Bir kamu kurumu laboratuvarında kullanılan bir analiz cihazının kalibrasyon stabilitesi in… — KPSS İstatistik

Bir kamu kurumu laboratuvarında kullanılan bir analiz cihazının kalibrasyon stabilitesi incelenmektedir. İnceleme kapsamında ardışık olarak elde edilen $n$ adet bağımsız ölçüm sapması $Y_1, Y_2, \dots, Y_n$ rastgele değişkenleri ile modellenmiştir. Her bir ölçüm sapmasının ortalaması sıfır, varyansı ise bilinmeyen bir $\theta$ parametresi olan normal dağılıma ( $Y_i \sim N(0, \theta)$ , $\theta > 0$ , $y_i \in \mathbb{R}$ ) sahip olduğu tespit edilmiştir. Uzmanlar cihazdaki varyasyonun kritik bir $\theta_0$ eşiğini aşıp aşmadığını belirlemek için $H_0: \theta \leq \theta_0$ yokluk hipotezini $H_1: \theta > \theta_0$ alternatif hipotezine karşı test edecektir.

Buna göre, dağılım ailesinin $\theta$ parametresine göre Monoton Olabilirlik Oranına (MLR) sahip olmasını sağlayan yeterli istatistik $T(\mathbf{y})$ ve herhangi bir $\theta_1 > \theta_0$ için olabilirlik oranının ( $L(\theta_1)/L(\theta_0)$ ) bu istatistiğe göre monotonluk durumu aşağıdakilerden hangisinde doğru tanımlanmıştır?

A
Yeterli istatistik $T(\mathbf{y}) = \sum_{i=1}^n y_i$ olup olabilirlik oranı bu istatistiğe göre monoton artandır.
B
Yeterli istatistik $T(\mathbf{y}) = \sum_{i=1}^n y_i^2$ olup olabilirlik oranı bu istatistiğe göre monoton azalandır.
Yeterli istatistik $T(\mathbf{y}) = \sum_{i=1}^n y_i^2$ olup olabilirlik oranı bu istatistiğe göre monoton artandır.Answer
D
Yeterli istatistik $T(\mathbf{y}) = \sum_{i=1}^n (y_i - \bar{y})^2$ olup olabilirlik oranı bu istatistiğe göre monoton artandır.
E
Yeterli istatistik $T(\mathbf{y}) = \sum_{i=1}^n y_i$ olup olabilirlik oranı bu istatistiğe göre monoton azalandır.

Answer

Yeterli istatistik

T(\mathbf{y}) = \sum_{i=1}^n y_i^2

olup olabilirlik oranı bu istatistiğe göre monoton artandır.

Kitle ortalaması bilindiği (sıfır olduğu) için Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi uyarınca yeterli istatistik

T(\mathbf{y}) = \sum_{i=1}^n y_i^2

olarak bulunur.

\theta_1 > \theta_0

için kurulan

L(\theta_1)/L(\theta_0)

oranında

\sum y_i^2

istatistiğinin katsayısı

\left(\frac{1}{2\theta_0} - \frac{1}{2\theta_1}\right)

pozitif bir değer alır. Üstel (eksponansiyel) fonksiyon artan bir fonksiyon olduğundan ve pozitif bir sayıyla çarpıldığından, yeterli istatistiğe göre olabilirlik oranı monoton artandır.

Step-by-Step Solution

Y_1, \dots, Y_n

örneklemi için olabilirlik fonksiyonunu (

L(\theta)

) oluşturunuz.

L(\theta) = \prod_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{2\pi\theta}} \exp\left(-\frac{y_i^2}{2\theta}\right) = (2\pi\theta)^{-n/2} \exp\left(-\frac{1}{2\theta} \sum_{i=1}^n y_i^2\right)

Yeterli istatistiği belirlemek ve olabilirlik oranını hesaplamak için temel fonksiyonun elde edilmesi gerekir.

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi ile yeterli istatistiği belirleyiniz.

Gözlemlere bağlı çarpan

\exp\left(-\frac{1}{2\theta} \sum_{i=1}^n y_i^2\right)

ifadesidir, dolayısıyla

T(\mathbf{y}) = \sum_{i=1}^n y_i^2

yeterli istatistiktir.

MLR özelliğinin tanımlanabilmesi için olabilirlik oranının yeterli istatistiğe bağlı bir fonksiyon olarak yazılması zorunludur.

\theta_1 > \theta_0

koşulu altında

L(\theta_1) / L(\theta_0)

oranını hesaplayınız ve monotonluk yönünü belirleyiniz.

Oran:

\frac{L(\theta_1)}{L(\theta_0)} = \left(\frac{\theta_0}{\theta_1}\right)^{n/2} \exp\left[ \left(\frac{1}{2\theta_0} - \frac{1}{2\theta_1}\right) \sum_{i=1}^n y_i^2 \right]

olur.

\theta_1 > \theta_0 > 0

olduğundan

\frac{1}{\theta_0} > \frac{1}{\theta_1}

eşitsizliği geçerlidir. Bu durumda üstel katsayı

\left(\frac{1}{2\theta_0} - \frac{1}{2\theta_1}\right) > 0

olur ve oran fonksiyonu

T(\mathbf{y})

istatistiğine göre monoton artandır.

MLR tanımı gereği, üstel ifadedeki katsayının işareti (pozitif olması) fonksiyonun yeterli istatistik üzerinden monoton artan olduğunu gösterir.

Key Concept

Monoton Olabilirlik Oranı (MLR)

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic