Tahmin Edicilerin Özellikleri: Tutarlılık (Consistency)

Matematiksel istatistik dersinde bir öğretim üyesi, tutarlılık (olasılıkta yakınsama) kavramının doğasını tartışırken öğrencilerine teorik bir tahmin edici sunmuştur.

Kitle ortalaması $\theta$ ve kitle varyansı $\sigma^2 < \infty$ olan bir dağılımdan alınan $n$ hacimli rastgele bir örneklemin ortalaması $\bar{X}_n$ olsun. Bilinmeyen $\theta$ parametresini tahmin etmek için aşağıdaki $T_n$ tahmin edicisi tanımlanmıştır:

Buna göre, $n \to \infty$ durumunda $T_n$ tahmin edicisinin özellikleri için aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Bir araştırma enstitüsünde görevli istatistikçi, bir bölgedeki hanelerin aylık ortalama su tüketim miktarını ($\mu$) tahmin etmek amacıyla $n$ hacimli bir rastgele örneklem çekmiştir. Uzman, kitle varyansının $\sigma^2 < \infty$ olduğunu bilmekte ve $\mu$ parametresini tahmin etmek için $\hat{\mu}_n = \bar{X} + \frac{c}{n}$ tahmin edicisini önermektedir (burada $c \neq 0$ bilinen bir sabittir ve $\bar{X}$ örneklem ortalamasıdır).

Buna göre, $\hat{\mu}_n$ tahmin edicisinin yansızlık ve tutarlılık özellikleri dikkate alındığında aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Buna göre, $T_n$ tahmin edicisi ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Ortalaması $\mu$ ve varyansı $\sigma^2$ ($0 < \sigma^2 < \infty$) olan bir kitleye ait $X_1, X_2, \dots, X_n$ rastgele örneklemi çekilmiştir. Kitle ortalaması $\mu$'yü tahmin etmek amacıyla aşağıdaki üç nokta tahmin edicisi tanımlanmıştır:

$T_1 = \bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$
$T_2 = X_1$
$T_3 = \frac{1}{n+2} \sum_{i=1}^{n} X_i$

Bu tahmin edicilerin yansızlık (unbiasedness) ve tutarlılık (consistency) özellikleri ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Bir araştırmacı, kitle varyansı bilinen ($\sigma^2=1$) ancak kitle ortalaması ($\mu$) bilinmeyen normal dağılıma sahip bir kitleden $n$ hacimli rastgele bir örneklem ($X_1, X_2, \dots, X_n$) almıştır.

Araştırmacı, $\theta = e^\mu$ parametresini tahmin etmek amacıyla aşağıdaki iki tahmin ediciyi önermektedir:

Burada $\bar{X}$ örneklem ortalamasıdır.

Buna göre, bu iki tahmin edicinin yansızlık (unbiasedness) ve tutarlılık (consistency) özellikleri ile ilgili aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Bir araştırmacı, bir çağrı merkezine belirli bir zaman aralığında gelen çağrı sayısını modellemek için Poisson dağılımını kullanmaktadır. Süreçteki hiç çağrı gelmeme olasılığı olan $\theta = e^{-\lambda}$ parametresini tahmin etmek amacıyla, $n$ çaplı rastgele örneklemin ortalaması olan $\bar{X}$ kullanılarak $T_n = e^{-\bar{X}}$ tahmin edicisi önerilmiştir.

Buna göre, $T_n$ tahmin edicisinin yansızlık ve tutarlılık özellikleri ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Bir araştırmacı, kitle ortalaması $\theta$ ve kitle varyansı $\sigma^2 < \infty$ olan bir dağılımdan alınan $n$ çaplı rastgele bir örneklem $(X_1, X_2, \dots, X_n)$ üzerinden $\theta$ parametresini tahmin etmek istemektedir.

Bu tahmin edici $T_n$ ile ilgili olarak aşağıda verilen ifadelerden hangisi doğrudur?

$X_1, X_2, \dots, X_n$, beklenen değeri $\mu$ ve varyansı $\sigma^2$ ($\sigma^2 < \infty$) olan bir dağılımdan rastgele çekilmiş $n$ hacimli bir örneklemi göstersin. $\mu$ parametresini tahmin etmek amacıyla,

tahmin edicisi tanımlanmıştır.

Buna göre $T_n$ tahmin edicisi için aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

İstatistiksel sonuç çıkarımında parametre tahminleri elde edilirken, gözlemlerin özellikleri tahmin edicinin asimptotik davranışını doğrudan etkiler. Bağımsız $Y_1, Y_2, \dots, Y_n$ rastgele değişkenlerinin beklenen değerleri her bir gözlem için $E(Y_i) = \theta$ ve varyansları indeksine bağlı olarak $Var(Y_i) = i \cdot \sigma^2$ (burada $\sigma^2 > 0$) şeklinde verilmiştir.

Bilinmeyen $\theta$ parametresini tahmin etmek için örneklem ortalaması olan $T_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n Y_i$ istatistiği önerilmiştir.

Buna göre, $T_n$ tahmin edicisinin yansızlık ve tutarlılık özellikleri hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Bir endüstriyel kalite kontrol sürecinde, üretilen parçaların dayanıklılık ömürlerinin beklenen değeri ($\mu$) tahmin edilmek istenmektedir. Sürecin varyansının $\sigma^2$ ($\sigma^2 > 0$) olduğu bilinmektedir. Kalite kontrol mühendisi, rastgele seçilen $n$ adet parçanın dayanıklılık sürelerinden ($X_1, X_2, \dots, X_n$) yararlanarak $\mu$ parametresi için aşağıdaki üç tahmin ediciyi önermiştir:

Burada $\bar{X}$, örneklem ortalamasını ifade etmektedir.

Bu tahmin edicilerin yansızlık ve tutarlılık özellikleri incelendiğinde, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Bir tarım araştırma enstitüsü, yeni geliştirilen bir buğday türünün hektar başına ortalama verimini ($\mu$) tahmin etmek amacıyla, bu türün ekildiği birbirinden bağımsız $n$ farklı tarladan elde edilen verim miktarlarını ($X_1, X_2, \dots, X_n$) gözlemlemektedir. Verim miktarının kitle varyansı $\sigma^2$ ($0 < \sigma^2 < \infty$) olarak bilinmektedir.