X_1, X_2, \dots, X_n, ortalaması \mu ve varyansı \sigma^2 < \infty olan bir kitleye ait ra… — KPSS İstatistik

X_1, X_2, \dots, X_n

, ortalaması

\mu

ve varyansı

\sigma^2 < \infty

olan bir kitleye ait rastgele bir örneklem olsun. Kitle ortalaması olan

\mu

parametresini tahmin etmek için,

T_n = \frac{1}{n+1} \sum_{i=1}^n X_i

tahmin edicisi öneriliyor.

Buna göre, $T_n$ tahmin edicisi ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Tahmin edici,

\mu

parametresi için yanlı fakat tutarlı bir tahmin edicidir.

Tahmin edicinin beklenen değeri

E(T_n) = \frac{n}{n+1}\mu

olup

\mu

'den farklıdır, bu nedenle tahmin edici yanlıdır. Ancak

n \to \infty

iken

\lim E(T_n) = \mu

olduğu için asimptotik olarak yansızdır. Diğer taraftan varyansı

Var(T_n) = \frac{n}{(n+1)^2}\sigma^2

olup sonsuzda limiti sıfırdır. Varyans ve yan miktarının her ikisi de

n \to \infty

iken sıfıra gittiğinden, Hata Kareler Ortalaması (MSE) sıfıra yakınsar. MSE'si sıfıra giden bir tahmin edici tutarlı olduğundan,

T_n

yanlı fakat tutarlı bir tahmin edicidir.

Tahmin edicinin beklenen değerini hesaplamak

E(T_n) = E\left(\frac{1}{n+1} \sum_{i=1}^n X_i\right) = \frac{1}{n+1} \sum_{i=1}^n E(X_i) = \frac{n}{n+1}\mu

Bir tahmin edicinin yansız olup olmadığını belirlemek için beklenen değerinin kitle parametresine (

\mu

) eşit olup olmadığına bakılır.

Yansızlık durumunu değerlendirmek

E(T_n) = \frac{n}{n+1}\mu \neq \mu

olduğundan tahmin edici yanlıdır. Yan miktarı

B(T_n) = \frac{n}{n+1}\mu - \mu = -\frac{\mu}{n+1}

olarak bulunur.

Beklenen değer parametreye eşit çıkmadığı için yanlılık tespiti yapılmış olur.

Varyans ve MSE limitlerini inceleyerek tutarlılığı test etmek

Var(T_n) = Var\left(\frac{1}{n+1} \sum X_i\right) = \frac{1}{(n+1)^2} \sum Var(X_i) = \frac{n}{(n+1)^2}\sigma^2

\lim_{n \to \infty} Var(T_n) = 0

\lim_{n \to \infty} B(T_n) = 0

olduğundan, Hata Kareler Ortalamasının (MSE) limiti sıfırdır:

\lim_{n \to \infty} MSE(T_n) = 0

Bir tahmin edicinin tutarlı olması için,

n \to \infty

iken varyansının ve yan miktarının sıfıra yakınsaması yeterlidir.

Sonuçları birleştirmek

Tahmin edici yanlıdır, ancak tutarlıdır.

Yansızlık şartını sağlamamasına rağmen asimptotik özelliklerinden ötürü tutarlılık şartını sağlamaktadır.

Hata Kareler Ortalaması (MSE) üzerinden tutarlılık analizi ve asimptotik yansızlık

Question