Ortalaması \mu ve varyansı \sigma^2 (0 < \sigma^2 < \infty) olan bir kitleye ait X_1, X_2,… — KPSS İstatistik

Ortalaması $\mu$ ve varyansı $\sigma^2$ ( $0 < \sigma^2 < \infty$ ) olan bir kitleye ait $X_1, X_2, \dots, X_n$ rastgele örneklemi çekilmiştir. Kitle ortalaması $\mu$ 'yü tahmin etmek amacıyla aşağıdaki üç nokta tahmin edicisi tanımlanmıştır:

$T_1 = \bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$
$T_2 = X_1$
$T_3 = \frac{1}{n+2} \sum_{i=1}^{n} X_i$

Bu tahmin edicilerin yansızlık (unbiasedness) ve tutarlılık (consistency) özellikleri ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

A
$T_2$ yansız bir tahmin edici olduğu için aynı zamanda tutarlıdır, $T_3$ ise yanlı olduğu için tutarsızdır.
B
$T_3$ 'ün varyansı örneklem çapı ( $n$ ) arttıkça küçülmediği için $T_3$ tutarsız bir tahmin edicidir.
$T_2$ yansız olmasına rağmen varyansı $n \to \infty$ için sıfıra gitmediğinden tutarsızdır; $T_3$ ise yanlı olmasına karşın tutarlı bir tahmin edicidir.Answer
D
$T_1$ ve $T_2$ 'nin her ikisi de yansız tahmin ediciler oldukları için asimptotik olarak Hata Kareler Ortalamaları (MSE) sıfıra yakınsar.
E
$T_3$ 'ün Hata Kareler Ortalaması (MSE) hesaplandığında, yan miktarının karesi $n \to \infty$ iken sıfıra yakınsamadığı için $T_3$ tutarsızdır.

Answer

T_2

yansız olmasına rağmen varyansı

n \to \infty

için sıfıra gitmediğinden tutarsızdır;

T_3

ise yanlı olmasına karşın tutarlı bir tahmin edicidir.

Tutarlılık için yeter koşul, tahmin edicinin Hata Kareler Ortalamasının (MSE)

n

sonsuza giderken sıfıra yakınsamasıdır.

T_2

tahmin edicisi yansızdır (

Bias=0

) fakat varyansı

\sigma^2

olup

n

'den bağımsızdır. Bu nedenle MSE'si sıfıra gitmez ve tutarsızdır. Öte yandan

T_3

tahmin edicisi yanlıdır (yan miktarı

\frac{-2\mu}{n+2}

), ancak hem varyansı hem de yan miktarının karesi

n \to \infty

iken sıfıra yakınsadığı için MSE sıfıra gider. Bu durum onu asimptotik yansız ve tutarlı yapar. Böylece yansızlığın tutarlılık için gerekli veya yeterli bir koşul olmadığını açıkça görürüz.

Step-by-Step Solution

Tahmin edicilerin beklenen değerlerini bularak yansızlık durumlarını incelemek.

E(T_1) = \mu

(yansız),

E(T_2) = E(X_1) = \mu

(yansız),

E(T_3) = \frac{n}{n+2}\mu

(yanlı).

Tutarlılık analizinde kullanılacak Hata Kareler Ortalaması (MSE) hesabı için yan miktarlarını (Bias) belirlemek.

Tahmin edicilerin varyanslarını hesaplamak.

Var(T_1) = \frac{\sigma^2}{n}

Var(T_2) = \sigma^2

Var(T_3) = \frac{n\sigma^2}{(n+2)^2}

MSE formülündeki (

MSE = Varyans + Yan^2

) varyans bileşenini elde etmek.

n \to \infty

iken MSE limitlerini alarak tutarlılıklarını değerlendirmek.

\lim_{n \to \infty} MSE(T_1) = 0

(tutarlı),

\lim_{n \to \infty} MSE(T_2) = \sigma^2 \neq 0

(tutarsız),

\lim_{n \to \infty} MSE(T_3) = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n\sigma^2 + 4\mu^2}{(n+2)^2} \right) = 0

(tutarlı).

Tutarlılık için yeter koşul olan MSE'nin asimptotik olarak sıfıra gitme prensibini uygulamak.

Key Concept

Yansızlık ve Tutarlılık Arasındaki İlişki

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic