Examkin

Question

Difficulty: HardTahmin Edicilerin Özellikleri: Tutarlılık (Consistency)

Bir tarım araştırma enstitüsü, yeni geliştirilen bir buğday türünün hektar başına ortalama verimini (μ\mu) tahmin etmek amacıyla, bu türün ekildiği birbirinden bağımsız nn farklı tarladan elde edilen verim miktarlarını (X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n) gözlemlemektedir. Verim miktarının kitle varyansı σ2\sigma^2 (0<σ2<∞0 < \sigma^2 < \infty) olarak bilinmektedir.

Araştırmacılar, kitle ortalaması μ\mu'yü tahmin etmek için aşağıdaki iki farklı tahmin ediciyi önermişlerdir:

μ^1=nn+5Xˉn \hat{\mu}_1 = \frac{n}{n+5} \bar{X}_n
μ^2=12X1+12(n−1)∑i=2nXi \hat{\mu}_2 = \frac{1}{2} X_1 + \frac{1}{2(n-1)} \sum_{i=2}^n X_i

(Burada Xˉn\bar{X}_n, nn hacimli örneklemin aritmetik ortalamasıdır.)

Bu tahmin edicilerin yansızlık ve tutarlılık özellikleri değerlendirildiğinde aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

  1. μ^1\hat{\mu}_1 yanlı fakat tutarlı bir tahmin edicidir; μ^2\hat{\mu}_2 ise yansız fakat tutarlı olmayan bir tahmin edicidir.Answer
  2. B
    μ^1\hat{\mu}_1 yansız ve tutarlı bir tahmin edicidir; μ^2\hat{\mu}_2 ise yanlı ve tutarlı olmayan bir tahmin edicidir.
  3. C
    Her iki tahmin edici de yansızdır, ancak sadece μ^1\hat{\mu}_1 tutarlıdır.
  4. D
    Her iki tahmin edici de tutarlıdır, ancak sadece μ^2\hat{\mu}_2 yansızdır.
  5. E
    μ^1\hat{\mu}_1 yanlı ve tutarlı olmayan bir tahmin edicidir; μ^2\hat{\mu}_2 ise yansız ve tutarlı bir tahmin edicidir.

Answer

μ^1\hat{\mu}_1 yanlı fakat tutarlı bir tahmin edicidir; μ^2\hat{\mu}_2 ise yansız fakat tutarlı olmayan bir tahmin edicidir.
μ^1\hat{\mu}_1 tahmin edicisinin beklenen değeri nn+5μ\frac{n}{n+5}\mu olup yanlıdır, ancak hem asimptotik varyansı hem de yan miktarı n→∞n \to \infty iken sıfıra gittiği için MSE'si sıfıra yakınsar ve tutarlıdır. μ^2\hat{\mu}_2'nin beklenen değeri μ\mu olup yansızdır, fakat varyansının limiti σ24≠0\frac{\sigma^2}{4} \neq 0 olduğundan limit durumunda olasılıkta yakınsama gerçekleşmez ve tutarlı değildir.

Step-by-Step Solution

1
μ^1\hat{\mu}_1 tahmin edicisinin yansızlık durumunun incelenmesi.
E[μ^1]=nn+5E[Xˉn]=nn+5μ≠μE[\hat{\mu}_1] = \frac{n}{n+5} E[\bar{X}_n] = \frac{n}{n+5} \mu \neq \mu olduğundan μ^1\hat{\mu}_1 yanlı bir tahmin edicidir.
Bir tahmin edicinin yansız olması için beklenen değerinin kitle parametresine (μ\mu) eşit olması gerekir.
2
μ^1\hat{\mu}_1 tahmin edicisinin tutarlılık durumunun analizi.
Var(μ^1)=(nn+5)2σ2nVar(\hat{\mu}_1) = (\frac{n}{n+5})^2 \frac{\sigma^2}{n}. Yan miktarı Bias=−5n+5μBias = \frac{-5}{n+5}\mu. n→∞n \to \infty iken varyans ve yanın karesi sıfıra gittiği için lim⁡n→∞MSE(μ^1)=0\lim_{n \to \infty} MSE(\hat{\mu}_1) = 0 olur ve tahmin edici tutarlıdır.
Hata kareler ortalaması (MSE) sıfıra yakınsayan tahmin ediciler parametre için tutarlıdır.
3
μ^2\hat{\mu}_2 tahmin edicisinin yansızlık durumunun incelenmesi.
E[μ^2]=12E[X1]+12(n−1)∑i=2nE[Xi]=12μ+12(n−1)(n−1)μ=μE[\hat{\mu}_2] = \frac{1}{2} E[X_1] + \frac{1}{2(n-1)} \sum_{i=2}^n E[X_i] = \frac{1}{2}\mu + \frac{1}{2(n-1)}(n-1)\mu = \mu. Dolayısıyla μ^2\hat{\mu}_2 yansızdır.
Tahmin edicinin içerdiği rastgele değişkenlerin beklenen değerleri toplamı kitle ortalamasına eşittir.
4
μ^2\hat{\mu}_2 tahmin edicisinin tutarlılık durumunun varyans limiti ile analizi.
Var(μ^2)=14Var(X1)+14(n−1)2∑i=2nVar(Xi)=σ24+σ24(n−1)Var(\hat{\mu}_2) = \frac{1}{4} Var(X_1) + \frac{1}{4(n-1)^2} \sum_{i=2}^n Var(X_i) = \frac{\sigma^2}{4} + \frac{\sigma^2}{4(n-1)}. n→∞n \to \infty iken lim⁡n→∞Var(μ^2)=σ24≠0\lim_{n \to \infty} Var(\hat{\mu}_2) = \frac{\sigma^2}{4} \neq 0. Dağılım yozlaşmadığı için tutarlı değildir.
Yansız bir tahmin edicinin tutarlı olabilmesi için örneklem hacmi artarken varyansının sıfıra yakınsaması gerekir.

Key Concept

Tahmin edicilerde yansızlık ve tutarlılık ilişkisi ile Hata Kareler Ortalaması (MSE) limiti
Rate this question

Topics

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Tutarlılık (Consistency)

More questions from this topic