Bir araştırma enstitüsünde görevli istatistikçi, bir bölgedeki hanelerin aylık ortalama su… — KPSS İstatistik

Bir araştırma enstitüsünde görevli istatistikçi, bir bölgedeki hanelerin aylık ortalama su tüketim miktarını ( $\mu$ ) tahmin etmek amacıyla $n$ hacimli bir rastgele örneklem çekmiştir. Uzman, kitle varyansının $\sigma^2 < \infty$ olduğunu bilmekte ve $\mu$ parametresini tahmin etmek için $\hat{\mu}_n = \bar{X} + \frac{c}{n}$ tahmin edicisini önermektedir (burada $c \neq 0$ bilinen bir sabittir ve $\bar{X}$ örneklem ortalamasıdır).

Buna göre, $\hat{\mu}_n$ tahmin edicisinin yansızlık ve tutarlılık özellikleri dikkate alındığında aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

A
$\hat{\mu}_n$ tahmin edicisi $\mu$ için yanlı bir tahmin edici olduğundan, olasılıkta yakınsama şartını sağlayamaz ve dolayısıyla hiçbir durumda tutarlı olamaz.
B
$\hat{\mu}_n$ tahmin edicisinin varyansı $\frac{\sigma^2}{n}$ olup $n \to \infty$ için sıfıra yakınsadığından, bu tahmin edici her $n$ değeri için hem yansız hem de tutarlıdır.
$\hat{\mu}_n$ tahmin edicisi sonlu örneklem hacimlerinde yanlı olmasına karşın, $n \to \infty$ iken ortalama hata karesi sıfıra yakınsadığı için $\mu$ için tutarlı bir tahmin edicidir.Answer
D
Tutarlılık için yansızlık kesin bir ön koşul olduğundan, $\hat{\mu}_n$ tahmin edicisinin asimptotik yansız olması onun tutarlı bir tahmin edici kabul edilmesi için yeterli değildir.
E
$\hat{\mu}_n$ tahmin edicisinin ortalama hata karesi (MSE), eklenen sabit terim nedeniyle varyansından büyük olduğu için örneklem çapı büyüdükçe tutarsız bir yapı sergiler.

Answer

\hat{\mu}_n

tahmin edicisi, sonlu örneklem çaplarında yanlı olmasına rağmen, asimptotik olarak ortalama hata karesi (MSE) sıfıra gittiği için

\mu

parametresi adına tutarlı bir tahmin edicidir.

Doğru ifade, tahmin edicinin yanlı olmasına rağmen tutarlı olduğunu belirten ifadedir.

E(\hat{\mu}_n) = \mu + \frac{c}{n}

olduğu için sonlu

n

değerlerinde tahmin edici yanlıdır. Varyansı

Var(\hat{\mu}_n) = \frac{\sigma^2}{n}

ve yan miktarı

\frac{c}{n}

olarak bulunmuştur. Ortalama Hata Karesi (MSE) hesaplandığında

MSE = \frac{\sigma^2}{n} + \frac{c^2}{n^2}

elde edilir.

n \to \infty

iken hem varyans hem de yan sıfıra yakınsadığı için MSE sıfıra gider. MSE'si asimptotik olarak sıfıra giden tahmin ediciler tutarlı olduğundan, bu tahmin edici sonlu örneklemde yanlı da olsa asimptotik olarak tutarlıdır.

Step-by-Step Solution

Tahmin edicinin beklenen değerini hesaplayarak yansızlık durumunu analiz et.

E(\hat{\mu}_n) = E(\bar{X}) + E(\frac{c}{n}) = \mu + \frac{c}{n}

bulunur ve tahmin edicinin yanlı olduğu görülür.

Yansızlık ve yan miktarını tespit etmek, MSE hesabı için gereklidir.

Tahmin edicinin varyansını hesapla.

Var(\hat{\mu}_n) = Var(\bar{X} + \frac{c}{n}) = Var(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n}

elde edilir.

Sabit terimin varyansı sıfır olduğundan, varyans doğrudan örneklem ortalamasının varyansına eşittir.

Tahmin edicinin Ortalama Hata Karesini (MSE) oluştur.

MSE(\hat{\mu}_n) = Var(\hat{\mu}_n) + [Yan]^2 = \frac{\sigma^2}{n} + \frac{c^2}{n^2}

olarak bulunur.

Bir tahmin edicinin tutarlılığını göstermek için kullanılabilecek yeter koşul, asimptotik MSE davranışıdır.

MSE için

n \to \infty

limitini alarak tutarlılık kararını ver.

\lim_{n \to \infty} \left( \frac{\sigma^2}{n} + \frac{c^2}{n^2} \right) = 0

olduğundan tahmin edici tutarlıdır.

MSE değeri asimptotik olarak sıfıra yakınsıyorsa, Chebyshev eşitsizliğine göre tahmin edici olasılıkta yakınsar ve tutarlıdır.

Key Concept

Tutarlılık, Yansızlık ve Ortalama Hata Karesi (MSE) İlişkisi

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic