Examkin

Question

Difficulty: MediumMonoton Olabilirlik Oranı (MLR)

Bir tarım araştırma enstitüsünde, yeni geliştirilen bir bitki türünün ulaşabileceği maksimum boy uzunluğunu tahmin etmek amacıyla XX rassal değişkeni incelenmektedir. Araştırmacılar, XX'in olasılık yoğunluk fonksiyonunun 0<x<θ0 < x < \theta için f(x∣θ)=1θf(x|\theta) = \frac{1}{\theta} ve diğer durumlarda f(x∣θ)=0f(x|\theta) = 0 olan sürekli düzgün (uniform) dağılıma sahip olduğunu bilmektedir (θ>0\theta > 0).

Rastgele seçilen nn adet bitkinin boy uzunlukları X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n olmak üzere, bu dağılım ailesinin θ\theta parametresine göre monoton olabilirlik oranına (MLR) sahip olduğu istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

  1. T(X)=max⁡(X1,X2,…,Xn)T(\mathbf{X}) = \max(X_1, X_2, \dots, X_n)Answer
  2. B
    T(X)=min⁡(X1,X2,…,Xn)T(\mathbf{X}) = \min(X_1, X_2, \dots, X_n)
  3. C
    T(X)=1n∑i=1nXiT(\mathbf{X}) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i
  4. D
    T(X)=max⁡(X1,…,Xn)−min⁡(X1,…,Xn)T(\mathbf{X}) = \max(X_1, \dots, X_n) - \min(X_1, \dots, X_n)
  5. E
    T(X)=max⁡(X1,…,Xn)+min⁡(X1,…,Xn)T(\mathbf{X}) = \max(X_1, \dots, X_n) + \min(X_1, \dots, X_n)

Answer

Dağılım ailesi, örneklemin maksimum değerini veren en büyük sıra istatistiğine yani T(X)=max⁡(X1,X2,…,Xn)T(\mathbf{X}) = \max(X_1, X_2, \dots, X_n) değerine göre monoton olabilirlik oranına sahiptir.
Düzgün dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonundan elde edilen olabilirlik oranı, en büyük sıra istatistiği olan maksimum değere bağlı olarak sabitten sonsuza doğru artış gösterir. Bu matematiksel davranış, en büyük sıra istatistiğinin bu dağılım ailesi için monoton olabilirlik oranı (MLR) koşulunu sağladığını kanıtlar.

Step-by-Step Solution

1
Olabilirlik fonksiyonunu oluşturma
L(θ∣x)=1θnI(X(n)≤θ)L(\theta|\mathbf{x}) = \frac{1}{\theta^n} I(X_{(n)} \leq \theta) (Burada X(n)=max⁡(Xi)X_{(n)} = \max(X_i))
Düzgün dağılımda tüm gözlemlerin θ\theta'dan küçük olması gerekliliği, gösterge fonksiyonu ve en büyük sıra istatistiği ile ifade edilir.
2
θ2>θ1\theta_2 > \theta_1 durumu için olabilirlik oranını yazma
L(θ2∣x)L(θ1∣x)=(θ1θ2)nI(X(n)≤θ2)I(X(n)≤θ1)\frac{L(\theta_2|\mathbf{x})}{L(\theta_1|\mathbf{x})} = \left(\frac{\theta_1}{\theta_2}\right)^n \frac{I(X_{(n)} \leq \theta_2)}{I(X_{(n)} \leq \theta_1)}
MLR koşulunun sağlanıp sağlanmadığını görmek için iki farklı parametre değeri üzerinden oran testi yapılır.
3
Oranın X(n)X_{(n)} istatistiğine göre değişimini analiz etme
X(n)≤θ1X_{(n)} \leq \theta_1 için oran sabittir. θ1<X(n)≤θ2\theta_1 < X_{(n)} \leq \theta_2 için payda sıfır olacağından oran sonsuza gider. Dolayısıyla oran, X(n)X_{(n)}'in azalmayan bir fonksiyonudur.
Bir oranın belirli bir istatistiğe göre azalmayan (non-decreasing) olması, o istatistik bağlamında Monoton Olabilirlik Oranı (MLR) özelliğini ispatlar.

Key Concept

Sürekli düzgün dağılımda yeterli istatistik ve Monoton Olabilirlik Oranı (MLR)
Rate this question

Topics

Monoton Olabilirlik Oranı (MLR)

More questions from this topic