Bir araştırmacı, kitleye ait bilinmeyen bir \theta parametresini tahmin etmek amacıyla n ç… — KPSS İstatistik

Bir araştırmacı, kitleye ait bilinmeyen bir $\theta$ parametresini tahmin etmek amacıyla $n$ çaplı rastgele bir örneklem üzerinden $T_n$ tahmin edicisini önermiştir.

İstatistiksel analizler sonucunda bu tahmin edicinin beklenen değeri ve varyansı sırasıyla aşağıdaki gibi elde edilmiştir:

E(T_n) = \frac{n\theta - 3}{n}

V(T_n) = \frac{4\theta^2}{n}

Buna göre, $T_n$ tahmin edicisinin yansızlık ve tutarlılık özellikleri hakkında aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

$T_n$ yanlı bir tahmin edicidir; ancak örneklem çapı sonsuza giderken hata kareler ortalaması (MSE) sıfıra yaklaştığı için $\theta$ 'nın tutarlı bir tahmin edicisidir.Answer
B
$T_n$ her $n$ değeri için yansız bir tahmin edicidir ve varyansının limiti sıfır olduğu için aynı zamanda tutarlı bir tahmin edicidir.
C
$T_n$ 'nin içerdiği yan miktarı nedeniyle hata kareler ortalaması varyansından daima büyüktür, bu nedenle $\theta$ için tutarsız bir tahmin edicidir.
D
$T_n$ yanlı bir tahmin edici olduğundan, Chebyshev eşitsizliği gereği olasılıkta yakınsama şartını sağlayamaz ve tutarsızdır.
E
$T_n$ 'nin beklenen değeri örneklem çapı büyüdükçe $\theta$ 'ya yaklaşsa da, varyansı bilinmeyen parametre $\theta$ 'ya bağlı olduğu için tahmin edici tutarsızdır.

Answer

Verilen tahmin edici küçük örneklemlerde yanlıdır, ancak örneklem çapı sonsuza giderken hata kareler ortalaması (MSE) sıfıra yaklaştığından dolayı tutarlı bir tahmin edicidir.

Verilen beklenen değer ifadesi

E(T_n) = \theta - \frac{3}{n}

şeklinde düzenlendiğinde, yan miktarının

-\frac{3}{n}

olduğu görülür. Bu nedenle

T_n

küçük örneklemlerde yanlıdır. Tutarlılık için yeterli şart olan Hata Kareler Ortalamasının (MSE) limitine bakıldığında;

MSE = V(T_n) + Bias^2 = \frac{4\theta^2}{n} + \frac{9}{n^2}

elde edilir. Örneklem çapı sonsuza giderken (

n \to \infty

) bu ifadenin limiti

0

'dır.

MSE \to 0

şartı sağlandığından,

T_n

tahmin edicisi

\theta

için tutarlıdır. Doğru ifade, bu iki temel çıkarımı tam olarak karşılamaktadır.

Step-by-Step Solution

Tahmin edicinin yan miktarını (Bias) hesapla.

Bias(T_n) = E(T_n) - \theta = \left(\theta - \frac{3}{n}\right) - \theta = -\frac{3}{n}

Yansızlık özelliğini kontrol etmek için beklenen değerden gerçek parametre değeri çıkarılmalıdır. Sonuç sıfırdan farklı olduğu için tahmin edici yanlıdır.

Örneklem çapı sonsuza giderken asimptotik yansızlığı kontrol et.

\lim_{n \to \infty} Bias(T_n) = \lim_{n \to \infty} \left(-\frac{3}{n}\right) = 0

Yan limitinin sıfır olması, tahmin edicinin asimptotik olarak yansız olduğunu gösterir.

Hata Kareler Ortalaması (MSE) değerini formüle et.

MSE(T_n) = V(T_n) + [Bias(T_n)]^2 = \frac{4\theta^2}{n} + \left(-\frac{3}{n}\right)^2 = \frac{4\theta^2}{n} + \frac{9}{n^2}

Bir tahmin edicinin tutarlılığını göstermenin yeter koşulu, MSE değerinin limitinin sıfır olmasıdır.

MSE'nin

n \to \infty

için limitini hesapla.

\lim_{n \to \infty} MSE(T_n) = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{4\theta^2}{n} + \frac{9}{n^2}\right) = 0 + 0 = 0

Hem varyans limiti hem de yan miktarının karesinin limiti sıfır olduğundan, MSE sıfıra yakınsar. Bu durum tahmin edicinin

\theta

için tutarlı olduğunu ispatlar.

Key Concept

Hata Kareler Ortalaması (MSE) Yoluyla Tutarlılık Analizi

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic