Sayma ve Olasılık

Bir torbada 3 mavi, 4 kırmızı ve 2 yeşil bilye bulunmaktadır. Torbadan rastgele iki bilye aynı anda çekiliyor.

Çekilen bilyelerin renklerinin birbirinden farklı olduğu bilindiğine göre, bu bilyelerden birinin mavi diğerinin kırmızı olma olasılığı kaçtır?

\frac{1}{3}

\frac{3}{13}

\frac{4}{13}

\frac{6}{13}

\frac{12}{25}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{6}{13}$

Answer

İstenen koşullu olasılık değeri \frac{6}{13}'tür.

Soruda 'çekilen bilyelerin renklerinin farklı olduğu bilindiğine göre' ifadesi örnek uzayı kısıtlar. Toplam 36 olası ikiliden, renkleri aynı olan 10 durum (MM, KK, YY) çıkarıldığında geriye 26 durum kalır. Bu 26 durum içinden Mavi-Kırmızı olanlar 12 tanedir. Olasılık

12/26

, sadeleştirilince

6/13

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Tüm olası ikili çekimlerin sayısını hesapla (Genel Örnek Uzay).

Top: 3M + 4K + 2Y = 9 bilye.

\binom{9}{2} = \frac{9 \times 8}{2} = 36

.

Olasılık hesabının temelini oluşturmak için toplam durum sayısı bilinmelidir.

2

Koşul olan 'renklerin farklı olması' durumunun sayısını bul (Yeni Örnek Uzay).

Aynı renk olma durumları:

\binom{3}{2}

(Mavi) +

\binom{4}{2}

(Kırmızı) +

\binom{2}{2}

(Yeşil) = 3 + 6 + 1 = 10. Farklı renk durumları:

36 - 10 = 26

.

Koşullu olasılıkta payda, koşulun sağlandığı durum sayısıdır (

E_{koşul}

).

3

İstenen 'birinin mavi diğerinin kırmızı' olma durum sayısını bul (

A \cap B

).

Mavi ve Kırmızı seçimi:

\binom{3}{1} \times \binom{4}{1} = 3 \times 4 = 12

.

Pay kısmına, hem koşulu sağlayan hem de istenen özelliklere sahip durumlar yazılır.

4

Koşullu olasılığı hesapla.

P(A|B) =

\frac{12}{26} = \frac{6}{13}

.

İstenen durum sayısı / Koşullu örnek uzay sayısı.

Key Concept

Koşullu olasılıkta, örnek uzay daraltılır.

P(A|B) = \frac{s(A \cap B)}{s(B)}

formülü kullanılır, burada

s(B)

koşulu sağlayan durum sayısıdır.

Hints

1

Önce tüm olası ikililerin sayısını hesaplayın, ardından 'renklerin farklı olduğu' durumların sayısını bularak yeni örnek uzayınızı belirleyin.

2

Renklerin farklı olduğu durumları tek tek (MK, MY, KY) toplayarak veya tüm durumlardan aynı renk olma (MM, KK, YY) durumlarını çıkararak bulabilirsiniz.

3

Payda: Tüm durumlar (36) eksi Aynı Renkler (3+6+1=10) = 26. Pay: Mavi ve Kırmızı sayısı (3x4=12). Oran 12/26.

Alternative Method

Kombinasyon yerine gruplandırma yöntemi: Farklı renk grupları MK (3x4=12), MY (3x2=6), KY (4x2=8). Toplam koşullu durum = 12+6+8 = 26. İstenen (MK) = 12. Sonuç 12/26.

Estimated Time:2m 30s

Question 222Question →

1'den $n$ 'ye kadar ardışık tam sayılarla numaralandırılmış topların bulunduğu bir torbadan rastgele bir top çekiliyor. Bu deneyde her bir topun çekilme olasılığının, o topun üzerinde yazan sayı ile doğru orantılı olduğu belirlenmiştir. Çekilen topun numarasının tek sayı olma olasılığı $\frac{5}{11}$ olduğuna göre, torbadaki toplam top sayısı ( $n$ ) kaçtır?

9

10

11

12

13

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

Torbadaki toplam top sayısı 10'dur.

Olasılık fonksiyonunun tanımı gereği tüm çıktıların olasılıkları toplamı 1 olmalıdır. Olasılıklar sayılarla orantılı olduğundan, ağırlıklı bir örnek uzay söz konusudur.

n

sayısı çift (

2m

) olduğunda, tek sayı gelme olasılığı

\frac{m}{2m+1}

formülü ile ifade edilir. Bu ifade

\frac{5}{11}

'e eşitlendiğinde

m=5

ve dolayısıyla

n=10

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Olasılık fonksiyonunun yapısını belirle.

P(k) = c \cdot k

. Olasılık aksiyomu gereği tüm olasılıkların toplamı 1 olmalıdır:

\sum_{k=1}^n c \cdot k = 1

.

Her bir çıktının olasılığı numarasıyla orantılıdır.

2

Orantı sabiti

c

'yi

n

cinsinden ifade et.

c \cdot \frac{n(n+1)}{2} = 1 \Rightarrow c = \frac{2}{n(n+1)}

.

1'den n'ye kadar olan sayıların toplam formülü kullanılarak

c

bulunur.

3

n

sayısının tek veya çift olma durumuna göre 'Tek Sayı Gelme Olasılığını' (

P(Tek)

) formüle et.

Durum 1 (

n=2m

çift ise): Tek sayılar

1, 3, \dots, 2m-1

. Toplamları

m^2

.

P(Tek) = c \cdot m^2 = \frac{m}{2m+1}

. Durum 2 (

n=2m-1

tek ise): Tek sayılar

1, 3, \dots, 2m-1

. Toplamları

m^2

.

P(Tek) = \frac{m}{2m-1}

.

Tek sayıların toplamı, terim sayısının karesine eşittir.

4

Verilen olasılık değeri

\frac{5}{11}

ile denklemleri çöz.

Durum 1 için:

\frac{m}{2m+1} = \frac{5}{11} \Rightarrow 11m = 10m + 5 \Rightarrow m=5

. Buradan

n = 2m = 10

. (Durum 2 denenirse

m=-5

çıkar, geçersizdir).

Elde edilen

m

değeri pozitif tam sayı olmalıdır.

Key Concept

Ağırlıklı Olasılık Fonksiyonu ve Ardışık Sayı Toplamları

Question 223Question →

Bir bakanlık bünyesinde düzenlenen hizmet içi eğitim seminerine katılan personel; A, B ve C olmak üzere üç farklı çalışma grubuna ayrılmıştır. Bu gruplardaki personel sayıları ve seminer sonundaki sınavda başarılı olma yüzdeleri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Grup	Personel Sayısı	Başarı Yüzdesi
A	40	%40
B	40	%60
C	20	%15

Seminere katılanlar arasından rastgele seçilen bir personelin sınavda başarılı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, seçilen bu personelin B grubunda yer alma olasılığı kaçtır?

\frac{16}{43}

\frac{24}{43}

\frac{3}{5}

\frac{6}{25}

\frac{24}{57}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{24}{43}$

Answer

Seçilen personelin B grubundan olma olasılığı

\frac{24}{43}

'tür.

Koşullu olasılık sorularında, 'bilindiğine göre' ifadesinden önceki durum yeni örnek uzayımızı oluşturur. Burada sınavda başarılı olanlar yeni evrensel kümemizdir. A grubundan 16, B grubundan 24, C grubundan 3 olmak üzere toplam 43 başarılı personel vardır. Bizden bu kişinin B grubundan olma olasılığı istendiği için, B grubundaki başarılı sayısını (24) toplam başarılı sayısına (43) böleriz. Cevap

\frac{24}{43}

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Her gruptaki başarılı personel sayısını hesapla.

A grubu:

40 \times \frac{40}{100} = 16

kişi.
B grubu:

40 \times \frac{60}{100} = 24

kişi.
C grubu:

20 \times \frac{15}{100} = 3

kişi.

Olasılık hesabı için istenen ve tüm durumların sayısal değerlerine ihtiyaç vardır.

2

Toplam başarılı personel sayısını (Örnek Uzay) bul.

Toplam Başarılı =

16 + 24 + 3 = 43

kişi.

Soruda 'sınavda başarılı olduğu bilindiğine göre' dendiği için örnek uzay sadece başarılı personelden oluşur.

3

B grubundaki başarılı personel sayısını toplam başarılı sayısına oranla.

Olasılık =

\frac{\text{B Grubu Başarılı}}{\text{Toplam Başarılı}} = \frac{24}{43}

Koşullu olasılık formülü:

P(B | Başarılı) = \frac{n(B \cap Başarılı)}{n(Başarılı)}

.

Key Concept

Koşullu Olasılık (Bayes Teoremi Mantığı)

Hints

1

Önce her bir grupta kaç kişinin sınavda başarılı olduğunu hesaplayınız.

2

Soruda 'sınavda başarılı olduğu bilindiğine göre' dendiği için, toplam personel sayısını değil, sadece başarılı olan toplam personel sayısını payda olarak almalısınız.

3

Toplam başarılı sayısı = A(başarılı) + B(başarılı) + C(başarılı). İstenen ise sadece B(başarılı) sayısıdır. Oranlayınız.

Practice More

Benzer verilerle, seçilen personelin 'başarısız' olduğu bilindiğine göre C grubundan olma olasılığını hesaplayınız.

Alternative Method

Ağaç diyagramı çizerek; kökten gruplara (A, B, C) ve oradan başarı/başarısızlık dallarına giderek, 'Başarılı' ile biten tüm yolların toplamını paydaya, B yolundan gelen başarıyı paya yazabilirsiniz.

Estimated Time:2m 30s

Question 224Question →

x

ve

y

birer pozitif tam sayı olmak üzere,

\frac{60!}{18^x \cdot 15^y}

ifadesi bir tam sayı belirtmektedir.

Buna göre, $x + y$ toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?

19

20

21

27

28

Show answer & explanation

Answer: 21

Answer

Toplamın en büyük değeri 21'dir.

İfadenin tam sayı olması için paydadaki asal çarpan kuvvetlerinin 60! içindeki karşılık gelen asal çarpan sayısını aşmaması gerekir. 60! içindeki 3 çarpanı sayısı 28'dir ve bu çarpan hem

18^x

hem de

15^y

terimlerinden gelir (

3^{2x+y}

). Bu durum

2x+y \le 28

kısıtını oluşturur. Ayrıca

15^y

teriminden gelen 5 çarpanı için

y \le 14

kısıtı vardır. Toplamı (

x+y

) maksimize etmek için, katsayısı küçük olan

y

değişkenine mümkün olan en büyük değeri (

14

) veririz. Bu durumda

2x+14 \le 28

eşitsizliğinden

x

en çok 7 bulunur. Böylece maksimum toplam 21 olur.

Step-by-Step Solution

1

Tabanları asal çarpanlarına ayır ve ifadeyi düzenle.

18^x = (2 \cdot 3^2)^x = 2^x \cdot 3^{2x}

ve

15^y = (3 \cdot 5)^y = 3^y \cdot 5^y

. Payda:

2^x \cdot 3^{2x+y} \cdot 5^y

.

Faktöriyel içindeki asal çarpanların sayısını kontrol edebilmek için tabanların asal olması gerekir.

2

60! içindeki 2, 3 ve 5 asal çarpanlarının sayısını Legendre formülü ile hesapla.

2 sayısı: 56 adet, 3 sayısı: 28 adet, 5 sayısı: 14 adet.

Her bir asal çarpanın faktöriyel içindeki maksimum kuvveti, alabilecekleri değerlerin üst sınırını belirler.

3

Elde edilen verilerle x ve y için eşitsizlik sistemini kur.

1)

x \le 56

(2 çarpanı için)
2)

2x + y \le 28

(3 çarpanı için)
3)

y \le 14

(5 çarpanı için)

Paydadaki asal çarpan kuvvetleri, paydaki (60!) çarpan sayısını geçemez.

4

x+y

toplamını maksimize etmek için kısıtları analiz et.

2x+y \le 28

kısıtında

x

değişkeninin katsayısı daha büyük olduğundan (2), toplamı artırmak için

x

'i küçük,

y

'yi büyük seçmeliyiz.

y

'nin üst sınırı 14'tür.

Maliyet (katsayı) analizi yaparak hangi değişkenin maksimize edilmesi gerektiğini belirlemek.

5

y=14

değerini en kısıtlayıcı eşitsizliğe koy ve

x

'i bul.

2x + 14 \le 28 \Rightarrow 2x \le 14 \Rightarrow x \le 7

. En büyük

x=7

olur. Toplam:

7+14=21

.

Bulunan değerlerin tüm eşitsizlikleri sağladığından emin olmak.

Key Concept

Asal Çarpanlara Ayırma ve Legendre Teoremi ile Optimizasyon

Hints

1

Önce 18 ve 15 sayılarını asal çarpanlarına ayırarak paydanın tam halini yazın (

2^a \cdot 3^b \cdot 5^c

formatında).

2

60! içindeki 2, 3 ve 5 çarpanlarının sayısını bulun. 3 çarpanı her iki tabandan da geldiği için (

18^x

ve

15^y

), bu çarpan için ortak bir eşitsizlik kurmanız gerekecek.

3

3 çarpanı için

2x + y \le 28

eşitsizliğini bulmalısınız. Ayrıca 5 çarpanı için

y \le 14

kısıtı var.

x+y

toplamını en büyük yapmak için, katsayısı 1 olan

y

'yi mümkün olduğunca büyük seçin.

Practice More

Benzer mantıkla, paydasında üç farklı taban bulunan ve daha karmaşık kısıtlar içeren bir faktöriyel sorusu çözülebilir.

Alternative Method

Değer vererek deneme yöntemi: y'nin alabileceği maksimum değerin 5 çarpanından dolayı 14 olduğunu görüp, y=14, y=13... değerleri için x'in alabileceği en büyük tam sayı değerlerini tek tek kontrol etmek.

Estimated Time:3m 30s

Question 225Question →

$\left(x^2 - \frac{2}{x^2}\right)^n$ ifadesinin $x$ 'in azalan kuvvetlerine göre açılımında, baştan 4. terim $A \cdot x^4$ biçimindedir.

Buna göre, $A$ sayısı aşağıdakilerden hangisidir?

-448

448

-336

-224

-112

Show answer & explanation

Answer: -448

Answer

İstenen katsayı -448 değeridir.

Verilen binom açılımında baştan 4. terim istendiği için

r=3

alınır. Genel terim formülü

\binom{n}{r}(x^2)^{n-r}(-2x^{-2})^r

şeklinde yazıldığında, x'in kuvveti

2(n-3)-2(3) = 2n-12

olur. Soruda bu kuvvetin 4 olduğu belirtilmiştir (

x^4

). Buradan

2n-12=4 \Rightarrow n=8

bulunur. Son olarak katsayı

A = \binom{8}{3}(-2)^3 = 56 \cdot (-8) = -448

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Genel terim formülünü yaz ve baştan 4. terim için r değerini belirle.

Binom açılımı genel terimi

\binom{n}{r} (a)^{n-r} (b)^r

şeklindedir. Baştan 4. terim için

r = 4-1 = 3

alınır.

n elemanlı bir kümenin r'li kombinasyonları açılımındaki terim sırası

r=0

ile başlar.

2

Verilen ifadeleri genel terimde yerine koyarak x'in kuvvetini n cinsinden ifade et.

\binom{n}{3} (x^2)^{n-3} (-2x^{-2})^3 = \binom{n}{3} x^{2n-6} (-2)^3 x^{-6} = \binom{n}{3} (-8) x^{2n-12}

Üslü sayıların özellikleri kullanılarak x'in üsleri birleştirilir:

(x^a)^b = x^{a \cdot b}

ve

x^a \cdot x^b = x^{a+b}

.

3

Elde edilen x kuvvetini soruda verilen

x^4

ile eşitleyerek n değerini bul.

2n - 12 = 4 \implies 2n = 16 \implies n = 8

Terimlerin özdeş olması için x'in kuvvetleri eşit olmalıdır.

4

Bulunan n=8 değerini yerine koyarak A katsayısını hesapla.

A = \binom{8}{3} \cdot (-2)^3 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot (-8) = 56 \cdot (-8) = -448

A katsayısı, kombinasyon değeri ile sabit sayıların kuvvetlerinin çarpımıdır.

Key Concept

Binom açılımında genel terim

T_{r+1} = \binom{n}{r} a^{n-r} b^r

formülüyle bulunur.

Hints

1

Binom açılımında baştan

(r+1)

. terim formülü

\binom{n}{r} a^{n-r} b^r

şeklindedir. Burada

r

değerini doğru belirlemelisiniz.

2

Baştan 4. terim için

r=3

alınmalıdır.

x

'in kuvvetlerini bir araya getirerek

n

değerini bulmak için bir denklem kurunuz.

3

Kuvvet denkleminden

n=8

bulunur. Şimdi

A = \binom{8}{3} \cdot (-2)^3

işlemini işaretlere dikkat ederek hesaplayınız.

Practice More

Benzer yapıda ancak sabit terimi (x^0) soran sorular çözülerek n bulma pratiği yapılabilir.

Alternative Method

Alternatif olarak, terimleri tek tek yazmak yerine Pascal üçgeni mantığı düşünülebilir, ancak n bilinmediği için genel terim formülü en güvenilir yoldur.

Estimated Time:2m 30s

Question 226Question →

"MARMARA" kelimesindeki harflerin yerleri değiştirilerek yazılabilecek 7 harfli anlamlı ya da anlamsız kelimelerin kaç tanesi M harfi ile başlayıp A harfi ile biter?

15

30

60

105

210

Show answer & explanation

Answer: 30

Answer

M harfi ile başlayıp A harfi ile biten 30 farklı kelime yazılabilir.

Doğru cevap olan 30 değeri, kelimenin başındaki M ve sonundaki A harfleri sabitlendiğinde, geriye kalan 1 tane M, 2 tane A ve 2 tane R harfinin kendi aralarındaki tekrarlı diziliş sayısıdır. Toplam 5 harf olduğu için 5! değeri, tekrar eden A'ların (2!) ve R'lerin (2!) faktöriyel değerlerine bölünerek sonuca ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Sabitlenecek harflerin belirlenmesi

Kelimenin ilk harfi 'M', son harfi 'A' olarak belirlenir. Bu harfler yer değiştirmeyecektir.

Soruda kelimenin M ile başlayıp A ile bitmesi şartı koşulmuştur.

2

Kalan harflerin ve tekrar sayılarının listelenmesi

"MARMARA" kelimesinde toplam 2 tane M, 3 tane A ve 2 tane R vardır. Birer tane M ve A kullanıldıktan sonra geriye kalanlar: 1 tane M, 2 tane A, 2 tane R.

Ortadaki 5 boşluğa yerleştirilecek harfler ve bunların kaçar kez tekrar ettiği belirlenmelidir.

3

Tekrarlı permütasyon formülünün uygulanması

Kalan 5 harfin dizilişi:

\frac{5!}{1! \times 2! \times 2!} = \frac{120}{1 \times 2 \times 2} = \frac{120}{4} = 30

Özdeş nesnelerin (tekrar eden harflerin) farklı dizilişlerini hesaplamak için toplam faktöriyel, tekrar edenlerin faktöriyellerine bölünür.

Key Concept

Tekrarlı Permütasyon

Hints

1

Kelimenin başına ve sonuna gelecek harfleri yazın ve onları bir daha hareket ettirmeyin.

2

Geriye kalan 5 boşluğa hangi harflerin kaldığını ve bu harflerden hangilerinin özdeş (aynı) olduğunu listeleyin.

3

Ortadaki 5 harf (M, A, A, R, R) olduğu için tekrarlı permütasyon formülünü n=5, n1=2 (A için), n2=2 (R için) şeklinde uygulayın.

Practice More

Farklı bir örnek olarak 'KELEBEK' kelimesiyle benzer bir kısıtlama altında kaç kelime yazılabileceğini deneyebilirsiniz.

Estimated Time:1m 15s

Question 227Question →

Bir kamu kurumunda düzenlenen mesleki gelişim seminerleri kapsamında; sabah oturumunda $4$ farklı mevzuat eğitimi, öğleden sonra oturumunda ise $5$ farklı halkla ilişkiler eğitimi verilmektedir. Bir kamu görevlisi; ya sadece sabah oturumundan bir mevzuat eğitimi seçecek ya da sabah oturumundan bir mevzuat eğitimi ile öğleden sonra oturumundan bir halkla ilişkiler eğitimini birlikte alacaktır. Buna göre, bu görevli eğitim seçimini toplam kaç farklı şekilde yapabilir?

9

20

24

25

30

Show answer & explanation

Answer: $24$

Answer

Kamu görevlisi eğitim seçimini 24 farklı şekilde yapabilir.

Personelin önünde iki ana yol vardır: İlk yol, sadece sabah oturumundaki 4 eğitimden birini seçmektir (4 durum). İkinci yol ise sabah oturumundan bir eğitim (4 seçenek) VE öğleden sonra oturumundan bir eğitim (5 seçenek) almaktır; bu da çarpma kuralı gereği 4 × 5 = 20 durum oluşturur. Bu iki farklı senaryo 'veya' mantığıyla birbirine bağlı olduğu için toplam seçenek sayısı 4 + 20 = 24 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Sadece sabah oturumundan bir mevzuat eğitimi seçme durumunu belirleme.

4

farklı yol.

Sorudaki 'ya sadece sabah oturumundan bir mevzuat eğitimi seçecek' ifadesi tek bir seçim işlemini belirtir.

2

Sabah ve öğleden sonra oturumlarından birer eğitimi birlikte seçme durumunu hesaplama.

4 \times 5 = 20

farklı yol.

İki farklı oturumdan birer seçenek belirlendiği için çarpma kuralı (saymanın temel ilkesi) uygulanır.

3

İki farklı senaryonun toplam seçenek sayısını bulma.

4 + 20 = 24

.

Birbirinden ayrı gerçekleşen bu iki durumun toplam sayısını bulmak için toplama kuralı uygulanır.

Key Concept

Sayma Kuralları (Toplama ve Çarpma)

Hints

1

Soruda iki ayrı durum tanımlanmıştır. Görevlinin sadece bir eğitim aldığı anlar ile iki eğitimi birlikte aldığı anları ayrı ayrı düşünmelisiniz.

2

İki eğitimi birlikte alma durumunda 've' bağlacı mantığı geçerlidir, bu yüzden çarpma kuralını kullanın (

4 \times 5

).

3

Tek başına sabah eğitimini seçme sayısı olan

4

ile, birlikte seçim yapma sayısı olan

20

değerini toplayarak sonuca ulaşabilirsiniz.

Practice More

Benzer bir soruda 'en az bir eğitim' seçme zorunluluğu olduğunda tüm durumların nasıl değişeceğini inceleyebilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 228Question →

Bir belediyenin çözüm merkezine gelen şikayetlerin $\%60$ ’ı altyapı birimiyle, geri kalanı ise çevre birimiyle ilgilidir. Altyapı birimine gelen şikayetlerin $\%80$ ’i, çevre birimine gelen şikayetlerin ise $\%70$ ’i aynı gün içerisinde çözüme kavuşturulmaktadır. Bu çözüm merkezine gelen ve aynı gün içerisinde çözüme kavuşturulduğu bilinen bir şikayetin altyapı birimiyle ilgili olma olasılığı kaçtır?

\frac{12}{25}

\frac{12}{19}

\frac{7}{19}

\frac{19}{25}

\frac{3}{5}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{12}{19}$

Answer

Çözüldüğü bilinen bir şikayetin altyapı birimiyle ilgili olma olasılığı

\frac{12}{19}

'dur.

Çözüldüğü bilinen bir şikayetin altyapı birimine ait olma olasılığı, altyapı birimindeki çözülen şikayet olasılığının (

0,48

), toplam çözülen şikayet olasılığına (

0,76

) oranlanmasıyla elde edilir. Bu işlem sonucunda

\frac{48}{76}

kesri

4

ile sadeleşerek

\frac{12}{19}

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Birimlerin olasılıklarını belirleme

P(\text{Altyapı}) = 0,60

ve

P(\text{Çevre}) = 0,40

Şikayetlerin

\%60

'ı altyapı, geri kalanı (

\%100 - \%60 = \%40

) çevredir.

2

Hem birime ait olan hem de çözülen şikayetlerin olasılıklarını hesaplama

P(\text{Altyapı} \cap \text{Çözüldü}) = 0,60 \times 0,80 = 0,48

ve

P(\text{Çevre} \cap \text{Çözüldü}) = 0,40 \times 0,70 = 0,28

Her birimin kendi içindeki çözüm oranları verilmiştir.

3

Toplam çözülme olasılığını bulma

P(\text{Çözüldü}) = 0,48 + 0,28 = 0,76

Koşullu olasılık formülündeki örnek uzayımızı sınırlayan durum tüm çözülen şikayetlerdir.

4

Koşullu olasılık formülünü uygulama

P(\text{Altyapı} | \text{Çözüldü}) = \frac{0,48}{0,76} = \frac{48}{76} = \frac{12}{19}

İstenen durumun olasılığı, koşul olarak verilen durumun olasılığına bölünür.

Key Concept

Koşullu olasılık, bir

B

olayının gerçekleştiği bilindiğinde

A

olayının gerçekleşme olasılığıdır:

P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

Hints

1

Soruda şikayetin çözüldüğü kesin bir bilgi olarak verilmiştir. Bu, tüm şikayetler yerine sadece çözülen şikayetler kümesine odaklanmanız gerektiğini gösterir.

2

Önce toplam çözülen şikayet olasılığını hesaplayın. Bunun için hem altyapıdan çözülenleri hem de çevreden çözülenleri toplamalısınız.

3

İstenen olasılık: (Altyapı ve Çözüldü) / (Tüm Çözülenler) şeklindedir. Yani

\frac{0,60 \times 0,80}{0,60 \times 0,80 + 0,40 \times 0,70}

işlemini yapmalısınız.

Practice More

Bağımsız olaylar ve koşullu olasılık arasındaki farkı pekiştirmek için iki olayın kesişiminin olasılıkların çarpımına eşit olup olmadığını kontrol ettiğiniz soruları inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Toplam 100 şikayet olduğunu varsayalım. 60 tanesi altyapı, 40 tanesi çevredir. Altyapı şikayetlerinin 48'i (

60 \times 0,80

), çevre şikayetlerinin 28'i (

40 \times 0,70

) çözülmüştür. Toplam çözülen şikayet sayısı

48 + 28 = 76

olur. Çözülen 76 şikayetten 48'i altyapı ile ilgilidir. Olasılık

\frac{48}{76} = \frac{12}{19}

olur.

Estimated Time:1m 30s

Question 229Question →

Bir şehir kütüphanesine kayıtlı olan üyelerin $\%40$ ’ı öğrencilerden, geri kalanı ise yetişkinlerden oluşmaktadır. Kütüphaneden alınan kitapların teslim süreleriyle ilgili yapılan bir incelemede şu veriler elde edilmiştir:

* Öğrencilerin $\%20$ ’si kitapları teslim süresinden sonra iade etmiştir.
* Yetişkinlerin $\%10$ ’u kitapları teslim süresinden sonra iade etmiştir.

Kütüphaneden kitap alan üyeler arasından rastgele seçilen bir kişinin kitabını teslim süresinden sonra iade ettiği bilindiğine göre, bu kişinin öğrenci olma olasılığı kaçtır?

\frac{4}{7}

\frac{2}{25}

\frac{3}{7}

\frac{16}{43}

\frac{1}{5}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{4}{7}$

Answer

Kitabını geciktiren birinin öğrenci olma olasılığı

\frac{4}{7}

'dir.

Verilen bilgilere göre

100

kişiden

8

öğrenci ve

6

yetişkin geciktirme yapmıştır. Toplam geciktirme yapan

14

kişi arasından seçilen kişinin öğrenci olma olasılığı

8/14

sadeleştirildiğinde

\frac{4}{7}

sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1

Kütüphane üye sayılarını yüzdelere uygun şekilde belirleyelim.

Toplam üye sayısını

100

kabul edersek; Öğrenci sayısı

40

, Yetişkin sayısı

60

olur.

Yüzdelik hesaplamaları kolaylaştırmak için toplamı 100 olarak varsaymak standart bir yöntemdir.

2

Her grupta kitabını teslim süresinden sonra iade eden (geciktiren) kişi sayısını hesaplayalım.

Öğrenci geciktiren:

40 \times \frac{20}{100} = 8

kişi. Yetişkin geciktiren:

60 \times \frac{10}{100} = 6

kişi.

Koşullu olasılık için hem kesişim kümesini hem de koşul kümesini belirlemek gerekir.

3

Koşulun belirlediği yeni örnek uzayını (tüm geciktirenler) bulalım.

Toplam geciktiren sayısı:

8 + 6 = 14

.

Soru 'geciktirdiği bilindiğine göre' dediği için payda kısmına sadece geciktirenlerin toplamı yazılmalıdır.

4

İstenen durumu (geciktiren öğrenciler) toplam geciktirenlere oranlayalım.

Olasılık =

\frac{8}{14} = \frac{4}{7}

.

Koşullu olasılık formülü olan

P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

uygulanmıştır.

Key Concept

Koşullu Olasılık

Hints

1

Toplam üye sayısını 100 kişi olarak kabul ederek işe başlayın.

2

Sadece geciktirme yapan kişilerin sayısını bulun. Bu sayı sizin yeni paydanız (örnek uzayınız) olacaktır.

3

Geciktiren öğrenci sayısını, toplam geciktiren sayısına oranlayın.

Practice More

Benzer bir soruyu 'zamanında teslim eden birinin yetişkin olma olasılığı' şeklinde değiştirerek çözmeyi deneyebilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 230Question →

Bir kamu hastanesindeki randevu sisteminde kayıtlı olan $60$ hastanın randevu türlerine ve muayene olacakları polikliniklere göre dağılımı aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Randevu Türü	Uzman Doktor	Pratisyen Doktor	Toplam
İnternet	$12$	$24$	$36$
Telefon	$8$	$16$	$24$
Toplam	$20$	$40$	$60$

Sistemden rastgele seçilen bir randevunun telefon ile alındığı bilindiğine göre, bu randevunun pratisyen doktor muayenesi için olma olasılığı kaçtır?

\frac{1}{3}

\frac{1}{2}

\frac{2}{3}

\frac{4}{15}

\frac{2}{5}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{2}{3}$

Answer

İki bölü üç

Doğru cevap, telefonla alınan randevuların (toplam

24

) içinden pratisyen doktora ait olanların (

16

) oranını ifade eder. Koşullu olasılık mantığına göre, 'bilinen' durum payda olur, bu durumun içindeki 'istenen' özellik ise pay olur. Bu durumda

\frac{16}{24}

sadeleşince

\frac{2}{3}

sonucuna varılır.

Step-by-Step Solution

1

Koşula göre örnek uzayın daraltılması

Örnek uzay =

24

Seçilen randevunun telefon ile alındığı 'bilindiği' için, tüm randevular yerine sadece telefonla alınan randevular (toplam

24

adet) dikkate alınır.

2

İstenen durumun belirlenmesi

İstenen durum sayısı =

16

Telefonla alınan randevular kümesi içerisinde pratisyen doktor polikliniğine ait olan randevu sayısı tablodan

16

olarak bulunur.

3

Koşullu olasılık hesaplaması

Olasılık =

\frac{16}{24}

Olasılık değeri, istenen durum sayısının, daraltılmış örnek uzaydaki toplam durum sayısına bölünmesiyle elde edilir.

4

Kesrin sadeleştirilmesi

Sonuç =

\frac{2}{3}

16

ve

24

sayıları

8

ile sadeleştiğinde en basit haliyle

\frac{2}{3}

oranına ulaşılır.

Key Concept

Koşullu Olasılık

Hints

1

Soruda 'bilindiğine göre' ifadesi, bu sorunun bir koşullu olasılık sorusu olduğunu gösterir.

2

İnternetle alınan randevuları tamamen görmezden gelerek sadece 'Telefon' satırına odaklanın.

3

Telefonla alınan toplam kaç randevu var ve bunların kaçı pratisyen doktora ait? Bu iki sayıyı birbirine oranlamanız yeterlidir.

Practice More

Tablodaki verileri kullanarak, seçilen bir randevunun uzman doktora ait olduğu bilindiğine göre internet üzerinden alınmış olma olasılığını hesaplayınız.

Estimated Time:1m 15s

Question 231Question →

$A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ kümesinin elemanları kullanılarak rakamları birbirinden farklı, 300'den büyük ve üç basamaklı kaç farklı çift doğal sayı yazılabilir?

32

36

48

52

60

Show answer & explanation

Answer: 32

Answer

Verilen koşullara uygun 32 farklı sayı yazılabilir.

Soruda hem yüzler basamağını ilgilendiren (300'den büyük) hem de birler basamağını ilgilendiren (çift sayı) kısıtlamalar vardır. Bu kısıtlamaların çakıştığı eleman (4 rakamı) yüzünden işlem iki duruma ayrılmalıdır.

1. Durum (Yüzler basamağı tek): Yüzler basamağı {3, 5} olabilir (2 seçenek). Birler basamağı {0, 2, 4} olabilir (3 seçenek). Onlar basamağına kalan 4 rakamdan biri gelir.

2 \times 3 \times 4 = 24

sayı.

2. Durum (Yüzler basamağı çift): Yüzler basamağı {4} olabilir (1 seçenek). Birler basamağına {0, 2} kalır (2 seçenek, çünkü 4 kullanıldı). Onlar basamağına kalan 4 rakamdan biri gelir.

1 \times 2 \times 4 = 8

sayı.

Toplam:

24 + 8 = 32

sayı elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Koşulları analiz et

Sayı 3 basamaklı, rakamları farklı, 300'den büyük (Yüzler basamağı 3, 4, 5 olabilir) ve çift (Birler basamağı 0, 2, 4 olabilir) olmalı.

Sayma kurallarını doğru uygulamak için kısıtlamaların çakıştığı durumları (hem yüzler hem birler basamağı) belirlemek gerekir.

2

Çakışma durumuna göre incelemeyi parçalara ayır (Toplama Kuralı)

Yüzler basamağına çift sayı (4) geldiğinde birler basamağındaki çift sayı seçenekleri azalacağından, bu durum ayrı incelenmelidir.

Yüzler basamağı tek ise (3, 5) birler basamağı kısıtlanmaz; yüzler basamağı çift ise (4) birler basamağı kısıtlanır.

3

Durum 1: Yüzler basamağının 3 veya 5 olması (Tek rakamlar)

Yüzler: {3, 5} (2 seçenek). Birler: {0, 2, 4} (3 seçenek). Onlar: Kalan 4 rakam. Hesap: 2 x 3 x 4 = 24 sayı.

Yüzler basamağına tek sayı geldiği için birler basamağındaki tüm çift rakamlar (0, 2, 4) kullanılabilir.

4

Durum 2: Yüzler basamağının 4 olması (Çift rakam)

Yüzler: {4} (1 seçenek). Birler: {0, 2} (4 kullanıldığı için 2 seçenek). Onlar: Kalan 4 rakam. Hesap: 1 x 2 x 4 = 8 sayı.

Yüzler basamağında 4 kullanıldığı için birler basamağına sadece 0 ve 2 kalır.

5

Sonuçları topla

24 + 8 = 32 sayı.

Ayrık durumların toplam sayısı aranan cevabı verir.

Key Concept

Sayma Kuralları (Toplama ve Çarpma Prensibi - Kısıtlı Permütasyon)

Hints

1

Yüzler basamağına gelebilecek {3, 4, 5} rakamları ile birler basamağına gelebilecek {0, 2, 4} rakamları arasında ortak bir eleman var mı?

2

4 rakamı hem yüzler basamağına (büyüklük şartı için) hem de birler basamağına (çiftlik şartı için) adaydır. Bu durum çakışma yaratır.

3

Yüzler basamağının 3 veya 5 olduğu durumları ayrı, 4 olduğu durumu ayrı hesaplayıp toplayınız.

Estimated Time:2m 30s

Question 232Question →

Bir kamu kurumunun bilgi işlem merkezi, yeni bir veri giriş sistemi için her biri 5 karakterden oluşan giriş kodları tasarlamıştır. Bu kodlar oluşturulurken $\{A, B, C\}$ harfleri ve $\{1, 2\}$ rakamları kümesindeki elemanların her biri tam bir kez kullanılmaktadır.

Buna göre, bir harf ile başlayıp bir rakam ile biten kaç farklı giriş kodu oluşturulabilir?

12

18

36

72

120

Show answer & explanation

Answer: 36

Answer

Bir harf ile başlayıp bir rakam ile biten 36 farklı giriş kodu oluşturulabilir.

Doğru cevap, başlangıç için mevcut olan 3 harf seçeneği ile bitiş için mevcut olan 2 rakam seçeneğinin belirlenmesi ve ardından geriye kalan 3 farklı karakterin boşta kalan 3 yere kaç farklı şekilde (3!) sıralanabileceğinin hesaplanmasıyla bulunur. Bu işlemlerin sonucu olan

3 \times 6 \times 2 = 36

ifadesi doğru sıralama sayısını verir.

Step-by-Step Solution

1

Şifre yapısını ve kısıtlamaları belirleme

5 haneli bir sıralama yapılacak: [Başlangıç] [2. Hane] [3. Hane] [4. Hane] [Bitiş]

Soruda belirtilen 'harf ile başlama' ve 'rakam ile bitme' koşullarını yerleştirmek için yapı belirlenir.

2

Birinci ve sonuncu haneler için seçenek sayılarını hesaplama

1. hane (Harf): 3 seçenek (A, B, C). 5. hane (Rakam): 2 seçenek (1, 2).

Kısıtlamanın olduğu öncelikli basamakların doluluk oranları belirlenir.

3

Kalan haneler için sıralama yapma

Geriye kalan 3 karakter (1 harf, 1 rakam, 1 harf/rakam karışık), ortadaki 3 haneye

3! = 3 \times 2 \times 1 = 6

farklı şekilde dizilir.

Her karakter bir kez kullanılacağı için kalan elemanların permütasyonu hesaplanır.

4

Çarpma kuralını uygulayarak toplam durumu bulma

3 \times 3! \times 2 = 3 \times 6 \times 2 = 36

Birbirine bağlı olayların (basamak seçimlerinin) toplam kaç farklı şekilde gerçekleşebileceğini bulmak için seçenekler çarpılır.

Key Concept

Kısıtlı Permütasyon (Sıralama)

Hints

1

Şifrenin ilk ve son hanesine gelebilecek karakter sayılarını ayrı ayrı düşünün.

2

Birinci hane için 3 farklı harf seçeneğiniz, son hane için ise 2 farklı rakam seçeneğiniz olduğunu unutmayın.

3

Uç haneleri belirledikten sonra, geriye kalan 3 karakterin kendi aralarında kaç farklı şekilde yer değiştirebileceğini (3!) hesaplayın ve tüm seçenekleri çarpın.

Practice More

Eğer şifrenin her zaman bir rakamla başlayıp bir rakamla bitmesi istenseydi sonuç nasıl değişirdi?

Estimated Time:1m 15s

Question 233Question →

Bir belediye personeli, kurumun girişindeki bilgilendirme panosuna asılmak üzere hazırlanan birbirinden farklı 4 adet kurumsal logoyu yan yana dizecektir. Buna göre, bu personel logoları panoya kaç farklı şekilde sıralayabilir?

4

10

12

24

48

Show answer & explanation

Answer: 24

Answer

Logolar panoya 24 farklı şekilde sıralanabilir.

4 farklı nesnenin tamamının yan yana dizilmesi durumu

n!

formülü ile hesaplanır. Burada

n=4

olduğu için sonuç

4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Sıralanacak nesne sayısını ve kuralı belirleyin.

Nesne sayısı

n = 4

ve işlem bir 'sıralama' (permütasyon) işlemidir.

Birbirinden farklı nesnelerin yan yana dizilimi permütasyon prensibi ile çözülür.

2

Permütasyon formülünü uygulayın (

n!

).

4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1

Birinci sıra için 4, ikinci sıra için kalan 3, üçüncü sıra için kalan 2 ve son sıra için 1 seçenek vardır.

3

Çarpma işlemini gerçekleştirin.

4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24

Çarpma yoluyla sayma prensibi gereği tüm seçenekler çarpılır.

Key Concept

Birbirinden farklı n nesnenin yan yana sıralanış sayısı n! (n faktöriyel) kadardır.

Hints

1

Bu bir sıralama problemidir. Sıralama problemlerinde faktöriyel kavramını kullanırız.

2

Elinizde 4 farklı logo var. Birinci sıraya kaç farklı logo gelebilir? Peki ya ikinci sıraya?

3

Sonuç, 4 nesnenin yan yana dizilişi olan 4! (4 faktöriyel) işlemine eşittir.

Practice More

5 farklı kitabın bir rafa sıralanması sorusunu çözerek pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Çizgi (kutu) yöntemini kullanabilirsiniz: Panodaki 4 yer için 4 çizgi çekin. Birinci çizgiye 4, ikinciye 3, üçüncüye 2 ve dördüncüye 1 yazıp bu sayıları çarpın.

Estimated Time:45s

Question 234Question →

Bir kamu kurumunun yemekhanesinde, personelin öğle yemeği sonrasında seçebilmesi için $6$ farklı tatlı ve $8$ farklı meyve çeşidi ikram olarak sunulmaktadır.

Yemeğini bitiren bir memur, sunulan bu ikramlar arasından yalnızca bir adet tatlı veya yalnızca bir adet meyve seçecektir.

Buna göre, bu memur seçimini kaç farklı şekilde yapabilir?

48

14

2

24

12

Show answer & explanation

Answer: $14$

Answer

Memur seçimini

14

farklı şekilde yapabilir.

Verilen problemde memur, toplam seçenek havuzundan (tatlılar ve meyveler) sadece bir tane ikramlık seçecektir. 'Veya' bağlacı bizlere bu grupların seçeneklerinin birleştirilmesi gerektiğini söyler.

6

farklı tatlı ve

8

farklı meyve arasından yapılacak tek bir seçim için toplam durum sayısı

6 + 8 = 14

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Grupları ve eleman sayılarını belirleyin.

Tatlı kümesi

T

olsun,

s(T) = 6

. Meyve kümesi

M

olsun,

s(M) = 8

.

Sayma işlemine başlamadan önce mevcut seçeneklerin sayısını netleştirmek gerekir.

2

Kullanılacak sayma kuralını tespit edin.

Toplama Yoluyla Sayma kuralı kullanılacaktır.

Sorudaki 'veya' bağlacı, bu iki ayrık gruptan (tatlılar ve meyveler) toplamda sadece bir tane ürün seçileceğini ifade eder.

3

Seçenek sayılarını toplayın.

6 + 8 = 14

.

Ayrık iki kümeden bir eleman seçimi, kümelerin eleman sayılarının toplamı kadardır.

Key Concept

Toplama Yoluyla Sayma (Ayrık iki kümenin birleşiminin eleman sayısı)

Hints

1

Soruda 'veya' bağlacının kullanıldığına dikkat edin. Bu, toplamda sadece bir seçim yapacağınız anlamına gelir.

2

Eğer

6

farklı kaleminiz ve

8

farklı silginiz olsaydı ve bunlardan sadece birini alacak olsaydınız, toplam kaç seçeneğiniz olurdu?

3

İki farklı gruptan yalnızca bir tane ürün seçilecekse, her iki grubun seçenek sayıları toplanır. Yani

6

ile

8

sayılarını toplamalısınız.

Practice More

Aynı soru 'bir tatlı VE bir meyve' şeklinde sorulsaydı hangi işlemi yapmanız gerekirdi? (Cevap: Çarpma)

Alternative Method

Tüm seçenekleri tek bir liste olarak hayal edebilirsiniz: T1, T2, T3, T4, T5, T6 (tatlılar) ve M1, M2, M3, M4, M5, M6, M7, M8 (meyveler). Bu listede toplamda

6 + 8 = 14

tane farklı seçenek vardır ve bunlardan herhangi biri seçilebilir.

Estimated Time:45s

Question 235Question →

Bir kamu kurumu, sekiz katlı bir hizmet binasının her katına birer adet güvenlik kamerası yerleştirecektir. Kurumun elinde özdeş $3$ adet A marka, özdeş $3$ adet B marka ve özdeş $2$ adet C marka kamera bulunmaktadır.

A marka kameraların herhangi ikisinin alt alta gelen katlarda bulunmaması şartıyla, bu kameralar binaya kaç farklı şekilde yerleştirilebilir?

60

100

200

360

560

Show answer & explanation

Answer: 200

Answer

A marka kameraların herhangi ikisinin yan yana gelmediği toplam 200 farklı yerleşim yapılabilir.

Doğru çözüm için öncelikle kısıtlama olmayan 5 kamera (3B, 2C) yerleştirilir. Bu yerleşim

\frac{5!}{3!2!} = 10

farklı şekilde yapılır. Bu yerleşimlerin her birinde, A marka kameraların yerleştirilebileceği (herhangi ikisinin yan yana gelmesini önleyen) 6 farklı boşluk bulunur. 3 özdeş A kamerasını bu 6 boşluğa

\binom{6}{3} = 20

farklı şekilde yerleştirebiliriz. Sonuç olarak

10 \times 20 = 200

farklı durum oluşur.

Step-by-Step Solution

1

A marka kameralar dışındaki diğer 5 kameranın dizilim sayısını hesaplayın.

\frac{5!}{3! \times 2!} = 10

Özdeş 3 adet B ve 2 adet C marka kameranın kendi aralarındaki farklı sıralanışlarını bulmak için tekrarlı permütasyon kullanılır.

2

Dizilen 5 kameranın arasında ve uçlarında oluşan boşluk sayısını belirleyin.

6 boşluk

5 nesne yan yana dizildiğinde, nesnelerin arası ve iki uç nokta dahil olmak üzere toplam

5+1=6

farklı yerleştirme noktası oluşur.

3

3 adet özdeş A marka kamerasını bu boşluklara yerleştirin.

\binom{6}{3} = 20

Herhangi iki A markasının yan yana gelmemesi için, bu 6 boşluktan 3 tanesi seçilmeli ve özdeş kameralar buralara yerleştirilmelidir.

4

Toplam yerleşim sayısını bulun.

10 \times 20 = 200

Bağımsız seçimlerin sonuçları çarpılarak tüm olası durumlar hesaplanır.

Key Concept

Tekrarlı permütasyon problemlerinde 'herhangi ikisi yan yana gelmeme' şartı varsa, önce diğer nesneler dizilir ve oluşan boşluklara şartlı nesneler yerleştirilir.

Question 236Question →

Bir kağıt üzerine, yatay ve dikey olarak eşit aralıklarla yerleştirilmiş 9 nokta, aşağıdaki gibi 3x3'lük bir kare düzeni oluşturacak şekilde işaretlenmiştir.

Buna göre, köşeleri bu 9 noktadan seçilen en çok kaç farklı üçgen oluşturulabilir?

84

82

78

76

72

Show answer & explanation

Answer: 76

Answer

76

9 noktadan seçilebilecek tüm üçlülerin sayısı

C(9,3) = 84

'tür. Ancak aynı doğru üzerinde bulunan 3 nokta üçgen oluşturmaz. Şekilde 3 yatay, 3 dikey ve 2 çapraz olmak üzere toplam 8 adet 3'lü doğrusal grup vardır. Bu 8 durum toplamdan çıkarıldığında

84 - 8 = 76

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Tüm olası üçlü seçimlerin sayısını hesapla.

C(9,3) = 84

9 noktadan herhangi 3'ünü seçmenin toplam yolu.

2

Üçgen oluşturmayan doğrusal (aynı doğru üzerindeki) nokta gruplarını belirle.

3 yatay, 3 dikey ve 2 çapraz sıra tespit edildi.

Aynı doğru üzerindeki 3 nokta birleştiğinde üçgen değil, doğru belirtir.

3

Doğrusal grupların her birinden yapılabilecek seçim sayısını hesapla ve topla.

8 grup x C(3,3) = 8 seçim.

Toplam 8 adet doğrusal üçlü grup vardır.

4

Tüm durumlardan üçgen oluşturmayan durumları çıkar.

84 - 8 = 76

Toplam kombinasyondan geçersiz durumlar çıkarılarak üçgen sayısı bulunur.

Key Concept

Doğrusal olmayan noktalarla üçgen oluşturma prensibi: C(n,3) - (Doğrusal Gruplar)

Hints

1

Tüm noktalardan seçilebilecek üçlülerin sayısından, üçgen oluşturmayanları çıkarmalısınız.

2

Aynı doğru üzerinde bulunan 3 nokta üçgen belirtmez. Yatay ve dikey sıralara ek olarak başka doğrusal sıra var mı kontrol edin.

3

3 yatay ve 3 dikey sıranın yanı sıra, 2 tane de çapraz (köşegen) sıra mevcuttur. Toplam 8 doğrusal grup vardır.

Estimated Time:2m 0s

Question 237Question →

n

bir doğal sayı olmak üzere,

\frac{ (n+3)! - (n+2)! }{ n! + (n+1)! } = 42

eşitliğini sağlayan

n

değeri kaçtır?

4

5

6

7

42

Show answer & explanation

Answer: 5

Answer

Eşitliği sağlayan

n

değeri 5'tir.

Verilen rasyonel ifadede pay ve payda ayrı ayrı en küçük faktöriyel parantezine alındığında, ortak çarpanlar sadeleşir ve geriye ardışık iki sayının çarpımı kalır.

(n+2)(n+1)=42

eşitliğinden

n=5

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Pay kısmındaki ifadeyi en küçük faktöriyel parantezine al.

(n+3)! - (n+2)! = (n+2)! \cdot [(n+3) - 1] = (n+2)! \cdot (n+2)

Faktöriyel işlemlerinde toplama ve çıkarma yapabilmek için ifadeler ortak çarpan parantezine alınmalıdır.

2

Payda kısmındaki ifadeyi en küçük faktöriyel parantezine al.

n! + (n+1)! = n! \cdot [1 + (n+1)] = n! \cdot (n+2)

Paydada da benzer şekilde

n!

parantezine alınarak sadeleştirme için hazırlık yapılır.

3

Bulunan ifadeleri denklemde yerine yaz ve sadeleştir.

\frac{(n+2)! \cdot (n+2)}{n! \cdot (n+2)} = 42

(n+2)

çarpanları sadeleşir:

\frac{(n+2)!}{n!} = 42

Pay ve paydadaki ortak

(n+2)

çarpanları birbirini götürür.

4

Kalan faktöriyel oranını açarak denklemi çöz.

\frac{(n+2)(n+1)n!}{n!} = 42

(n+2)(n+1) = 42

Büyük faktöriyel küçüğüne benzetilerek

n!

sadeleştirilir.

5

Ardışık iki sayının çarpımı 42 olan sayıları bul.

7 \cdot 6 = 42

olduğu için

n+2=7

ve

n+1=6

olmalıdır. Buradan

n=5

bulunur.

İkinci dereceden denklem çözmek yerine ardışık sayıların çarpımı mantığı kullanılır.

Key Concept

Faktöriyelli ifadelerde toplama ve çıkarma işlemi yapılırken en küçük faktöriyel parantezine alınır.

Hints

1

Pay kısmını

(n+2)!

parantezine, payda kısmını

n!

parantezine alarak işe başlayın.

2

Paranteze aldığınızda

(n+2)

çarpanının hem pay hem de paydada oluştuğunu göreceksiniz; bunları sadeleştirin.

3

Geriye kalan

\frac{(n+2)!}{n!} = 42

ifadesini

(n+2)(n+1) = 42

şeklinde yazıp, çarpımı 42 olan ardışık sayıları düşünün.

Practice More

Benzer bir mantıkla

\frac{(n+1)! + n!}{(n+1)! - n!} = \frac{5}{3}

ise

n

kaçtır sorusunu çözmeyi deneyin.

Alternative Method

Deneme yanılma yöntemi: Şıklardaki değerleri yerine koyarak kontrol edilebilir. Örneğin

n=5

için

\frac{8!-7!}{5!+6!} = \frac{7!(8-1)}{5!(1+6)} = \frac{7! \cdot 7}{5! \cdot 7} = \frac{7!}{5!} = 42

.

Estimated Time:2m 30s

Question 238Question →

(2x + 1)^n

ifadesinin binom açılımındaki katsayılar toplamı

81

olduğuna göre, bu açılımdaki

x^2

li terimin katsayısı kaçtır?

24

12

6

32

8

Show answer & explanation

Answer: 24

Answer

Binom açılımındaki

x^2

li terimin katsayısı

24

olmalıdır.

Katsayılar toplamı kuralına göre

x=1

yazıldığında

3^n=81

eşitliğinden

n=4

bulunur.

(2x+1)^4

açılımında

x^2

li terim için genel terim formülünde

r=2

seçilmelidir. Bu durumda

\binom{4}{2} \cdot (2x)^2 \cdot 1^2 = 6 \cdot 4 = 24

katsayısına ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Katsayılar toplamını bulmak için değişkene 1 değeri verilir.

x = 1

için

(2 \cdot 1 + 1)^n = 3^n = 81

Bir polinom veya binom açılımında katsayılar toplamı, değişkenlerin yerine 1 yazılarak hesaplanır.

2

3^n = 81

denklemi çözülerek

n

değeri bulunur.

3^n = 3^4 \Rightarrow n = 4

81

sayısı

3

'ün

4

. kuvvetidir.

3

Binom genel terim formülü uygulanarak

x^2

li terim belirlenir.

\binom{4}{r} \cdot (2x)^{4-r} \cdot (1)^r

ifadesinde

4-r = 2 \Rightarrow r = 2

bulunur.

x^2

li terimi elde etmek için

x

değişkeninin kuvvetinin

2

olması gerekir.

4

r = 2

değeri için terimin katsayısı hesaplanır.

\binom{4}{2} \cdot (2x)^2 \cdot 1^2 = 6 \cdot 4x^2 \cdot 1 = 24x^2

Kombinasyon değeri ile terimdeki katsayıların kuvvetleri çarpılarak sonuç bulunur.

Key Concept

Binom Açılımında Katsayılar Toplamı ve Genel Terim

Hints

1

Katsayılar toplamını bulmak için

x

yerine

1

yazarak

n

sayısını belirleyin.

2

3^n = 81

ise

n = 4

olduğunu göreceksiniz. Şimdi

(2x+1)^4

açılımını düşünün.

3

Genel terim formülü olan

\binom{n}{r} a^{n-r} b^r

ifadesinde

x

'in kuvvetinin

2

olması için

r

kaç olmalıdır?

Practice More

Binom açılımında sabit terimi bulmak için değişken yerine 0 yazılması gerektiğini hatırlayarak benzer bir soruyu çözebilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 239Question →

\left( x - \frac{2}{x^2} \right)^n

ifadesinin açılımında baştan dördüncü terim sabit terim olduğuna göre, bu açılımda

x^3

'lü terimin katsayısı kaçtır?

-288

-144

36

144

288

Show answer & explanation

Answer: 144

Answer

İstenen katsayı 144'tür.

Soruda verilen ifadenin genel terimi

\binom{n}{r} (x)^{n-r} (-2x^{-2})^r

şeklindedir.

Adım 1: n değerini bulma
Baştan 4. terim için

r=3

alınır. Sabit terim olması için

x

'in kuvveti

0

olmalıdır.

x^{1(n-3)} \cdot x^{-2(3)} = x^{n-3-6} = x^{n-9}

n-9=0 \Rightarrow n=9

bulunur.

Adım 2: İstenen terimi bulma
Bizden

x^3

'lü terimin katsayısı istenmektedir. Kuvveti

3

yapmak için:

n-3r = 3 \Rightarrow 9-3r = 3 \Rightarrow 3r = 6 \Rightarrow r=2

olmalıdır.

Adım 3: Katsayıyı hesaplama

r=2

ve

n=9

değerlerini genel terimde yerine yazalım:

\binom{9}{2} (x)^{9-2} (-2x^{-2})^2

= \frac{9 \cdot 8}{2} \cdot x^7 \cdot 4x^{-4}

= 36 \cdot x^7 \cdot 4 \cdot x^{-4}

= (36 \cdot 4) \cdot x^{7-4}

= 144x^3

Katsayı

144

'tür.

Step-by-Step Solution

1

Baştan 4. terim bilgisini kullanarak n değerini bul.

r=3 için üs sıfır olmalı: 1(n-3) - 2(3) = 0 ise n = 9.

Baştan (r+1). terim formülünde r=3 alınır. Sabit terimde x'in kuvveti 0 olmalıdır.

2

Bulunan n=9 değeri için x³'lü terimi verecek r değerini hesapla.

1(9-r) - 2r = 3 ise 9 - 3r = 3 buradan r = 2 bulunur.

Genel terim formülünde x'in kuvvetini 3'e eşitleyerek ilgili r değeri bulunur.

3

Katsayıyı hesapla.

C(9,2) . (1)^7 . (-2)^2 = 36 . 1 . 4 = 144.

Kombinasyon değeri ile terimlerin katsayılarının kuvvetleri çarpılır.

Key Concept

Binom açılımında genel terim

\binom{n}{r} a^{n-r} b^r

formülüyle bulunur.

Hints

1

Binom açılımında baştan

(r+1)

. terim formülü:

\binom{n}{r} a^{n-r} b^r

. Baştan 4. terim için r değerini 3 almalısın.

2

Önce sabit terim bilgisini kullanarak n sayısını bulmalısın. Sabit terimde x'in kuvveti 0 olur.

3

n=9 bulduktan sonra, x'in kuvvetinin 3 olmasını sağlayan r değerini bul ve katsayıyı hesapla.

(-2)

'nin kuvvetini almayı unutma.

Estimated Time:2m 30s

Question 240Question →

Bir İl Milli Eğitim Müdürlüğü bünyesinde kurulacak bir denetim komisyonu için $6$ şube müdürü ve $5$ müfettiş arasından $4$ kişilik bir ekip seçilecektir. Oluşturulacak bu ekipte en az $3$ şube müdürünün bulunması zorunlu olduğuna göre, bu komisyon kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

100

115

125

175

25

Show answer & explanation

Answer: 115

Answer

Komisyon en az 3 şube müdürü içerecek şekilde 115 farklı şekilde oluşturulabilir.

Komisyonun en az 3 şube müdüründen oluşması, ekibin ya (3 Şube Müdürü + 1 Müfettiş) ya da (4 Şube Müdürü + 0 Müfettiş) şeklinde kurulmasını gerektirir. İlk durum

C(6,3) \times C(5,1) = 100

farklı şekilde, ikinci durum ise

C(6,4) \times C(5,0) = 15

farklı şekilde gerçekleşir. Bu iki bağımsız durumun toplamı olan 115, toplam farklı komisyon sayısını verir.

Step-by-Step Solution

1

Şartlara uygun durumları belirleme

Durum 1: 3 Şube Müdürü ve 1 Müfettiş seçilmesi; Durum 2: 4 Şube Müdürü ve 0 Müfettiş seçilmesi.

'En az 3 şube müdürü' ifadesi, seçilecek 4 kişiden 3'ünün veya tamamının şube müdürü olması gerektiğini belirtir.

2

1. Durum için kombinasyon hesabı yapma

C(6, 3) \times C(5, 1) = 20 \times 5 = 100

6 şube müdürü arasından 3 kişi ve 5 müfettiş arasından 1 kişi seçilmelidir.

3

2. Durum için kombinasyon hesabı yapma

C(6, 4) \times C(5, 0) = 15 \times 1 = 15

6 şube müdürü arasından 4 kişi ve 5 müfettiş arasından hiç kimse seçilmemelidir.

4

Durumların toplamını bulma

100 + 15 = 115

Ayrı durumlar toplama kuralı gereği toplanarak toplam olasılık sayısı bulunur.

Key Concept

Kombinasyon (Seçme) ve Gruplandırma Kuralları

Hints

1

'En az 3' ifadesi, seçilecek 4 kişinin 3 veya 4 tanesinin şube müdürü olabileceğini gösterir.

2

Her iki durumu (3 müdür + 1 müfettiş ve 4 müdür + 0 müfettiş) ayrı ayrı hesaplayıp toplamanız gerekir.

3

C(6,3) = 20

ve

C(6,4) = 15

değerlerini kullanarak gruplar arası çarpma, gruplar içi toplama yapmalısınız.

Practice More

Benzer bir soruda 'en çok' ifadesi kullanıldığında izlenecek yolu pratik yapabilirsiniz.

Alternative Method

Tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkararak da çözülebilir. Ancak bu soruda istenen durum sayısı az olduğu için doğrudan hesaplama daha hızlıdır.

Estimated Time:1m 30s

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More