Examkin

Question

Difficulty: MediumTahmin Edicilerin Özellikleri: Tutarlılık (Consistency)

Bir veri analitik modelleme sürecinde, bir dağılıma ait bilinmeyen bir λ\lambda parametresini tahmin etmek amacıyla nn birimlik bir rastgele örneklem üzerinden TnT_n tahmin edicisi tanımlanmıştır. Yapılan matematiksel incelemeler sonucunda TnT_n tahmin edicisinin beklenen değerinin E(Tn)=λ(1−2n)E(T_n) = \lambda \left(1 - \frac{2}{n}\right) ve varyansının Var(Tn)=4λ2nVar(T_n) = \frac{4\lambda^2}{n} olduğu bulunmuştur.

Buna göre, TnT_n tahmin edicisinin özellikleri hakkında aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. Sonlu örneklemlerde yanlı bir tahmin edicidir, ancak hata kareler ortalaması sıfıra yakınsadığı için tutarlıdır.Answer
  2. B
    Beklenen değeri λ\lambda parametresine eşit olmadığı için örneklem çapı sonsuza gitse bile tutarlı olamaz.
  3. C
    Asimptotik olarak yansızdır fakat varyans terimi hata kareler ortalamasını sonsuza götürdüğü için tutarsızdır.
  4. D
    Tahmin edicinin varyansı nn ile ters orantılı azaldığından, tahmin edici her nn değeri için yansız ve tutarlıdır.
  5. E
    Yan miktarı sıfırdan farklı olduğu için hata kareler ortalaması hesaplanamaz, bu nedenle tutarlılığı belirsizdir.

Answer

Verilen tahmin edici sonlu örneklemler için yanlıdır, ancak örneklem çapı büyüdükçe hata kareler ortalaması (MSE) sıfıra gittiği için tutarlı bir tahmin edicidir.
Bir tahmin edicinin hata kareler ortalaması (MSE), varyansı ile yan miktarının karesinin toplamıdır. Soruda verilen tahmin edici için yan miktarı −2λn-\frac{2\lambda}{n}'dir. Dolayısıyla tahmin edici yanlıdır. Ancak n→∞n \to \infty iken hem varyans (4λ2n)\left(\frac{4\lambda^2}{n}\right) hem de yanın karesi (4λ2n2)\left(\frac{4\lambda^2}{n^2}\right) sıfıra yakınsar. Limit durumunda MSE sıfır olduğundan, bu durum tutarlılık için yeterli bir koşuldur ve tahmin edici tutarlıdır.

Step-by-Step Solution

1
Tahmin edicinin yan (bias) miktarını hesapla.
Yan(Tn)=E(Tn)−λ=λ(1−2n)−λ=−2λnYan(T_n) = E(T_n) - \lambda = \lambda \left(1 - \frac{2}{n}\right) - \lambda = -\frac{2\lambda}{n}. Yan sıfırdan farklı olduğu için TnT_n yanlı bir tahmin edicidir.
Bir tahmin edicinin yansız olup olmadığını belirlemek için beklenen değeri ile gerçek parametre değeri arasındaki farka bakılır.
2
Tahmin edicinin asimptotik yansızlığını kontrol et.
lim⁡n→∞Yan(Tn)=lim⁡n→∞(−2λn)=0\lim_{n \to \infty} Yan(T_n) = \lim_{n \to \infty} \left(-\frac{2\lambda}{n}\right) = 0. Tahmin edici asimptotik olarak yansızdır.
Örneklem çapı sonsuza giderken yan miktarının sıfıra gidip gitmediği incelenmelidir.
3
Hata Kareler Ortalamasının (MSE) limitini hesapla.
MSE(Tn)=Var(Tn)+[Yan(Tn)]2=4λ2n+(−2λn)2=4λ2n+4λ2n2MSE(T_n) = Var(T_n) + [Yan(T_n)]^2 = \frac{4\lambda^2}{n} + \left(-\frac{2\lambda}{n}\right)^2 = \frac{4\lambda^2}{n} + \frac{4\lambda^2}{n^2}. lim⁡n→∞MSE(Tn)=0+0=0\lim_{n \to \infty} MSE(T_n) = 0 + 0 = 0.
Tutarlılık için yeterli koşul, tahmin edicinin hata kareler ortalamasının n→∞n \to \infty iken sıfıra yakınsamasıdır.
4
Tutarlılık sonucuna var.
lim⁡n→∞MSE(Tn)=0\lim_{n \to \infty} MSE(T_n) = 0 olduğu için TnT_n tahmin edicisi λ\lambda için tutarlı bir tahmin edicidir.
Markov veya Chebyshev eşitsizliği gereği, MSE sıfıra yakınsıyorsa tahmin edici parametreye olasılıkta yakınsar (tutarlıdır).

Key Concept

Hata Kareler Ortalaması (MSE) ile Tutarlılık İlişkisi
Rate this question

Topics

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Tutarlılık (Consistency)

More questions from this topic