Examkin

Question

Difficulty: MediumMonoton Olabilirlik Oranı (MLR)

Bir çevre mühendisi, bir göldeki belirli bir ağır metalin miligram cinsinden konsantrasyonunu analiz etmektedir. Bu konsantrasyon değerlerini temsil eden XX rassal değişkeninin log-normal dağılıma sahip olduğu, yani ln⁡(X)∼N(μ,σ2)\ln(X) \sim N(\mu, \sigma^2) olduğu bilinmektedir.

Bu gölden alınan nn birimlik rastgele bir örneklem X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n olmak üzere ve dağılımın varyansı (σ2\sigma^2) bilindiğinde, μ\mu parametresi için kitle dağılımının monoton olabilirlik oranına (MLR) sahip olmasını sağlayan yeterli istatistik (T(x)T(\mathbf{x})) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. T(x)=∑i=1nln⁡xiT(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^n \ln x_iAnswer
  2. B
    T(x)=∑i=1nxiT(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^n x_i
  3. C
    T(x)=−∑i=1nln⁡xiT(\mathbf{x}) = -\sum_{i=1}^n \ln x_i
  4. D
    T(x)=∑i=1n(ln⁡xi)2T(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^n (\ln x_i)^2
  5. E
    T(x)=ln⁡(∑i=1nxi)T(\mathbf{x}) = \ln\left(\sum_{i=1}^n x_i\right)

Answer

Doğru istatistik ∑i=1nln⁡xi\sum_{i=1}^n \ln x_i ifadesidir.
Log-normal dağılımın olabilirlik oranı hesaplandığında, üstel çarpım (exponential family) formundan dolayı (μ2−μ1)(\mu_2 - \mu_1) farkı ∑ln⁡xi\sum \ln x_i terimi ile çarpım durumundadır ve varyans her zaman pozitif olduğundan bu çarpımın katsayısı pozitiftir. Bu sebeple olabilirlik oranı, ∑ln⁡xi\sum \ln x_i istatistiğine göre monoton artandır.

Step-by-Step Solution

1
X∼Lognormal(μ,σ2)X \sim \text{Lognormal}(\mu, \sigma^2) için olasılık yoğunluk fonksiyonunu yazın.
f(x∣μ)=1xσ2πexp⁡(−(ln⁡x−μ)22σ2)f(x|\mu) = \frac{1}{x\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{(\ln x - \mu)^2}{2\sigma^2}\right)
Olabilirlik fonksiyonunu oluşturmak için kitle dağılımının yoğunluk fonksiyonuna ihtiyaç vardır.
2
nn çaplı örneklemin olabilirlik fonksiyonunu L(μ)=∏i=1nf(xi∣μ)L(\mu) = \prod_{i=1}^n f(x_i|\mu) oluşturun.
L(μ)∝exp⁡(−12σ2∑i=1n(ln⁡xi−μ)2)L(\mu) \propto \exp\left(-\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n (\ln x_i - \mu)^2\right)
Monoton olabilirlik oranını (MLR) bulmak için tüm örneklem üzerinden fonksiyonun çarpılması gerekir.
3
μ2>μ1\mu_2 > \mu_1 için olabilirlik oranını L(μ2)L(μ1)\frac{L(\mu_2)}{L(\mu_1)} hesaplayın ve kare açılımını yapın.
L(μ2)L(μ1)=exp⁡(−12σ2[∑(ln⁡xi−μ2)2−∑(ln⁡xi−μ1)2])\frac{L(\mu_2)}{L(\mu_1)} = \exp\left( -\frac{1}{2\sigma^2} \left[ \sum (\ln x_i - \mu_2)^2 - \sum (\ln x_i - \mu_1)^2 \right] \right)
Oranın hangi fonksiyona göre monoton artan veya azalan olduğunu tespit etmeliyiz.
4
Üstel kısımdaki terimleri sadeleştirerek istatistiği ayırın.
L(μ2)L(μ1)=exp⁡(μ2−μ1σ2∑i=1nln⁡xi−n(μ22−μ12)2σ2)\frac{L(\mu_2)}{L(\mu_1)} = \exp\left( \frac{\mu_2 - \mu_1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n \ln x_i - \frac{n(\mu_2^2 - \mu_1^2)}{2\sigma^2} \right)
MLR tanımına göre oran fonksiyonunu g(T(x))g(T(\mathbf{x})) formatında yazmak katsayı işaretini belirlemeyi sağlar.
5
Katsayının işaretini inceleyin ve MLR sağlayan istatistiği belirleyin.
μ2>μ1\mu_2 > \mu_1 ve σ2>0\sigma^2 > 0 olduğundan μ2−μ1σ2>0\frac{\mu_2 - \mu_1}{\sigma^2} > 0'dır. Bu nedenle oran, T(x)=∑i=1nln⁡xiT(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^n \ln x_i'nin monoton artan bir fonksiyonudur.
Pozitif katsayılı istatistik, fonksiyonun o istatistiğe göre monoton artan (MLR) olduğunu garantiler.

Key Concept

Monoton Olabilirlik Oranı (MLR)
Rate this question

Topics

Monoton Olabilirlik Oranı (MLR)

More questions from this topic