Bir bölgesel kalkınma ajansı uzmanı, 6 farklı yatırım teşvik bölgesinin (1. Bölge'den 6. B… — KPSS İstatistik

Bir bölgesel kalkınma ajansı uzmanı, 6 farklı yatırım teşvik bölgesinin (1. Bölge'den 6. Bölge'ye kadar) işletmelerin sağladığı istihdam artışı üzerindeki etkisini incelemek üzere bir çoklu doğrusal regresyon modeli kurmaktadır. Uzman, modeline bir sabit terim ( $\beta_0$ ) eklemiş ve her bir teşvik bölgesi için ayrı ayrı $D_1, D_2, D_3, D_4, D_5$ ve $D_6$ olmak üzere toplam 6 adet kukla (gölge) değişken tanımlayarak tümünü bağımsız değişken olarak eşanlı şekilde modele dâhil etmiştir.

Buna göre; bu modelin En Küçük Kareler (EKK) yöntemiyle tahmin edilmesi aşamasında ortaya çıkacak ekonometrik problem, bu problemin literatürdeki karşılığı ve EKK tahmin süreci üzerindeki kesin matematiksel sonucu aşağıdakilerin hangisinde tam ve doğru olarak ifade edilmiştir?

Sabit terim içeren bir modele $m$ kategorili bir değişken için $m$ adet kukla değişkenin tamamının eklenmesi, bağımsız değişkenler arasında "tam çoklu doğrusal bağlantı" (perfect multicollinearity) yaratır. "Kukla değişken tuzağı" olarak bilinen bu durumda bağımsız değişkenler matrisinin $(X'X)$ determinantı sıfır olacağından matrisin tersi alınamaz ve EKK parametreleri matematiksel olarak hesaplanamaz.Answer
B
Sabit terim varken $m$ adet kukla değişken kullanılması şiddetli derecede "kısmi çoklu doğrusal bağlantı" yaratır. "Kukla değişken tuzağı" olarak adlandırılan bu durumda $(X'X)$ matrisinin tersi alınarak parametreler hesaplanabilir; ancak EKK tahmincileri varyansları şişmiş, sapmalı (biased) ve tutarsız sonuçlar üretir.
C
Bütün kategorilerin kukla değişken olarak modele eklenmesi "referans kategori belirsizliği" adı verilen spesifikasyon hatasına yol açar. Bu durumda EKK yöntemiyle parametreler sorunsuz hesaplanabilir ancak elde edilen katsayılar ortalama farkları değil, her bir teşvik bölgesinin istihdam üzerindeki mutlak marjinal etkisini gösterir.
D
Sabit terim varken kategori sayısı kadar ( $m=6$ ) kukla değişken kullanılması, sabit terimde meydana gelen kaymalar yerine "eğim kukla değişkenleri" etkileşimi yaratır. "Kukla değişken tuzağı" olarak da bilinen bu durumda parametreler hesaplanabilir ancak t-istatistikleri tüm değişkenler için anlamsız çıkar.
E
Modelde $m-1$ kuralına uyulmaması ve fazla değişken eklenmesi "aşırı belirleme" (gerekli olmayan değişkenin modele alınması) hatasına yol açar. Bu durum tahmincilerin sapmasızlığını bozmasa da $(X'X)$ matrisinin izini (trace) büyüterek EKK tahmincilerinin etkinliğini tamamen ortadan kaldırır.

Answer

Modelde tam çoklu doğrusal bağlantı oluşturan kukla değişken tuzağının gerçekleştiğini,

(X'X)

matrisinin tersinin alınamayacağını ve parametrelerin hesaplanamayacağını belirten seçenektir.

Sabit terim içeren bir regresyon modelinde,

m

kategorili nitel bir değişken için modele

m

adet kukla değişken eklendiğinde 'kukla değişken tuzağına' düşülür. Gözlemlerin her biri mutlaka bu

m

kategoriden sadece birine ait olacağından, her gözlem için kukla değişkenlerin toplamı her zaman 1'e eşittir (

D_1+D_2+...+D_m=1

). Bu durum, tasarım matrisindeki (X matrisi) sabit terimi temsil eden ve tamamen 1'lerden oluşan ilk sütun ile kukla değişkenlerin sütunları arasında 'tam çoklu doğrusal bağlantı' yaratır. Matrisin sütunları doğrusal bağımlı olduğunda

(X'X)

matrisi tekil (singüler) olur ve determinantı sıfıra eşitlenir. EKK yöntemiyle parametre tahmini yapabilmek için

(X'X)

matrisinin tersinin alınması şarttır (

\hat{\beta} = (X'X)^{-1}X'Y

). Determinantı sıfır olan bir matrisin tersi matematiksel olarak hesaplanamayacağı için model tahmin edilemez.

Step-by-Step Solution

Kategori sayısı (

m

) ile tanımlanan kukla değişken sayısını belirle.

6 teşvik bölgesi (

m=6

) için 6 adet kukla değişken (

D_1

den

D_6

'ya kadar) tanımlanmıştır.

Kukla değişken tuzağı analizi için kategori sayısı ile modele giren kukla sayısı karşılaştırılmalıdır.

Modelde sabit terim (

\beta_0

) olup olmadığını kontrol et.

Modelde sabit terim (

\beta_0

) bulunmaktadır.

Sabit terim içeren modellerde

(m-1)

kuralı uygulanmalıdır. Eğer sabit terim yoksa

m

adet kukla eklenebilir.

Tanımlanan modelin matematiksel sonucunu

(X'X)

matrisi üzerinden değerlendir.

Sabit terim varken 6 kukla da modele girdiğinde,

D_1 + D_2 + D_3 + D_4 + D_5 + D_6 = 1

eşitliği doğar. Bu toplam, modeli temsil eden tasarım matrisindeki sabit terim sütunu (tamamı 1'lerden oluşan sütun) ile tamamen aynıdır.

Bir matrisin sütunları arasında tam (mükemmel) doğrusal bir ilişki varsa, o matrisin determinantı sıfır olur ve matris tekil (singüler) hale gelir.

EKK tahmin formülünü (

\hat{\beta} = (X'X)^{-1}X'Y

) kullanarak sonucu yorumla.

(X'X)

matrisinin determinantı sıfır olduğu için tersi (

(X'X)^{-1}

) alınamaz. Dolayısıyla denklemin çözümü yoktur ve tahminciler elde edilemez. Bu olgu 'Kukla Değişken Tuzağı' (Dummy Variable Trap) olarak adlandırılır.

Problemin nihai sonucunun sapma veya etkinlik kaybı değil, doğrudan 'hesaplanamama' (tanımsızlık) olduğunu ortaya koymak için.

Key Concept

Kukla Değişken Tuzağı ve Tam Çoklu Doğrusal Bağlantı (Singüler Matris)

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics