Bir siber güvenlik uzmanı, bir sunucuya yapılan izinsiz erişim girişimleri arasındaki süre… — KPSS İstatistik

Bir siber güvenlik uzmanı, bir sunucuya yapılan izinsiz erişim girişimleri arasındaki süreleri analiz etmektedir. Her 3 izinsiz girişimin tamamlanması için geçen süre (saat cinsinden) $X$ rassal değişkeni ile modellenmektedir. $X$ 'in, şekil parametresi $\alpha = 3$ ve bilinmeyen ölçek parametresi $\theta > 0$ olan Gama dağılımına uyduğu varsayılmaktadır. Örneklem uzayı $x > 0$ olarak tanımlı olup, $n$ birimlik rassal örneklem için olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f(x;\theta) = \frac{1}{\Gamma(3)\theta^3} x^{2} e^{-\frac{x}{\theta}}, \quad x > 0, \quad \theta > 0

Uzman, $\theta$ parametresi için $\theta_2 > \theta_1$ olmak üzere $H_0: \theta = \theta_1$ yokluk hipotezine karşı $H_1: \theta = \theta_2$ alternatif hipotezini test edecektir.

Buna göre, $\theta$ parametresi için Monoton Olabilirlik Oranı (MLR) özelliğini sağlayan yeterli istatistik $T(\mathbf{x})$ ve olabilirlik oranının bu istatistiğe göre monotonluk yönü aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

$T(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^{n} x_i$ ve monoton artanAnswer
B
$T(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^{n} x_i$ ve monoton azalan
C
$T(\mathbf{x}) = \prod_{i=1}^{n} x_i$ ve monoton artan
D
$T(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^{n} \ln(x_i)$ ve monoton azalan
E
$T(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2$ ve monoton artan

Answer

Doğru yeterli istatistik

T(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^{n} x_i

şeklindedir ve olabilirlik oranı bu istatistiğe göre monoton artandır.

Olabilirlik oranı incelendiğinde;

\frac{L(\theta_2; \mathbf{x})}{L(\theta_1; \mathbf{x})} \propto \exp\left[ \left(\frac{1}{\theta_1} - \frac{1}{\theta_2}\right) \sum_{i=1}^{n} x_i \right]

eşitliği elde edilir. Burada Neyman çarpanlara ayırma teoreminden yeterli istatistiğin

T(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^{n} x_i

olduğu görülür.

\theta_2 > \theta_1

verildiğine göre

1/\theta_1 > 1/\theta_2

'dir ve bu fark pozitiftir. İstatistik, pozitif bir sabitle çarpılarak üssel fonksiyonda yer aldığı için olabilirlik oranı

T(\mathbf{x})

'e göre kesinlikle monoton artandır.

Step-by-Step Solution

n

çaplı örneklem için olabilirlik fonksiyonunu (Likelihood) yazınız.

L(\theta; \mathbf{x}) = \prod_{i=1}^{n} \left( \frac{1}{2\theta^3} x_i^2 e^{-\frac{x_i}{\theta}} \right) = \frac{1}{2^n \theta^{3n}} \left( \prod_{i=1}^{n} x_i^2 \right) e^{-\frac{1}{\theta} \sum_{i=1}^{n} x_i}

Yeterli istatistiği belirlemek ve hipotez testinde oranı hesaplamak için ortak yoğunluk fonksiyonuna ihtiyaç vardır.

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ni kullanarak yeterli istatistiği belirleyiniz.

g(T(\mathbf{x}), \theta) = \theta^{-3n} e^{-\frac{1}{\theta} \sum x_i}

h(\mathbf{x}) = 2^{-n} \prod x_i^2

olarak ayrıldığında, yeterli istatistik

T(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^{n} x_i

olur.

Sadece parametreye ve örnekleme bağlı ortak fonksiyon kısmı, yeterli istatistiği verir.

\theta_2 > \theta_1

koşulu altında olabilirlik oranını (L_2 / L_1) hesaplayınız.

\frac{L(\theta_2; \mathbf{x})}{L(\theta_1; \mathbf{x})} = \frac{\theta_2^{-3n} e^{-\frac{1}{\theta_2} \sum x_i}}{\theta_1^{-3n} e^{-\frac{1}{\theta_1} \sum x_i}} = \left(\frac{\theta_1}{\theta_2}\right)^{3n} \exp\left[ \left(\frac{1}{\theta_1} - \frac{1}{\theta_2}\right) \sum_{i=1}^{n} x_i \right]

Monotonluk özelliğini inceleyebilmek için iki farklı parametre değeri altındaki olabilirlik fonksiyonlarının oranı incelenmelidir.

Olabilirlik oranının

T(\mathbf{x})

'e göre artan veya azalan olduğunu tespit ediniz.

\theta_2 > \theta_1 > 0

olduğundan

\frac{1}{\theta_1} > \frac{1}{\theta_2}

'dir. Dolayısıyla

\left(\frac{1}{\theta_1} - \frac{1}{\theta_2}\right) > 0

olur. Pozitif katsayılı üssel fonksiyon sürekli artan olduğundan oran monoton artandır.

T(\mathbf{x})

'in katsayısının işareti, oranın monotonluk yönünü belirler.

Key Concept

Monoton Olabilirlik Oranı (MLR) ve Üstel Ailelerde Yeterli İstatistik

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic