Examkin

Question

Difficulty: Very hardMonoton Olabilirlik Oranı (MLR)

Bir sigorta şirketinin aktüerya birimi, belirli bir poliçe türü için gelen günlük hasar ihbarı sayılarını X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n rastgele örneklemi ile modellemektedir. Hasar sayılarının Poisson dağılımına sahip olduğu varsayılmaktadır. Ancak uzmanlar risk modellemesinde beklenen hasar sayısı yerine, ortalama hasar aralığı olarak yorumlanabilen θ\theta parametresini kullanmaktadır. Bu durumda, rastgele değişkenin olasılık fonksiyonu şu şekilde verilmiştir:

f(x∣θ)=θ−xe−1/θx!,x=0,1,2,…veθ>0f(x|\theta) = \frac{\theta^{-x} e^{-1/\theta}}{x!}, \quad x = 0, 1, 2, \dots \quad \text{ve} \quad \theta > 0

Araştırmacılar θ\theta parametresine yönelik düzgün en güçlü (UMP) testi oluşturabilmek için monoton olabilirlik oranı (MLR) özelliğini incelemektedir.

Buna göre, verilen dağılım ailesinin monoton olabilirlik oranına (MLR) sahip olduğu yeterli istatistik T(X)T(\mathbf{X}) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. T(X)=−∑i=1nXiT(\mathbf{X}) = -\sum_{i=1}^n X_iAnswer
  2. B
    T(X)=∑i=1nXiT(\mathbf{X}) = \sum_{i=1}^n X_i
  3. C
    T(X)=∏i=1nXiT(\mathbf{X}) = \prod_{i=1}^n X_i
  4. D
    T(X)=1∑i=1nXiT(\mathbf{X}) = \frac{1}{\sum_{i=1}^n X_i}
  5. E
    T(X)=−∑i=1n1XiT(\mathbf{X}) = -\sum_{i=1}^n \frac{1}{X_i}

Answer

Dağılımın monoton olabilirlik oranına (MLR) sahip olduğu yeterli istatistik T(X)=−∑i=1nXiT(\mathbf{X}) = -\sum_{i=1}^n X_i formülüdür.
Verilen olasılık fonksiyonunun θ2>θ1>0\theta_2 > \theta_1 > 0 için olabilirlik oranı hesaplandığında L(θ2)/L(θ1)L(\theta_2)/L(\theta_1) ifadesinde örnekleme bağlı çarpan (θ1θ2)∑xi\left(\frac{\theta_1}{\theta_2}\right)^{\sum x_i} olur. Bunu üstel formda exp⁡[(∑xi)ln⁡(θ1θ2)]\exp\left[ \left(\sum x_i\right) \ln\left(\frac{\theta_1}{\theta_2}\right) \right] olarak yazabiliriz. θ2>θ1\theta_2 > \theta_1 olduğundan θ1/θ2<1\theta_1 / \theta_2 < 1 ve dolayısıyla ln⁡(θ1/θ2)\ln(\theta_1/\theta_2) değeri negatiftir. Bu durum olabilirlik oranının ∑xi\sum x_i istatistiğine göre kesin olarak azalan bir fonksiyon olduğunu gösterir. Monoton Olabilirlik Oranı (MLR) özelliğinin sağlanması için oranın söz konusu istatistiğe göre 'azalmayan (artan)' olması gerekir. Bu nedenle istatistiğin negatif işaretlisi olan −∑i=1nXi-\sum_{i=1}^n X_i kullanıldığında oran monoton artan hale gelir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen dağılım için nn çaplı örneklemin olabilirlik fonksiyonunu (Likelihood) yazmak.
L(θ∣x)=∏i=1nθ−xie−1/θxi!=θ−∑xie−n/θ∏xi!L(\theta|\mathbf{x}) = \prod_{i=1}^n \frac{\theta^{-x_i} e^{-1/\theta}}{x_i!} = \frac{\theta^{-\sum x_i} e^{-n/\theta}}{\prod x_i!}
Monoton olabilirlik oranını test edebilmek için öncelikle ortak olasılık fonksiyonunu elde etmemiz gerekir.
2
θ2>θ1\theta_2 > \theta_1 koşulu altında olabilirlik oranını L(θ2)/L(θ1)L(\theta_2) / L(\theta_1) hesaplamak.
L(θ2)L(θ1)=θ2−∑xie−n/θ2θ1−∑xie−n/θ1=(θ1θ2)∑xiexp⁡[n(1θ1−1θ2)]\frac{L(\theta_2)}{L(\theta_1)} = \frac{\theta_2^{-\sum x_i} e^{-n/\theta_2}}{\theta_1^{-\sum x_i} e^{-n/\theta_1}} = \left(\frac{\theta_1}{\theta_2}\right)^{\sum x_i} \exp\left[n\left(\frac{1}{\theta_1} - \frac{1}{\theta_2}\right)\right]
MLR tanımı, iki farklı parametre değeri için olabilirlik fonksiyonlarının birbirine oranlanmasına dayanır.
3
Elde edilen oranı, örneklem istatistiğine bağlı bir fonksiyon olarak analiz edip artanlık/azalanlık durumunu kontrol etmek.
Örnekleme bağlı kısım exp⁡[(∑xi)ln⁡(θ1θ2)]\exp\left[ \left(\sum x_i\right) \ln\left(\frac{\theta_1}{\theta_2}\right) \right] şeklinde yazılır.
Oranın hangi fonksiyona göre monoton artan (azalmayan) olduğunu belirlemek için ifadeyi üstel forma sokmak analizi kolaylaştırır.
4
θ2>θ1\theta_2 > \theta_1 eşitsizliğini kullanarak türev veya eğim işaretini belirlemek ve istatistiği tanımlamak.
θ2>θ1  ⟹  θ1θ2<1  ⟹  ln⁡(θ1θ2)<0\theta_2 > \theta_1 \implies \frac{\theta_1}{\theta_2} < 1 \implies \ln\left(\frac{\theta_1}{\theta_2}\right) < 0. Katsayı negatif olduğundan, oran ∑Xi\sum X_i'ye göre azalandır. Artan olması için T(X)=−∑i=1nXiT(\mathbf{X}) = -\sum_{i=1}^n X_i alınmalıdır.
MLR tanımı gereği, olabilirlik oranı seçilen istatistiğe göre monoton azalmayan (artan) bir fonksiyon olmalıdır. Negatif işareti kompanse etmek için istatistik eksi ile çarpılır.

Key Concept

Monoton Olabilirlik Oranı (MLR) ve Üstel Aileler
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Monoton Olabilirlik Oranı (MLR)

More questions from this topic