ile toplam sonuç bulunur.

Key Concept

Bu soru, Tekrarlı Permütasyon ve Ayraç (Boşluk) Yöntemi kullanılarak, basamak analizi kısıtlamaları altında çözülür.

Hints

1
Önce sayının tek olması şartını sağlamak için son basamağı belirleyin.
2
'Yan yana gelmeme' sorularında genellikle önce diğer elemanlar dizilir, sonra oluşan boşluklara şartlı elemanlar yerleştirilir.
3
Sıfır dışındaki {2,2,2,3} rakamlarını dizin. Oluşan boşluklara sıfırları yerleştirirken en baştaki boşluğu kullanmamaya dikkat edin.

Alternative Method

Tüm durumdan istenmeyen durumu çıkarma yöntemi bu soruda 'yan yana gelmeme' şartı nedeniyle daha karmaşık olabilir, ancak 'Sıfırların yan yana olduğu durumlar' hesaplanıp çıkarılarak da gidilebilir (fakat başa sıfır gelmeme kuralı işi zorlaştırır, Ayraç yöntemi en temizidir).
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Tekrarlı Permütasyon

More questions from this topic