Examkin

Question

Difficulty: Very hardTahmin Edicilerin Özellikleri: Tutarlılık (Consistency)

Matematiksel istatistik dersinde bir öğretim üyesi, tutarlılık (olasılıkta yakınsama) kavramının doğasını tartışırken öğrencilerine teorik bir tahmin edici sunmuştur.

Kitle ortalaması θ\theta ve kitle varyansı σ2<∞\sigma^2 < \infty olan bir dağılımdan alınan nn hacimli rastgele bir örneklemin ortalaması Xˉn\bar{X}_n olsun. Bilinmeyen θ\theta parametresini tahmin etmek için aşağıdaki TnT_n tahmin edicisi tanımlanmıştır:

Tn={Xˉn,1−1n olasılıklan2,1n olasılıkla T_n = \begin{cases} \bar{X}_n, & 1 - \frac{1}{n} \text{ olasılıkla} \\ n^2, & \frac{1}{n} \text{ olasılıkla} \end{cases}

Buna göre, n→∞n \to \infty durumunda TnT_n tahmin edicisinin özellikleri için aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. TnT_n, θ\theta için tutarlı bir tahmin edicidir; ancak asimptotik olarak yansız değildir ve ortalama hata karesi (MSE) sonsuza ıraksar.Answer
  2. B
    TnT_n'nin ortalama hata karesi (MSE) sonsuza ıraksadığı için, tutarlılık için zorunlu olan lim⁡n→∞MSE(Tn)=0\lim_{n \to \infty} MSE(T_n) = 0 şartı sağlanmaz ve TnT_n tutarsızdır.
  3. C
    Büyük örneklemlerde TnT_n'nin gerçekleşme olasılığı Xˉn\bar{X}_n'ye yakınsadığından, TnT_n hem asimptotik olarak yansızdır hem de θ\theta için tutarlı bir tahmin edicidir.
  4. D
    Tutarlı tahmin edicilerin asimptotik olarak yansız olması matematiksel bir zorunluluk olduğundan ve TnT_n'nin yanlılık miktarı sonsuza gittiğinden, TnT_n tutarlı bir tahmin edici olamaz.
  5. E
    Tahmin edicinin varyansı nn büyüdükçe sonsuza ıraksadığı için, Çebişev eşitsizliği gereği olasılıkta yakınsama gerçekleşmez ve TnT_n tutarsız bir tahmin edicidir.

Answer

TnT_n tahmin edicisi, limit durumunda ortalama hata karesi sonsuza ıraksayan ve asimptotik yansız olmayan, ancak yine de tutarlılık özelliğini koruyan bir tahmin edicidir.
Verilen karışım dağılımlı tahmin edicide, TnT_n'nin Xˉn\bar{X}_n'ye eşit olma olasılığı (1−1/n)(1 - 1/n)'dir ve n→∞n \to \infty iken bu olasılık 1'e yaklaşır. Xˉn\bar{X}_n halihazırda tutarlı olduğundan, TnT_n de olasılıkta θ\theta'ya yakınsar ve tutarlı olur. Ancak uç değer olan n2n^2, 1/n1/n olasılıkla gelse bile, beklenen değer hesabında n2⋅(1/n)=nn^2 \cdot (1/n) = n terimini ürettiği için E[Tn]E[T_n] ve dolayısıyla MSE sonsuza ıraksar. Bu durum, MSE'nin tutarlılık için zorunlu değil, yalnızca yeterli bir koşul olduğunu gösteren klasik bir matematiksel istatistik örneğidir.

Step-by-Step Solution

1
Tahmin edicinin beklenen değerini (E[T_n]) ve asimptotik yansızlığını incelemek.
E[Tn]=E[Xˉn](1−1n)+n2(1n)=θ(1−1n)+nE[T_n] = E[\bar{X}_n](1 - \frac{1}{n}) + n^2(\frac{1}{n}) = \theta(1 - \frac{1}{n}) + n. Limit alındığında lim⁡n→∞E[Tn]=∞\lim_{n \to \infty} E[T_n] = \infty olur.
Bir tahmin edicinin asimptotik yansız olabilmesi için limit durumunda beklenen değerinin parametreye eşit olması gerekir. Beklenen değer sonsuza ıraksadığı için asimptotik yansız değildir.
2
Ortalama Hata Karesinin (MSE) limit durumunu incelemek.
MSE(Tn)=Var(Tn)+[Bias(Tn)]2MSE(T_n) = Var(T_n) + [Bias(T_n)]^2. Yanlılık (Bias) miktarı (E[Tn]−θ)(E[T_n] - \theta) sonsuza gittiğinden, MSE de sonsuza ıraksar.
MSE'nin asimptotik davranışını görmek için yanlılığın karesine bakmak yeterlidir. MSE sıfıra gitmez.
3
Tutarlılık için olasılıkta yakınsama şartını (P(∣Tn−θ∣>ϵ)→0P(|T_n - \theta| > \epsilon) \to 0) kontrol etmek.
Herhangi bir ϵ>0\epsilon > 0 için, P(∣Tn−θ∣>ϵ)≤P(∣Xˉn−θ∣>ϵ)(1−1n)+P(∣n2−θ∣>ϵ)(1n)P(|T_n - \theta| > \epsilon) \leq P(|\bar{X}_n - \theta| > \epsilon)(1 - \frac{1}{n}) + P(|n^2 - \theta| > \epsilon)(\frac{1}{n}).
Karışım dağılımının olasılık limitini, bileşenlerinin olasılıkları üzerinden koşullu olarak ayrıştırarak hesaplamak gerekir.
4
Olasılık sınırlarının limitini almak.
Xˉn\bar{X}_n tutarlı olduğu için ilk terim 0⋅1=00 \cdot 1 = 0'a yakınsar. İkinci terim ise maksimum 1⋅1n1 \cdot \frac{1}{n} olabilir ve n→∞n \to \infty için 00'a yakınsar. Toplam olasılık limiti 00'dır.
Hata olasılığının limiti sıfır olduğu için, TnT_n tahmin edicisi olasılıkta θ\theta'ya yakınsar; yani tanım gereği tutarlıdır.

Key Concept

Olasılıkta Yakınsama (Tutarlılık) ve MSE İlişkisi
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Tutarlılık (Consistency)

More questions from this topic