Examkin

Question

Difficulty: MediumMonoton Olabilirlik Oranı (MLR)

Bir fabrikada üretilen elektronik bileşenlerin dayanım süreleri (saat cinsinden) XX rassal değişkeni ile modellenmektedir. XX'in olasılık yoğunluk fonksiyonu θ>0\theta > 0 bilinmeyen bir parametre olmak üzere şu şekilde verilmiştir:

f(x;θ)={2xθ2e−(x/θ)2,x>00,dig˘erf(x; \theta) = \begin{cases} \frac{2x}{\theta^2} e^{-(x/\theta)^2}, & x > 0 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}

Bu bileşenlerden rastgele seçilen nn hacimli bir örneklem X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n olduğuna göre, bu dağılım ailesi aşağıdaki istatistiklerden hangisine göre monoton olabilirlik oranına (MLR) sahiptir?

  1. T(X)=∑i=1nXi2T(\mathbf{X}) = \sum_{i=1}^n X_i^2Answer
  2. B
    T(X)=−∑i=1nXi2T(\mathbf{X}) = -\sum_{i=1}^n X_i^2
  3. C
    T(X)=∑i=1nXiT(\mathbf{X}) = \sum_{i=1}^n X_i
  4. D
    T(X)=∏i=1nXiT(\mathbf{X}) = \prod_{i=1}^n X_i
  5. E
    T(X)=X(n)T(\mathbf{X}) = X_{(n)}

Answer

Bu dağılım ailesi T(X)=∑i=1nXi2T(\mathbf{X}) = \sum_{i=1}^n X_i^2 istatistiğine göre monoton olabilirlik oranına sahiptir.
Olabilirlik fonksiyonu L(θ)=2n∏xiθ2nexp⁡(−1θ2∑xi2)L(\theta) = \frac{2^n \prod x_i}{\theta^{2n}} \exp\left( -\frac{1}{\theta^2} \sum x_i^2 \right) şeklindedir. θ2>θ1>0\theta_2 > \theta_1 > 0 olmak üzere olabilirlik oranı L(θ2)L(θ1)\frac{L(\theta_2)}{L(\theta_1)} alındığında, üstel ifadenin kuvvetinde (1θ12−1θ22)∑xi2\left( \frac{1}{\theta_1^2} - \frac{1}{\theta_2^2} \right) \sum x_i^2 çarpanı elde edilir. Parametreler pozitif olduğu için θ2>θ1\theta_2 > \theta_1 iken 1θ12−1θ22>0\frac{1}{\theta_1^2} - \frac{1}{\theta_2^2} > 0'dır. Pozitif bir sabit ile ∑xi2\sum x_i^2'nin çarpımının üstel fonksiyonu, ∑xi2\sum x_i^2 istatistiğinin kesinlikle artan bir fonksiyonudur. Bu nedenle dağılım ailesi T(X)=∑i=1nXi2T(\mathbf{X}) = \sum_{i=1}^n X_i^2 istatistiğine göre monoton olabilirlik oranına sahiptir.

Step-by-Step Solution

1
nn çaplı rastgele örneklem için olabilirlik fonksiyonunu (L(θ)L(\theta)) oluşturun.
L(θ)=∏i=1n2xiθ2e−xi2/θ2=2n∏xiθ2nexp⁡(−1θ2∑i=1nxi2)L(\theta) = \prod_{i=1}^n \frac{2x_i}{\theta^2} e^{-x_i^2/\theta^2} = \frac{2^n \prod x_i}{\theta^{2n}} \exp\left( -\frac{1}{\theta^2} \sum_{i=1}^n x_i^2 \right)
Olabilirlik oranı testini yapabilmek için öncelikle örneklemin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonuna ihtiyaç vardır.
2
İki farklı parametre değeri θ2>θ1\theta_2 > \theta_1 için olabilirlik oranını (L(θ2)L(θ1)\frac{L(\theta_2)}{L(\theta_1)}) hesaplayın.
L(θ2)L(θ1)=(θ1θ2)2nexp⁡((1θ12−1θ22)∑i=1nxi2)\frac{L(\theta_2)}{L(\theta_1)} = \left( \frac{\theta_1}{\theta_2} \right)^{2n} \exp\left( \left( \frac{1}{\theta_1^2} - \frac{1}{\theta_2^2} \right) \sum_{i=1}^n x_i^2 \right)
MLR özelliğini incelemek için, büyük parametreye ait olabilirlik fonksiyonunun küçük parametreye ait olana oranı incelenmelidir.
3
Olabilirlik oranının hangi istatistiğe bağlı olarak monoton arttığını belirleyin.
θ2>θ1>0\theta_2 > \theta_1 > 0 olduğundan 1θ12>1θ22\frac{1}{\theta_1^2} > \frac{1}{\theta_2^2} olur. Dolayısıyla (1θ12−1θ22)>0\left( \frac{1}{\theta_1^2} - \frac{1}{\theta_2^2} \right) > 0'dır. Çarpan pozitif olduğundan oran ∑i=1nxi2\sum_{i=1}^n x_i^2 değerine göre monoton olarak artar.
Oran ifadesinin bir T(X)T(\mathbf{X}) istatistiğine göre azalmayan (non-decreasing) fonksiyona dönüşmesini sağlayan terim tespit edilir.

Key Concept

Monoton Olabilirlik Oranı (MLR)
Rate this question

Topics

Monoton Olabilirlik Oranı (MLR)

More questions from this topic