Sayma ve Olasılık

Question 201Question →

\left(x^2 - \frac{2}{x}\right)^6

ifadesinin açılımındaki sabit terim (x'ten bağımsız terim) aşağıdakilerden hangisidir?

60

160

240

-160

-240

Show answer & explanation

Answer: 240

Answer

İfadenin sabit terimi 240'tır.

Verilen ifadenin genel terimi

\binom{6}{r}(x^2)^{6-r}(-2x^{-1})^r

şeklinde yazılır. x'in kuvvetleri düzenlendiğinde

x^{12-3r}

elde edilir. Sabit terim olması için kuvvetin 0 olması gerekir (

12-3r=0

), buradan

r=4

bulunur. Katsayı hesabı yapıldığında

\binom{6}{4}(-2)^4 = 15 \cdot 16 = 240

sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Genel terim formülünü yaz.

\binom{6}{r} (x^2)^{6-r} \cdot (-2x^{-1})^r

Binom açılımının genel terimi

\binom{n}{r} a^{n-r} b^r

formülü ile bulunur.

2

x'in kuvvetlerini düzenle.

\binom{6}{r} \cdot (-2)^r \cdot x^{2(6-r)} \cdot x^{-r} = \binom{6}{r} (-2)^r x^{12-2r-r} = \binom{6}{r} (-2)^r x^{12-3r}

Katsayıyı ve değişkenin üslerini ayrıştırarak x'in toplam kuvvetini bulmak gerekir.

3

Sabit terim için x'in kuvvetini 0'a eşitle ve r değerini bul.

12 - 3r = 0 \Rightarrow 3r = 12 \Rightarrow r = 4

Sabit terim, x değişkeninin bulunmadığı (yani x'in kuvvetinin 0 olduğu) terimdir.

4

Bulunan r değerini genel terimde yerine koyarak sonucu hesapla.

\binom{6}{4} \cdot (-2)^4 = 15 \cdot 16 = 240

\binom{6}{4} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15

ve

(-2)^4 = 16

olduğu için çarpım 240'tır.

Key Concept

Binom açılımında sabit terimi bulmak için genel terim formülünde değişkenin üssü 0'a eşitlenir.

Question 202Question →

Bir İl Özel İdaresinde görevli $8$ teknik personel arasından, bir altyapı projesini denetlemek üzere $4$ kişilik bir "Geçici Kabul Komisyonu" oluşturulacaktır. Bu personeller arasında yer alan Müdür ve Müdür Yardımcısının idari sebeplerle aynı komisyonda bulunmamaları gerekmektedir.

Buna göre, bu komisyon kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

40

55

60

70

15

Show answer & explanation

Answer: 55

Answer

Komisyon 55 farklı şekilde oluşturulabilir

Problemi çözmek için 'Tüm Durumlar - İstenmeyen Durumlar' yöntemi en pratik yoldur. Toplam 8 kişi arasından 4 kişi

C(8,4)=70

farklı şekilde seçilebilir. İstenmeyen durum, Müdür ve Müdür Yardımcısının birlikte seçilmesidir. Bu iki kişi seçildiğinde, geriye kalan 6 kişiden 2 kişi daha seçilmelidir:

C(6,2)=15

. Sonuç olarak

70 - 15 = 55

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Tüm durumların sayısını hesapla (koşulsuz seçim).

C(8, 4) = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 70

Toplam 8 personelden 4'ü seçilecektir.

2

İstenmeyen durumların sayısını hesapla (Müdür ve Müdür Yardımcısının birlikte olduğu durumlar).

C(6, 2) = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15

Müdür ve Müdür Yardımcısı seçilirse, geriye kalan 6 kişiden 2 kişi daha seçilmelidir.

3

Tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkar.

70 - 15 = 55

Toplam olasılıklardan kısıtlamaya uymayanlar çıkarılarak sonuca ulaşılır.

Key Concept

Tümleyen Yöntemi ile Kombinasyon Hesabı

Hints

1

Doğrudan istenen durumları saymak yerine, tüm olasılıklardan istenmeyen durumu çıkarmayı deneyin.

2

İstenmeyen durum: Müdür ve Müdür Yardımcısının aynı anda ekipte olmasıdır. Bu durumda geriye kalan 2 üyeyi kaç farklı şekilde seçebilirsiniz?

3

Tüm seçimler

C(8,4)

'tür. İkisinin birlikte olduğu durum

C(6,2)

'dir. Farkı alın.

Alternative Method

Ayrık durumları toplama yöntemi: (İkisi de yok:

C(6,4)=15

) + (Sadece Müdür var:

C(6,3)=20

) + (Sadece Yrd. var:

C(6,3)=20

) =

15 + 20 + 20 = 55

.

Question 203Question →

A ve B torbaları ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* A torbasında: 4 sarı, 2 mavi bilye vardır.
* B torbasında: 3 sarı, 5 mavi bilye vardır.

Hilesiz bir zar havaya atılıyor. Zarın üst yüzüne gelen sayı 3'ten küçükse A torbasından, 3 veya daha büyükse B torbasından rastgele bir bilye çekiliyor.

Çekilen bilyenin sarı olduğu bilindiğine göre, bu bilyenin A torbasından alınmış olma olasılığı kaçtır?

\frac{2}{9}

\frac{17}{36}

\frac{16}{25}

\frac{9}{17}

\frac{8}{17}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{8}{17}$

Answer

\frac{8}{17}

Çekilen bilyenin sarı olduğu bilindiğine göre, örnek uzayımız artık tüm bilyeler değil, sadece 'sarı bilye çekilen durumlar' kümesidir. Bu durumda Bayes teoremi kullanılır.

İstenen Durum: A torbasından Sarı gelmesi =

\frac{1}{3} \times \frac{4}{6} = \frac{2}{9} = \frac{8}{36}

Tüm Durumlar: (A'dan Sarı) + (B'den Sarı) =

\frac{8}{36} + (\frac{2}{3} \times \frac{3}{8}) = \frac{8}{36} + \frac{1}{4} = \frac{8}{36} + \frac{9}{36} = \frac{17}{36}

Olasılık =

\frac{\text{İstenen}}{\text{Tüm}} = \frac{8/36}{17/36} = \frac{8}{17}

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Zar atışına göre torbaların seçilme olasılıklarını hesapla.

Zar {1, 2, 3, 4, 5, 6} olmak üzere 6 durumludur.

P(\text{A Torbası}) = P(\text{Zar} < 3) = P(\{1, 2\}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

P(\text{B Torbası}) = P(\text{Zar} \geq 3) = P(\{3, 4, 5, 6\}) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

Olasılık ağacının ilk dalını oluşturmak için torba seçim olasılıkları gereklidir.

2

Her torbadan sarı bilye çekilme olasılığını hesapla (

P(S|A)

ve

P(S|B)

).

A Torbası (4 Sarı, 2 Mavi, Toplam 6):

P(S|A) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

B Torbası (3 Sarı, 5 Mavi, Toplam 8):

P(S|B) = \frac{3}{8}

Koşullu olasılık formülünde kullanılacak parçaları bulmak gerekir.

3

Toplam olasılık kuralı ile çekilen bilyenin sarı olma olasılığını (

P(S)

) bul.

P(S) = P(A) \cdot P(S|A) + P(B) \cdot P(S|B)

P(S) = \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}\right) + \left(\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{8}\right) = \frac{2}{9} + \frac{6}{24}

P(S) = \frac{2}{9} + \frac{1}{4} = \frac{8}{36} + \frac{9}{36} = \frac{17}{36}

Bayes teoreminin paydası olan 'tüm sarı gelme durumları' hesaplanmalıdır.

4

Koşullu olasılık formülünü uygula:

P(A|S) = \frac{P(A \cap S)}{P(S)}

.

P(A|S) = \frac{P(A) \cdot P(S|A)}{P(S)} = \frac{2/9}{17/36}

Paydaları eşitlemek için

\frac{2}{9} = \frac{8}{36}

yazılır.

P(A|S) = \frac{8/36}{17/36} = \frac{8}{17}

İstenen durum (A'dan Sarı), tüm olası durumlara (Herhangi bir Sarı) oranlanır.

Key Concept

Bayes Teoremi ve Koşullu Olasılık

Hints

1

Önce zar atışına göre hangi torbanın seçilme ihtimalinin ne olduğunu hesaplayın (1/3 ve 2/3).

2

İki ayrı durumu hesaplayın: 1) A torbası seçilip sarı gelmesi, 2) B torbası seçilip sarı gelmesi.

3

Koşullu olasılık formülü: (A'dan Sarı gelme olasılığı) / (Toplam Sarı gelme olasılığı).

Practice More

Benzer bir soruyu 'B torbasından gelme olasılığı' için çözünüz veya bilye renklerini değiştirerek deneyiniz.

Estimated Time:2m 30s

Question 204Question →

Bir devlet arşivi uzmanı, restore edilen $3$ farklı Osmanlı dönemi fermanı ile $3$ farklı Cumhuriyet dönemi kararnamesini sergilemek amacıyla tek bir vitrin rafına yan yana dizecektir. Aynı döneme ait belgelerin yan yana gelmemesi koşuluyla, bu $6$ belge kaç farklı şekilde sıralanabilir?

36

72

120

720

20

Show answer & explanation

Answer: $72$

Answer

Belgeler, aynı türden olanlar yan yana gelmeyecek şekilde

72

farklı biçimde sıralanabilir.

Doğru cevap olan

72

değeri, belgelerin önce türlerine göre dizilim şablonlarının (O-C-O-C-O-C veya C-O-C-O-C-O olmak üzere

2

şablon) belirlenmesi ve ardından her türün kendi içindeki farklı sıralanışlarının (

3! \times 3! = 36

) bu şablon sayısıyla çarpılması (

36 \times 2

) sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Olası dizilim kalıplarını belirleyin.

O (Osmanlı) ve C (Cumhuriyet) olmak üzere iki ana kalıp vardır: 1) O-C-O-C-O-C ve 2) C-O-C-O-C-O.

Toplamda 3'er adet belge olduğu için, aynı türden olanların yan yana gelmemesi ancak bu şekilde ardışık (münavebeli) dizilmeleriyle mümkündür.

2

Birinci kalıp (O-C-O-C-O-C) için sıralama sayısını hesaplayın.

3! \times 3! = 6 \times 6 = 36

.

3 farklı Osmanlı fermanı kendi arasında

3!

kadar, 3 farklı Cumhuriyet kararnamesi kendi arasında

3!

kadar farklı şekilde sıralanabilir.

3

Toplam sıralama sayısını hesaplayın.

36 \times 2 = 72

.

Aynı durum Cumhuriyet kararnamesi ile başlayan ikinci kalıp (C-O-C-O-C-O) için de geçerlidir (

36

durum).

Key Concept

Koşullu Permütasyon (Nesnelerin Belirli Bir Düzende Sıralanması)

Hints

1

Belgelerin aynı türden olanlarının yan yana gelmemesi için 'bir Osmanlı, bir Cumhuriyet' şeklinde ardışık dizilmeleri gerekir.

2

Dizilimin Osmanlı fermanıyla mı yoksa Cumhuriyet kararnamesiyle mi başladığını kontrol edin; iki farklı başlangıç durumu mevcuttur.

3

Her bir tür için

3!

farklı sıralama olduğunu ve toplamda iki ana kalıp (O-C... ve C-O...) olduğunu kullanarak

2 \times 3! \times 3!

işlemini yapın.

Practice More

Nesne sayıları eşit olmadığında (örneğin 4 ferman ve 3 kararname) dizilimin nasıl değişeceğini ve neden sadece tek bir ana kalıbın mümkün olacağını inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Önce 3 Osmanlı fermanını aralarında boşluk kalacak şekilde sıralayın (

3!

). Oluşan 4 boşluğa (baş, aralar ve son) 3 Cumhuriyet kararnamesini, aralarda boşluk kalmayacak ve sadece fermanların arasına/uçlarına gelecek şekilde kaç farklı biçimde yerleşebileceğini düşünün. Ancak bu durumda ferman ve kararnamelerin sayıları eşit olduğu için sadece iki tam kalıp oluşacaktır.

Estimated Time:1m 30s

Question 205Question →

Bir kamu kurumunda çalışan personelin $\frac{3}{5}$ 'i idari işler biriminde, geri kalanı ise teknik işler biriminde görev yapmaktadır. İdari işler birimindeki personelin $\frac{1}{3}$ 'ü, teknik işler birimindeki personelin ise $\frac{1}{4}$ 'ü yüksek lisans mezunudur.

Bu kurumdan rastgele seçilen bir personelin yüksek lisans mezunu olduğu bilindiğine göre, bu personelin idari işler biriminde görev yapıyor olma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{1}{2}

\frac{1}{3}

\frac{3}{5}

\frac{2}{3}

\frac{3}{10}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{2}{3}$

Answer

Seçilen personelin idari işler biriminde olma olasılığı

\frac{2}{3}

olarak bulunur.

Kurumda yüksek lisans mezunu olan toplam kişi sayısı, her iki birimdeki mezunların toplamıdır. İdari birimdeki mezunların sayısı bu toplam mezun sayısına oranlandığında, yüksek lisans mezunu olduğu bilinen birinin idari birimde çalışma olasılığı elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Toplam personel sayısı için paydalara uygun bir değer belirleme

Toplam personel sayısı

60x

olsun.

Hesaplamalarda kesirlerle uğraşmamak için

5

,

3

ve

4

sayılarının ortak katı seçilmiştir.

2

Birimlerdeki personel sayılarını hesaplama

İdari İşler:

60x \times \frac{3}{5} = 36x

, Teknik İşler:

60x - 36x = 24x

.

Personelin

\frac{3}{5}

'i idari, geri kalanı tekniktir.

3

Yüksek lisans mezunu sayılarını belirleme

İdari & Yüksek Lisans:

36x \times \frac{1}{3} = 12x

. Teknik & Yüksek Lisans:

24x \times \frac{1}{4} = 6x

.

Birimlerdeki yüksek lisans oranları personelin kendi grupları üzerinden hesaplanır.

4

Koşullu olasılık formülünü uygulama

Toplam Yüksek Lisanslı:

12x + 6x = 18x

. Olasılık:

\frac{12x}{18x} = \frac{2}{3}

.

Koşullu olasılıkta istenen durum (İdari ve Yüksek Lisans), bilinen duruma (Tüm Yüksek Lisanslılar) bölünür.

Key Concept

Koşullu Olasılık (Bayes Teoremi Uygulaması)

Hints

1

Toplam personel sayısını paydaların ortak katı olan bir sayı (örneğin 100 veya 60) kabul ederek başlayın.

2

Sadece yüksek lisans mezunu olan personellerin sayılarını bulun. Örnek uzayınız (payda) bu toplam sayı olacaktır.

3

İdari birimde görev yapan yüksek lisanslı sayısını, toplam yüksek lisanslı sayısına oranlayın.

Practice More

Benzer bir soruyu, üç farklı birim ve birimlere göre hata oranları üzerinden kurgulayarak çözmeyi deneyin.

Alternative Method

Bayes Formülü kullanılarak:

P(İdari|Y.Lisans) = \frac{P(İdari) \cdot P(Y.Lisans|İdari)}{P(Y.Lisans)} = \frac{(3/5) \cdot (1/3)}{(3/5 \cdot 1/3) + (2/5 \cdot 1/4)}

şeklinde doğrudan hesaplanabilir.

Estimated Time:1m 15s

Question 206Question →

Bir kurumun belge kayıt sisteminde, dosyalar $\{0, 2, 3, 4, 5, 7\}$ kümesinin elemanları kullanılarak oluşturulan rakamları birbirinden farklı dört basamaklı sayılarla kodlanmaktadır.

Sisteme kaydedilecek bir dosya kodunun 3000'den büyük ve tek sayı olması gerekmektedir.

Buna göre, bu koşulları sağlayan kaç farklı dosya kodu oluşturulabilir?

72

96

108

132

240

Show answer & explanation

Answer: 108

Answer

Verilen koşullara uygun 108 farklı dosya kodu oluşturulabilir.

Soruda hem '3000'den büyük olma' hem de 'tek sayı olma' şartı verildiği için, bu iki şartı sağlayan rakam kümeleri (

\{3, 5, 7\}

) kesişmektedir. Bu tür sorularda binler basamağının bu kesişim kümesinden seçilip seçilmediğine göre iki ayrı durum incelenmelidir. İlk durumda binler basamağı 4 seçilir (tek seçenek), birler basamağına 3 seçenek kalır (

1 \times 3 \times 4 \times 3 = 36

). İkinci durumda binler basamağı 3, 5, 7'den biri seçilir (3 seçenek), birler basamağına kalan 2 tek sayıdan biri gelir (

3 \times 2 \times 4 \times 3 = 72

). Toplam

36 + 72 = 108

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Kısıtlamaları ve kümeyi analiz et

Küme:

\{0, 2, 3, 4, 5, 7\}

. İstenen kod 4 basamaklı, rakamları farklı,

3000

'den büyük ve tek sayı olmalıdır. Binler basamağı

\{3, 4, 5, 7\}

olabilir. Birler basamağı

\{3, 5, 7\}

olabilir.

Sayının değeri binler basamağına, tekliği ise birler basamağına bağlıdır.

2

Durumları belirle (Çakışma analizi)

Binler basamağı ve birler basamağı için aday kümeler kesiştiği (

\{3, 5, 7\}

) için hesaplama iki durumda yapılmalıdır: 1. Binler basamağının ÇİFT olduğu durum (4). 2. Binler basamağının TEK olduğu durum (3, 5, 7).

Eğer binler basamağına tek sayı koyarsak, birler basamağı için kullanılabilecek tek sayı adedi azalır. Bu yüzden durumlar ayrılmalıdır.

3

1. Durumu Hesapla (Binler basamağı 4)

Binler basamağı:

\{4\}

(1 seçenek). Birler basamağı:

\{3, 5, 7\}

(3 seçenek). Aradaki 2 basamak: Kalan 4 rakamdan 2'si seçilir (

4 \times 3 = 12

). Toplam:

1 \times 12 \times 3 = 36

.

İlk basamak çift olduğu için birler basamağındaki tüm tek sayı adayları kullanılabilir.

4

2. Durumu Hesapla (Binler basamağı 3, 5 veya 7)

Binler basamağı:

\{3, 5, 7\}

(3 seçenek). Birler basamağı: Kalan tek sayılar (2 seçenek). Aradaki 2 basamak: Kalan 4 rakamdan 2'si seçilir (

4 \times 3 = 12

). Toplam:

3 \times 12 \times 2 = 72

.

Binler basamağında kullanılan tek sayı, birler basamağında tekrar kullanılamaz.

5

Toplamı bul

36 + 72 = 108

Ayrık durumların sonuçları toplanır.

Key Concept

Permütasyon (Kısıtlı Sıralama)

Question 207Question →

Nüfus ve Vatandaşlık İşleri Genel Müdürlüğü, vatandaşların randevu işlemlerini takip edebilmeleri için $4$ haneli bir 'Randevu Takip Numarası' formatı oluşturmuştur. Bu numaralar $A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ kümesinin elemanları kullanılarak aşağıdaki kurallara göre belirlenmektedir:

* Takip numarasının ilk hanesi sıfır olamaz.
* İlk iki hanedeki rakamların toplamı tek bir sayıdır.
* Son iki hanedeki rakamların çarpımı çift bir sayıdır.

Rakamların tekrarlanabildiği bu sisteme göre, kaç farklı randevu takip numarası oluşturulabilir?

135

270

405

486

540

Show answer & explanation

Answer: 405

Answer

Verilen kurallara uygun olarak toplam 405 farklı randevu takip numarası oluşturulabilir.

Doğru yanıt olan 405 değerine ulaşmak için numara iki bloğa ayrılmalıdır. İlk iki hane için toplamın tek olması, rakamların (Tek-Çift) veya (Çift-Tek) diziliminde olmasını gerektirir. İlk hane 0 olamadığından (Ç-T) durumu için

2 \times 3 = 6

imkan, (T-Ç) durumu için

3 \times 3 = 9

imkan bulunur (toplam 15). Son iki hanenin çarpımının çift olması için ise toplam

36

durumdan, her ikisinin de tek olduğu

9

durum çıkartılır (27 imkan). Çarpma ilkesi gereği

15 \times 27 = 405

sonucuna varılır.

Step-by-Step Solution

1

Rakam kümesini sınıflara ayırma

Tek rakamlar:

\{1, 3, 5\}

(3 adet), Çift rakamlar:

\{0, 2, 4\}

(3 adet)

Toplamın tek veya çarpımın çift olması durumları rakamların tek/çift olmasına bağlıdır.

2

İlk iki hane (

d_1, d_2

) için olasılıkları hesaplama

(

d_1

Tek,

d_2

Çift)

\rightarrow 3 \times 3 = 9

durum; (

d_1

Çift ve

\neq 0

,

d_2

Tek)

\rightarrow 2 \times 3 = 6

durum. Toplam:

9 + 6 = 15

durum.

Toplamın tek olması için rakamlardan biri tek diğeri çift olmalıdır. İlk hane sıfır olamayacağı için çift hane başında sadece 2 ve 4 kullanılabilir.

3

Son iki hane (

d_3, d_4

) için olasılıkları hesaplama

Tüm durumlar:

6 \times 6 = 36

. Çarpımın tek olduğu (T-T) durumlar:

3 \times 3 = 9

. Çarpımın çift olduğu durumlar:

36 - 9 = 27

durum.

Çarpımın çift olması için en az bir rakamın çift olması gerekir. Tüm durumlardan çarpımın tek olduğu (her ikisinin de tek olduğu) durumları çıkarmak en kısa yoldur.

4

Sayma kurallarını uygulama

15 \times 27 = 405

Bağımsız olayların birlikte gerçekleşme sayısı, her bir olayın gerçekleşme sayılarının çarpımına eşittir.

Key Concept

Sayma Kuralları (Toplama ve Çarpma İlkeleri)

Alternative Method

Son iki hane için doğrudan sayma yöntemi: (Çift-Çift) =

3 \times 3 = 9

, (Çift-Tek) =

3 \times 3 = 9

, (Tek-Çift) =

3 \times 3 = 9

olmak üzere toplam

9+9+9=27

durum vardır.

Estimated Time:2m 0s

Question 208Question →

Aşağıdaki şekilde birbirine paralel olan $d_1$ ve $d_2$ doğruları verilmiştir. $d_1$ doğrusu üzerinde 3 nokta, $d_2$ doğrusu üzerinde ise 4 farklı nokta işaretlenmiştir.

Buna göre, köşeleri bu noktalardan seçilen kaç farklı dörtgen oluşturulabilir?

12

18

21

30

35

Show answer & explanation

Answer: 18

Answer

18 farklı dörtgen oluşturulabilir.

Paralel iki doğru kullanılarak dörtgen oluşturulabilmesi için, dörtgenin iki köşesinin bir doğru üzerinde, diğer iki köşesinin ise diğer doğru üzerinde olması gerekir. Bu nedenle

d_1

doğrusundaki 3 noktadan 2'si (

C(3,2)

) ve

d_2

doğrusundaki 4 noktadan 2'si (

C(4,2)

) seçilmelidir. Çarpma kuralı gereği bu iki değer çarpılır:

3 \times 6 = 18

.

Step-by-Step Solution

1

Dörtgen oluşturma kuralını belirle

İki paralel doğrudan dörtgen elde etmek için, her bir doğrudan ikişer nokta seçilmelidir (2 nokta üstten, 2 nokta alttan).

Paralel doğrular üzerinde bulunan noktalardan 3 tanesi seçilirse üçgen oluşur, dörtgen oluşmaz. Bu yüzden her doğrudan 2 nokta alınmalıdır.

2

d_1

doğrusundan seçim yap

C(3, 2) = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3

d_1

üzerinde 3 nokta vardır, bunlardan 2'si seçilmelidir.

3

d_2

doğrusundan seçim yap

C(4, 2) = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6

d_2

üzerinde 4 nokta vardır, bunlardan 2'si seçilmelidir.

4

Toplam durumu hesapla

3 \times 6 = 18

Seçim işlemleri birbirine bağlı olduğu için (ve) çarpma kuralı uygulanır.

Key Concept

Paralel doğrular arasında dörtgen oluşturma (Seçme / Kombinasyon)

Hints

1

Bir dörtgenin 4 köşesi vardır. Bu köşelerin paralel doğrular üzerine nasıl dağılması gerektiğini düşünün.

2

Dörtgen oluşması için

d_1

doğrusundan kaç nokta,

d_2

doğrusundan kaç nokta seçmelisiniz?

3

Dörtgen için her iki doğrudan da ikişer nokta seçilmelidir. Kombinasyon formülü ile

C(3,2)

ve

C(4,2)

değerlerini bulup çarpın.

Practice More

Aynı noktalarla kaç farklı üçgen çizilebileceğini hesaplayınız.

Estimated Time:45s

Question 209Question →

Bir kamu kurumunda gerçekleştirilecek protokol töreninde; 1 Vali, 3 Kaymakam ve 4 Belediye Başkanı yan yana dizilerek fotoğraf çektirecektir. Protokol kuralları gereği;

* Vali sıranın en sağında veya en solunda yer almalıdır.
* Kaymakamların üçü de mutlaka yan yana bulunmalıdır.

Buna göre, bu 8 kişilik protokol heyeti kaç farklı şekilde sıralanabilir?

240

720

1440

4320

10080

Show answer & explanation

Answer: 1440

Answer

Protokol heyeti kurallara uygun olarak 1440 farklı şekilde sıralanabilir.

Soru iki temel kısıt içerir: Vali uçta olmalı ve Kaymakamlar ayrılmamalıdır.
1. Vali için 2 ihtimal vardır (Sağ baş veya Sol baş).
2. Kaymakamlar (

K_1, K_2, K_3

) bir paket yapılır. Geriye kalan 4 Belediye Başkanı ile birlikte, araya girebilecek toplam 5 nesne oluşur (

4 + 1

paket). Bu 5 nesne

5! = 120

şekilde sıralanır.
3. Kaymakamlar paket içinde kendi aralarında

3! = 6

şekilde yer değiştirir.
Sonuç:

2 \times 120 \times 6 = 1440

.

Step-by-Step Solution

1

Vali'nin konumunu belirle.

2 Durum

Vali sıranın en sağında veya en solunda olabilir. Bu nedenle 2 farklı durum vardır.

2

Kaymakamları gruplandır ve Belediye Başkanları ile birlikte sıralanacak nesne sayısını bul.

5 Nesne (5!)

3 Kaymakam yan yana olacağından onları tek bir blok (

K_{blok}

) gibi düşünürüz. Geriye 4 Belediye Başkanı (

B_1, B_2, B_3, B_4

) kalır. Vali zaten uçta sabittir. Sıralanacak elemanlar: {

K_{blok}, B_1, B_2, B_3, B_4

}. Toplam 5 nesne

5!

şekilde sıralanır.

3

Kaymakamların kendi arasındaki yer değişimini hesapla.

6 Durum (3!)

Kaymakamlar kendi aralarında yer değiştirebilirler. 3 kişi

3!

farklı şekilde sıralanır.

4

Tüm durumları çarpma kuralına göre hesapla.

2 \times 120 \times 6 = 1440

Toplam Durum = (Vali'nin Durumu)

\times

(Blok ve Diğerlerinin Sıralanışı)

\times

(Blok İçi Sıralanış) =

2 \times 5! \times 3!

Key Concept

Bu soru, 'bağlama/blok yöntemi' (yan yana olma şartı) ile 'sabit konum' (uçlarda olma şartı) prensiplerinin permütasyonda birlikte uygulanmasını ölçmektedir.

Hints

1

Önce yan yana olması gereken kişileri (Kaymakamlar) tek bir kişiymiş gibi (paketleyerek) düşünün.

2

Vali'nin sıranın başında olması ile sonunda olması simetrik durumlardır; birini hesaplayıp 2 ile çarpabilirsiniz.

3

Sıralama formülü: (Vali'nin Durum Sayısı) x (Paket + Belediye Başkanlarının Sıralaması) x (Paket İçi Sıralama).

Practice More

Benzer bir soruyu 'Dairesel Permütasyon' (yuvarlak masa) kuralıyla çözmeyi deneyin.

Alternative Method

Tüm durumları hesaplayıp kısıtlamalara uymayanları çıkarmak yerine, doğrudan istenen durumu inşa etmek (çarpma kuralı) bu tip sorularda daha güvenlidir.

Estimated Time:2m 30s

Question 210Question →

Matematikte $n!$ ifadesi, $1$ ’den $n$ ’ye kadar olan ardışık doğal sayıların çarpımını ifade eder. Özel bir durum olarak $0! = 1$ olarak kabul edilir.

Buna göre,

\frac{6! + 5!}{5!}

işleminin sonucu kaçtır?

6

7

30

120

1

Show answer & explanation

Answer: $7$

Answer

İşlemin sonucu

7

olarak bulunur.

Doğru yanıt olan değer,

6!

ifadesinin

6 \times 5!

şeklinde açılması ve pay kısmının

5!

parantezine alınmasıyla elde edilir. Bu durumda pay

5! \times 7

olur ve paydadaki

5!

ile sadeleştiğinde geriye sadece

7

kalır.

Step-by-Step Solution

1

6!

ifadesini bir alt basamaktaki faktöriyel cinsinden yazın.

6! = 6 \cdot 5!

Büyük faktöriyelli ifadeleri küçük olanlar cinsinden yazmak sadeleştirme yapmayı kolaylaştırır.

2

Bulduğunuz ifadeyi ana denklemde yerine koyun.

\frac{6 \cdot 5! + 5!}{5!}

Tüm terimleri aynı faktöriyel (

5!

) cinsinden ifade etmek için bu adım gereklidir.

3

Pay kısmını

5!

ortak parantezine alın.

\frac{5! \cdot (6 + 1)}{5!}

Toplama işlemini çarpanlarına ayırarak paydadaki ifadeyle sadeleşebilir hale getirmek hedeflenir.

4

Pay ve paydadaki

5!

ifadelerini sadeleştirin ve kalan işlemi yapın.

6 + 1 = 7

Aynı çarpanlar birbirini yok eder ve geriye sadece tam sayıların toplamı kalır.

Key Concept

Faktöriyel Tanımı ve Sadeleştirme Özelliği (

n! = n \cdot (n-1)!

)

Hints

1

Faktöriyel ifadelerinde büyük olan sayıyı, paydada bulunan daha küçük sayıya benzeterek yazabilirsiniz. Örneğin

6! = 6 \cdot 5!

yazmayı deneyin.

2

Pay kısmındaki ifadeyi

5!

ortak parantezine alırsanız, paydadaki

5!

ile sadeleştirme yapabileceğinizi göreceksiniz.

3

İfadeyi

\frac{5! \cdot (6 + 1)}{5!}

şeklinde yazdığınızda pay ve paydadaki

5!

terimleri birbirini sadeleştirir ve geriye sadece parantez içindeki işlem kalır.

Practice More

Benzer mantıkla

\frac{8! - 7!}{7!}

işleminin sonucunu bulmaya çalışarak pratiğinizi artırabilirsiniz.

Alternative Method

Faktöriyel değerlerini tek tek hesaplayarak da sonuca ulaşabilirsiniz:

6! = 720

ve

5! = 120

. Bu durumda işlem

\frac{720 + 120}{120} = \frac{840}{120} = 7

olur. Ancak büyük sayılarla uğraşmamak için sadeleştirme yöntemi daha pratiktir.

Estimated Time:45s

Question 211Question →

Bir kamu kurumunun personel veri tabanında, çalışanlar için 4 farklı kadro unvanı ve 6 farklı görev yeri kodu tanımlanmıştır. Her çalışan için sisteme bir kadro unvanı ve bir görev yeri kodu girilmesi zorunludur.

Buna göre, sistemde unvan ve görev yeri kombinasyonundan oluşan kaç farklı çalışan profili tanımlanabilir?

10

16

24

36

64

Show answer & explanation

Answer: 24

Answer

Toplam 24 farklı çalışan profili tanımlanabilir.

Soruda bir çalışanın profili oluşturulurken hem kadro unvanı hem de görev yeri seçilmesi istenmektedir. İşlemler birbirine bağlı olduğundan ve birlikte gerçekleşmesi gerektiğinden (A ve B olayı), saymanın çarpma kuralı uygulanır. 4 farklı unvan ve 6 farklı görev yeri olduğu için toplam kombinasyon sayısı

4 \times 6 = 24

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Olayın türünü belirle

Birbirinden bağımsız iki seçimin birlikte gerçekleşmesi (Ve bağlacı)

Bir profil oluşturmak için hem unvanın hem de görev yerinin seçilmesi gerekmektedir. Bu durum çarpma kuralını gerektirir.

2

Seçenek sayılarını belirle ve çarp

4 x 6 = 24

4 farklı unvanın her biri için 6 farklı görev yeri seçeneği vardır. Toplam durum sayısı bu değerlerin çarpımıdır.

Key Concept

Saymanın Temel İlkesi (Çarpma Kuralı)

Question 212Question →

Bir kamu kurumunun arşivinde bulunan dosyaların $\%60$ ’ı A birimine, geri kalanlar ise B birimine aittir. Yapılan denetimler sonucunda A birimine ait dosyaların $\%10$ ’unun, B birimine ait dosyaların ise $\%20$ ’sinin hatalı olduğu tespit edilmiştir. Arşivden rastgele seçilen bir dosyanın hatalı olduğu bilindiğine göre, bu dosyanın A birimine ait olma olasılığı kaçtır?

\frac{3}{7}

\frac{4}{7}

\frac{3}{5}

\frac{1}{10}

\frac{7}{50}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{3}{7}$

Answer

Arşivden seçilen hatalı dosyanın A birimine ait olma olasılığı

\frac{3}{7}

olarak bulunur.

Doğru cevap olan

\frac{3}{7}

ifadesi, toplam

14

birimlik 'hatalı dosya' kümesi içerisinde A birimine ait olan

6

birimlik payın sadeleşmiş halidir. Koşullu olasılık mantığına göre, 'hatalı olduğu bilindiğine göre' ifadesi örnek uzayı sadece hatalı dosyalarla sınırlandırır.

Step-by-Step Solution

1

Toplam dosya sayısını varsayarak birimlere dağıtın.

Toplam dosya sayısı

100

olsun. Bu durumda A birimine ait

60

dosya, B birimine ait

100 - 60 = 40

dosya bulunur.

Yüzde hesaplamalarını kolaylaştırmak için örnek uzayı

100

olarak belirlemek işlem kolaylığı sağlar.

2

Her bir birimdeki hatalı dosya sayılarını ayrı ayrı hesaplayın.

A birimindeki hatalı dosyalar:

60 \times \frac{10}{100} = 6

adet. B birimindeki hatalı dosyalar:

40 \times \frac{20}{100} = 8

adet.

Koşullu olasılık için istenen durum ve kısıtlanmış örnek uzay verilerini elde etmek gerekir.

3

Koşula bağlı olarak yeni (kısıtlanmış) örnek uzayı belirleyin.

Toplam hatalı dosya sayısı:

6 + 8 = 14

adet.

Soruda dosyanın hatalı olduğu bilindiği için, olasılık hesabı artık tüm dosyalar üzerinden değil, sadece hatalı dosyalar üzerinden yapılmalıdır.

4

İstenen durum sayısını yeni örnek uzay sayısına oranlayın.

Olasılık =

\frac{\text{A birimine ait hatalı dosyalar}}{\text{Toplam hatalı dosyalar}} = \frac{6}{14} = \frac{3}{7}

Koşullu olasılık formülü olan

P(A | H) = \frac{P(A \cap H)}{P(H)}

uyarınca sonuç elde edilir.

Key Concept

Koşullu Olasılık: Bir olayın gerçekleştiği bilindiğinde, başka bir olayın gerçekleşme olasılığının hesaplanmasıdır. Bu durumda örnek uzay, gerçekleşen olayla kısıtlanır.

Hints

1

Soruda dosyanın hatalı olduğu bilindiği söyleniyor. Bu, paydanızın tüm dosyalar değil, sadece toplam hatalı dosyalar olacağı anlamına gelir.

2

Toplam dosya sayısını

100

kabul ederek A ve B birimlerindeki hatalı dosya sayılarını (örneğin

6

ve

8

) bulun.

3

İstenen olasılığı hesaplamak için A birimindeki hatalı sayısını (

6

), toplam hatalı sayısına (

6+8=14

) bölün.

Practice More

Benzer bir soruyu, üç farklı birim (A, B, C) ve farklı hata oranları kullanarak çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Bayes Teoremi kullanılarak da çözülebilir:

P(A|H) = \frac{P(H|A) \cdot P(A)}{P(H|A) \cdot P(A) + P(H|B) \cdot P(B)}

formülüyle

P(A|H) = \frac{0,10 \cdot 0,60}{(0,10 \cdot 0,60) + (0,20 \cdot 0,40)} = \frac{0,06}{0,06 + 0,08} = \frac{0,06}{0,14} = \frac{3}{7}

elde edilir.

Estimated Time:1m 15s

Question 213Question →

Bir düzlemde bulunan 8 farklı doğru ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Bu doğrulardan 3 tanesi sabit bir A noktasında kesişmektedir.
* Farklı 2 tanesi birbirine paraleldir.
* Geriye kalan doğrular ile ilgili herhangi bir paralellik veya noktadaşlık durumu yoktur.

Buna göre, bu doğruların kesişimiyle en çok kaç farklı nokta oluşur?

24

25

26

27

28

Show answer & explanation

Answer: 25

Answer

Doğruların en çok 25 farklı noktada kesiştiği bulunur.

Düzlemde

n

tane doğrunun en çok kesişim noktası sayısı

C(n,2)

formülü ile bulunur. Özel durumlar (paralellik veya noktadaşlık) varsa bu genel toplamdan düşülür. Sorumuzda 8 doğru vardır:

C(8,2) = 28

potansiyel kesişim. Ancak 3 doğru A noktasında kesiştiği için, bu 3 doğrunun oluşturacağı

C(3,2)=3

nokta yerine sadece 1 nokta oluşur (Kayıp: 2). Ayrıca 2 doğru paralel olduğu için, bu doğruların oluşturacağı

C(2,2)=1

nokta hiç oluşmaz (Kayıp: 1). Toplam kesişim:

28 - 2 - 1 = 25

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Tüm durumların sayısını hesapla

C(8, 2) = 28

Hiçbir şart olmasaydı, 8 doğru en çok ikili kombinasyonları sayısı kadar noktada kesişirdi.

2

Noktadaş (bir noktada kesişen) doğrular için düzeltme yap

Azalma: C(3, 2) - 1 = 3 - 1 = 2

3 doğru normalde 3 noktada kesişecekken, hepsi tek bir A noktasında kesişmektedir. Bu yüzden toplamdan 3 çıkarıp, oluşan 1 noktayı (A) geri ekleriz (veya net kayıp 2'dir).

3

Paralel doğrular için düzeltme yap

Azalma: C(2, 2) = 1

Paralel olan 2 doğru asla kesişmez. Bu yüzden bunların oluşturması beklenen 1 kesişim noktasını toplamdan çıkarırız.

4

Sonucu hesapla

28 - 2 - 1 = 25

Tüm durumlardan hesaplanan kayıpları düşerek en çok kesişim sayısı bulunur.

Key Concept

Kombinasyon ile Kesişim Sayısı Hesabı

Hints

1

Önce hiçbir özel durum yokmuş gibi 8 doğrunun en çok kaç noktada kesişeceğini hesaplayın.

2

Bir noktada kesişen 3 doğru için normalde beklenen kesişim sayısını toplamdan çıkarıp, oluşan o tek noktayı ekleyin.

3

Paralel olan 2 doğru asla kesişmez, bu yüzden onlardan gelecek 1 kesişim noktasını toplamdan tamamen çıkarın.

Practice More

Benzer mantıkla, çemberlerin kesişim sayısı (her iki çember en çok 2 noktada kesişir) üzerine bir soru çözülebilir.

Estimated Time:1m 30s

Question 214Question →

Bir Bakanlık müfettişi, yıllık denetim programı kapsamında A veya B hizmet bölgelerinden sadece birini seçecek; seçtiği bölgedeki bir il müdürlüğünü ve ardından o müdürlüğe bağlı bir şube ofisini denetleyecektir.

Bu bölgelerdeki teşkilat yapısı şöyledir:
* A Bölgesi'nde: 3 farklı il müdürlüğü ve her müdürlüğe bağlı 4 farklı şube ofisi bulunmaktadır.
* B Bölgesi'nde: 2 farklı il müdürlüğü ve her müdürlüğe bağlı 5 farklı şube ofisi bulunmaktadır.

Buna göre, müfettiş bu denetim görevini kaç farklı "Bölge - İl - Şube" seçimiyle gerçekleştirebilir?

14

22

23

45

120

Show answer & explanation

Answer: 22

Answer

Müfettişin toplamda 22 farklı seçim hakkı vardır.

Müfettişin önünde iki ana yol (A veya B bölgesi) vardır. 'Veya' bağlacı bize durumların ayrık olduğunu ve sonuçların toplanması gerektiğini (Toplama Kuralı) gösterir. Her bir bölge içindeki seçim ise 'önce il, sonra şube' şeklinde sıralı olduğu için çarpma kuralı gerektirir. A rotası için

3 \times 4 = 12

, B rotası için

2 \times 5 = 10

seçenek oluşur. Toplam seçenek sayısı

12 + 10 = 22

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Problemin mantıksal yapısını analiz et

Müfettiş A Bölgesi'ni VEYA B Bölgesi'ni seçecektir. Bu iki durum birbirine alternatif olduğu için (ayrık olaylar), her iki bölgedeki seçenek sayıları hesaplanıp toplanmalıdır (Toplama Kuralı).

Olaylar birbirinin alternatifi olduğunda toplama yoluyla sayma kuralı kullanılır.

2

A Bölgesi için seçenek sayısını hesapla

A Bölgesi seçildiğinde: 3 İl Müdürlüğü x 4 Şube Ofisi = 12 farklı seçenek vardır.

Bir il ve ona bağlı bir şube seçimi ardışık/bağlı olaylar olduğu için çarpma yoluyla sayma kuralı kullanılır.

3

B Bölgesi için seçenek sayısını hesapla

B Bölgesi seçildiğinde: 2 İl Müdürlüğü x 5 Şube Ofisi = 10 farklı seçenek vardır.

Burada da il ve şube seçimi birbirine bağlı aşamalardır.

4

Toplam seçenek sayısını bul

Toplam Seçenek = (A Bölgesi Seçenekleri) + (B Bölgesi Seçenekleri) = 12 + 10 = 22.

İki ana durumun sonuçları toplanır.

Key Concept

Sayma Kuralları (Toplama ve Çarpma Prensibi)

Hints

1

Müfettiş A bölgesine giderse kaç farklı seçim yapabilir? B bölgesine giderse kaç farklı seçim yapabilir? Bu iki durumu ayrı ayrı düşünün.

2

A Bölgesi'nde bir il seçip (3 seçenek) ardından bir şube seçmek (4 seçenek) çarpma işlemi gerektirir (

3 \times 4

). Aynısını B Bölgesi için de yapmalısınız.

3

A Bölgesi seçenekleri (12) ile B Bölgesi seçenekleri (10) birbirinin alternatifidir ('veya' durumu). Bu yüzden bu iki sonucu toplamalısınız.

Practice More

Benzer bir mantıkla kurgulanan 'Farklı gömlek ve kravat kombinasyonları' sorusunu çözerek çarpma kuralını pekiştirebilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 215Question →

(3x - y)^n

ifadesinin binom açılımında

4

farklı terim bulunmaktadır.

Buna göre, bu açılımın katsayılar toplamı kaçtır?

4

-8

8

16

64

Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

Binom açılımının katsayılar toplamı 8 olarak bulunur.

Verilen ifadede 4 terim olduğu belirtildiğinden

n+1=4

denkleminden

n=3

bulunur. Katsayılar toplamı için

x

ve

y

yerine 1 yazıldığında

(3-1)^3 = 2^3 = 8

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Terim sayısından faydalanarak ifadenin kuvvetini (n) belirleyin.

n + 1 = 4 \Rightarrow n = 3

Bir binom açılımında terim sayısı, ifadenin kuvvetinin bir fazlasına (

n+1

) eşittir.

2

Katsayılar toplamını bulmak için değişkenlerin yerine 1 yazın.

x = 1

ve

y = 1

için

(3(1) - 1)^n

Bir ifadenin katsayılar toplamını bulmanın en kısa yolu, tüm değişkenlerin yerine 1 yazmaktır.

3

Bulunan kuvvet değerini yerine koyarak işlemi tamamlayın.

(3 - 1)^3 = 2^3 = 8

Tabandaki çıkarma işlemi yapıldıktan sonra elde edilen sayının belirlenen kuvveti alınır.

Key Concept

Binom açılımında terim sayısı

n+1

kuralına bağlıdır; katsayılar toplamı ise değişkenlere 1 verilerek bulunur.

Hints

1

Binom açılımındaki terim sayısı ile parantez dışındaki kuvvet arasındaki ilişkiyi hatırlayın (

n+1

).

2

Katsayılar toplamını bulmak için

x

ve

y

yerine hangi sayıyı yazmanız gerektiğini düşünün.

3

Önce

n

değerini bulun, ardından değişkenlere 1 vererek üslü ifadenin sonucunu hesaplayın.

Practice More

İçinde negatif terim bulunan bir binom açılımında katsayılar toplamının 0 çıktığı durumları inceleyebilirsiniz.

Estimated Time:45s

Question 216Question →

Görsel Sanatlar dersinde bir öğrenci; elindeki özdeş 3 mavi, özdeş 3 kırmızı ve özdeş 3 sarı boncuğu bir ipe dizecektir.

Dizilimde aşağıdaki kurallara uyulması zorunludur:
1. Mavi boncukların tamamı yan yana olacaktır.
2. Herhangi iki sarı boncuk yan yana gelmeyecektir.
3. Dizilim, mavi boncuk ile bitmeyecektir.

Buna göre, bu şartları sağlayan kaç farklı dizilim oluşturulabilir?

30

36

40

48

60

Show answer & explanation

Answer: 36

Answer

Kurallara uygun 36 farklı dizilim vardır.

Mavi boncuklar tek blok (X) sayılır. X ve 3 Kırmızı (K) boncuk 4 farklı şekilde sıralanır. Oluşan 5 boşluğa 3 Sarı (S) boncuk C(5,3)=10 şekilde yerleşir. Toplam 40 dizilim vardır. Ancak dizi X ile biterse (KKKX) ve en sona S gelmezse dizi Mavi ile biter. Bu istenmeyen durum sayısı, KKKX iskeletinde son boşluğun boş kaldığı, diğer 4 boşluğa 3 S'nin yerleştiği C(4,3)=4 durumdur. Sonuç 40 - 4 = 36'dır.

Step-by-Step Solution

1

Mavi boncukları bloklama ve iskelet oluşturma

Maviler (M) tek bir 'X' birimi kabul edilir. Eldeki birimler: X, K, K, K. Bunların sıralanışı 4!/3! = 4 farklı şekilde olur: {XKKK, KXKK, KKXK, KKKX}.

Mavi boncukların bir arada olma şartı nedeniyle bloklama yöntemi kullanılır.

2

Sarı boncukları boşluklara yerleştirme (Ayraç Yöntemi)

4 birimlik iskelet (Örn: _ K _ K _ K _ X _) 5 boşluk yaratır. 3 sarı boncuk bu 5 boşluğa, her boşluğa en fazla bir tane gelecek şekilde C(5,3) = 10 farklı şekilde yerleşebilir.

Sarıların yan yana gelmeme şartı için boşluk (gap) yöntemi kullanılır.

3

Toplam olası durumları hesaplama (Son kural hariç)

4 (iskelet) × 10 (sarı yerleşimi) = 40 toplam durum.

Çarpma kuralı gereği iskelet ve sarı boncuk yerleşimleri çarpılır.

4

İstenmeyen durumları (Mavi ile bitenler) çıkarma

Dizilim, sadece iskelet 'KKKX' şeklinde bitiyorsa VE son boşluğa sarı boncuk gelmiyorsa mavi ile biter. İskeletin sonu X olan 1 durum vardır. Bu durumda son boşluk (X'in sağı) boştur. Kalan 4 boşluğa 3 sarı boncuk C(4,3) = 4 farklı şekilde yerleşir. İstenmeyen durum sayısı: 1 × 4 = 4.

Mavi boncuk ile bitmeme şartını sağlamak için tüm durumlardan mavi ile bitenler çıkarılır.

5

Sonucu bulma

40 (Tüm durumlar) - 4 (İstenmeyen durumlar) = 36.

Tüm geçerli durumlardan kısıtlamaya uymayanlar çıkarılarak sonuç bulunur.

Key Concept

Tekrarlı Permütasyon ve Ayraç Yöntemi

Hints

1

Mavi boncukların hepsini tek bir nesne (X) gibi düşünün. Kırmızıları da K harfi ile gösterin.

2

Sarı boncukların yan yana gelmemesi için, önce diğer boncukları (X ve K'ları) sıralayın, sonra oluşan boşluklara sarıları yerleştirin.

3

Tüm şartları sağlayan yerleşimlerden, 'sonunda Mavi boncuk olan' (yani X bloğu ile biten ve sonrasında sarı olmayan) durumları çıkarın.

Practice More

Benzer bir soruyu 'en az bir sarı boncuk başta veya sonda olacak' şartıyla çözmeyi deneyin.

Alternative Method

İki ayrı durumu toplayarak çözebilirsiniz: 1) İskeletin Kırmızı ile bittiği durumlar (Sonra sarı gelse de gelmese de olur), 2) İskeletin Mavi ile bittiği ancak en sona Sarı boncuğun geldiği durumlar.

Estimated Time:3m 0s

Question 217Question →

Bir belediyenin yürüttüğü sosyal sorumluluk projesinde görevli $1$ proje koordinatörü, $2$ teknik personel ve $3$ saha görevlisi; projenin tanıtım faaliyetleri kapsamında yan yana dizilerek fotoğraf çektirecektir.

Proje koordinatörünün her iki teknik personele de komşu olması ve tam ortalarında bulunması şartıyla, bu $6$ kişi kaç farklı şekilde sıralanabilir?

24

48

72

120

720

Show answer & explanation

Answer: $48$

Answer

Proje koordinatörü ve teknik personellerin oluşturduğu grubun bir blok olarak kabul edilip, diğer kişilerle birlikte sıralanması sonucu elde edilen

48

farklı dizilim mevcuttur.

Proje koordinatörü ve iki teknik personeli tek bir paket olarak düşündüğümüzde, bu paketin içinde koordinatör ortada sabit kalırken teknik personeller

2!

kadar yer değiştirebilir. Bu paketle birlikte geriye kalan

3

saha görevlisi toplam

4

birim eder ve

4!

kadar sıralanır. Sonuç

24 \times 2 = 48

olur.

Step-by-Step Solution

1

Koşula uygun bir blok (paket) oluşturulması

Blok yapısı: (Teknik Personel - Proje Koordinatörü - Teknik Personel)

Proje koordinatörünün her iki teknik personele komşu olması ve ortada yer alması gerektiği için bu üç kişi birbirinden ayrılamaz.

2

Blok içi yer değişimlerinin hesaplanması

2! = 2

farklı durum

Proje koordinatörü ortada sabit kalmak zorundadır, ancak iki teknik personel kendi aralarında yer değiştirebilir.

3

Toplam birim sayısının belirlenmesi ve sıralanması

1

blok +

3

saha görevlisi =

4

birim. Sıralama:

4! = 24

Oluşturulan blok tek bir kişi gibi düşünülür ve toplamda 4 birim yan yana sıralanır.

4

Toplam sıralama sayısının bulunması

24 \times 2 = 48

Dış sıralama ile blok içi sıralama çarpılarak tüm durumlar elde edilir.

Key Concept

Permütasyon problemlerinde 'yan yana olma' veya 'belirli bir düzen içinde olma' şartı verildiğinde, bu kişiler tek bir birim (blok) olarak kabul edilir.

Hints

1

Birbirinden ayrılmaması gereken kişileri bir kutu içerisine koyarak tek bir kişi gibi düşünün.

2

Kutunun içinde koordinatörün sabit olduğunu, ancak diğer iki personelin yer değiştirebileceğini unutmayın.

3

Toplam

4

birimi (

1

kutu +

3

saha görevlisi) sıralayıp, bulduğunuz sonucu kutu içindeki

2

farklı durumla çarpın.

Practice More

Benzer bir soruyu, 'saha görevlilerinin hiçbirinin yan yana gelmediği' durumu ekleyerek çözmeyi deneyebilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 218Question →

Bir Büyükşehir Belediyesi, 'Akıllı Şehir' projesi kapsamında yeni bir trafik denetleme sistemi kuracaktır. Bu sistemin kurulumu için bir kamera markası, bir sensör markası ve bir yazılım firması seçilecektir. Belediye yetkililerinin önündeki seçenekler şunlardır:

* $4$ farklı kamera markası,
* $5$ farklı sensör markası,
* $3$ farklı yazılım firması.

Teknik şartnameye göre; kamera markalarından biri olan $K_1$ , yazılım firmalarından biri olan $Y_1$ ile teknik uyumsuzluk nedeniyle birlikte kullanılamamaktadır.

Buna göre, bu trafik denetleme sistemi kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

12

40

55

59

60

Show answer & explanation

Answer: 55

Answer

Sistem 55 farklı şekilde oluşturulabilir.

Soruda verilen üç bileşen (kamera, sensör, yazılım) birbirine bağlı seçimler olduğu için çarpma kuralı uygulanır. Önce hiçbir kısıtlama yokmuş gibi tüm durumlar hesaplanır:

4 \times 5 \times 3 = 60

. Daha sonra teknik şartnameye uymayan durumlar hesaplanır:

K_1

kamerası ve

Y_1

yazılımı seçildiğinde, sensör ne olursa olsun (5 farklı sensör seçeneği) sistem kurulamaz. Yani istenmeyen durum sayısı

1 \times 5 \times 1 = 5

'tir. Son olarak, tüm durumlardan istenmeyen durumlar çıkarılır:

60 - 5 = 55

.

Step-by-Step Solution

1

Tüm durumların sayısını hesapla (kısıtlama olmaksızın).

4 \times 5 \times 3 = 60

farklı seçenek.

Sayma kurallarına göre, birbirinden bağımsız olayların birlikte gerçekleşme sayısı çarpma işlemi ile bulunur.

2

İstenmeyen (uyumsuz) durumların sayısını belirle.

K_1

ve

Y_1

'in birlikte seçildiği durumlar:

1 \text{ (Kamera)} \times 5 \text{ (Sensör)} \times 1 \text{ (Yazılım)} = 5

durum.

K_1

ve

Y_1

sabitlendiğinde, sensör için hala 5 farklı seçenek bulunmaktadır. Bu nedenle istenmeyen durum sayısı 1 değil, 5'tir.

3

Tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkar.

60 - 5 = 55

.

Toplam olasılıklardan teknik olarak mümkün olmayan kombinasyonlar çıkarılarak geçerli seçenek sayısı bulunur.

Key Concept

Saymanın Temel İlkesi (Çarpma Yoluyla Sayma) ve Kısıtlı Permütasyon

Question 219Question →

Bir hastanenin acil servis bölümünde görev yapan 4 doktor ve 4 hemşire bulunmaktadır. Bu 8 sağlık personeli arasından 4 kişilik bir nöbet ekibi oluşturulacaktır.

Oluşturulacak bu ekip için aşağıdaki şartlar belirlenmiştir:
1. Ekipte en az 2 doktor bulunmalıdır.
2. Doktorlardan Ali Bey ile hemşirelerden Ayşe Hanım, aralarındaki akrabalık bağı nedeniyle aynı ekipte yer almamalıdır.

Buna göre, bu nöbet ekibi kaç farklı şekilde seçilebilir?

36

41

53

65

70

Show answer & explanation

Answer: 41

Answer

Ekipte en az 2 doktor bulunması ve belirtilen iki kişinin aynı anda bulunmaması şartıyla toplam 41 farklı seçim yapılabilir.

Bu soru iki aşamada çözülmelidir. Önce 'en az 2 doktor' şartını sağlayan tüm durumları bulalım, sonra bu durumlardan Ali Bey ve Ayşe Hanım'ın birlikte olduğu istenmeyen durumları çıkaralım.

1. Adım: Ali ve Ayşe kısıtlaması olmadan 'En az 2 Doktor' durumları:
- 2 Doktor, 2 Hemşire:

C(4,2) \times C(4,2) = 6 \times 6 = 36

- 3 Doktor, 1 Hemşire:

C(4,3) \times C(4,1) = 4 \times 4 = 16

- 4 Doktor, 0 Hemşire:

C(4,4) \times C(4,0) = 1 \times 1 = 1

- Toplam:

36 + 16 + 1 = 53

durum.

2. Adım: Ali ve Ayşe'nin BİRLİKTE olduğu ve 'En az 2 Doktor' şartını sağlayan (istenmeyen) durumlar:
Ekipte Ali (Doktor) ve Ayşe (Hemşire) kesinlikle var. Geriye 2 kişi seçmeliyiz. Toplam doktor sayısının en az 2 olması için, kalan 2 kişiden en az 1'i daha doktor olmalı (çünkü Ali zaten 1 doktor).
- Kalanlardan 1 Doktor, 1 Hemşire seçimi:

C(3,1) \times C(3,1) = 3 \times 3 = 9

(Toplamda 2 Dr, 2 Hemşire olur)
- Kalanlardan 2 Doktor seçimi:

C(3,2) = 3

(Toplamda 3 Dr, 1 Hemşire olur)
- İstenmeyen Toplam:

9 + 3 = 12

durum.

Sonuç:

53 - 12 = 41

farklı seçim yapılabilir.

Step-by-Step Solution

1

Kısıtlamasız (Ali Bey ve Ayşe Hanım şartı olmadan) 'en az 2 doktor' bulunan durumların sayısını hesapla.

53 durum

Olası durumlar: (2 Doktor, 2 Hemşire), (3 Doktor, 1 Hemşire) veya (4 Doktor).

2

Ali Bey ve Ayşe Hanım'ın BİRLİKTE olduğu ve 'en az 2 doktor' şartını sağlayan istenmeyen durumları hesapla.

12 durum

Ali ve Ayşe ekipteyken, kalan 2 kişilik kontenjan için gereken doktor şartı kontrol edilmelidir.

3

Toplam geçerli durumlardan istenmeyen durumları çıkar.

53 - 12 = 41

Tüm durumlar kümesinden kısıtlamaya uymayan alt kümeyi çıkarmak işlemi kolaylaştırır.

Key Concept

Koşullu Kombinasyon Problemleri

Hints

1

Soruyu iki parça halinde düşünün: Önce kişi kısıtlaması (Ali/Ayşe) olmadan tüm geçerli ekipleri bulun.

2

'En az 2 doktor' demek; 2 doktor, 3 doktor veya 4 doktorun olduğu durumların toplamıdır.

3

Tüm geçerli durumlardan (En az 2 doktor olan), Ali ve Ayşe'nin 'birlikte' olduğu durumları çıkararak sonuca ulaşabilirsiniz.

Alternative Method

Ali ve Ayşe'nin durumlarına göre 3 ayrı senaryoyu toplayabilirsiniz: 1) İkisinin de olmadığı durumlar, 2) Sadece Ali'nin olduğu durumlar, 3) Sadece Ayşe'nin olduğu durumlar.

Estimated Time:2m 30s

Question 220Question →

$0, 1, 1, 2, 2, 3, 3$ rakamlarının yerleri değiştirilerek oluşturulabilecek $7$ basamaklı çift doğal sayıların sayısı kaçtır?

150

180

210

240

270

Show answer & explanation

Answer: 240

Answer

Verilen rakamlarla 240 farklı 7 basamaklı çift doğal sayı yazılabilir.

Çift sayı olması için son basamak {0} veya {2} olmalıdır. Sıfırın başa gelme kısıtlaması nedeniyle bu iki durum ayrı ayrı hesaplanır. Sonu 0 olanlar için 90 durum, sonu 2 olanlar için (başta 0 olmayanlar dahil) 150 durum bulunur. Toplamda 240 farklı sayı yazılabilir.

Step-by-Step Solution

1

Sayının çift olması için birler basamağının çift rakam olması gerekir.

Birler basamağı 0 veya 2 olabilir. Bu durum iki ayrı kuralda incelenmelidir.

Sıfırın (0) hem çift sayı şartını sağlaması hem de başa gelememe kuralını etkilemesi nedeniyle ayrı incelenmesi gerekir.

2

1. Durum: Sayının sonunun 0 ile bitmesi durumunu hesapla.

Kalan rakamlar: 1, 1, 2, 2, 3, 3. Permütasyon sayısı: 6! / (2! . 2! . 2!) = 720 / 8 = 90.

Son basamak 0 olduğunda, 0 başa gelemeyeceği için ayrıca çıkarmaya gerek yoktur.

3

2. Durum: Sayının sonunun 2 ile bitmesi durumunu hesapla.

Kalan rakamlar: 0, 1, 1, 2, 3, 3. Toplam dizilim: 6! / (2! . 2!) = 180.

Bu dizilimlerin içinde 0'ın başa geldiği geçersiz durumlar da vardır.

4

2. Durum için geçersiz (0 ile başlayan) dizilimleri çıkar.

Başa 0, sona 2 sabitlendiğinde araya (1, 1, 2, 3, 3) kalır. Dizilim: 5! / (2! . 2!) = 120 / 4 = 30. Geçerli Sayı: 180 - 30 = 150.

7 basamaklı sayı olması için 0 ile başlayanlar çıkarılmalıdır.

5

Her iki durumun sonuçlarını topla.

Toplam = 90 + 150 = 240.

İki durum birbirinden bağımsızdır (bir sayı aynı anda hem 0 hem 2 ile bitemez), bu yüzden toplanır.

Key Concept

Tekrarlı permütasyon problemlerinde, '0' rakamı varsa ve özel şartlar (çift sayı vb.) isteniyorsa, 0'ın birler basamağında olduğu durum ile diğer çift sayıların birler basamağında olduğu durumlar ayrı ayrı incelenmelidir.

Hints

1

Sayının çift olması için birler basamağına hangi rakamlar gelebilir?

2

0 rakamı hem çiftlik şartını sağlar hem de başa gelemez. Bu yüzden son basamağın 0 olduğu durum ile 2 olduğu durumu ayrı ayrı hesaplamalısın.

3

Sonu 0 ise kalanları sırala. Sonu 2 ise tüm sıralamadan 0 ile başlayanları çıkar.

Practice More

Rakamlar arasında 0 bulunmayan bir küme ile çift sayı oluşturma sorusu çözerek farkı pekiştirin.

Alternative Method

Tüm durumlar (çift olma şartı olmadan) hesaplanıp, tek sayı olma durumları çıkarılarak da bulunabilir, ancak bu soruda tek sayılar (1 ve 3 ile bitenler) daha fazla durum oluşturacağı için bu yöntem daha uzundur.

Estimated Time:2m 30s

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept