Examkin

Question

Difficulty: MediumMonoton Olabilirlik Oranı (MLR)

Bir kalite kontrol mühendisi, bir üretim hattından rastgele seçilen ürünlerin 'kusurlu' (1) veya 'kusursuz' (0) olma durumlarını p∈(0,1)p \in (0, 1) parametreli Bernoulli dağılımı ile modellemektedir. Mühendis, nn birimlik bir örneklem (X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n) kullanarak kusur oranı üzerine hipotez testi yapacaktır. Buna göre, bu dağılım ailesi için olabilirlik oranının pp parametresine göre monoton artan olduğu yeterli istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

  1. ∑i=1nXi\sum_{i=1}^n X_i istatistiğine göre monoton artandır.Answer
  2. B
    ∑i=1nXi\sum_{i=1}^n X_i istatistiğine göre monoton azalandır.
  3. C
    ∏i=1nXi\prod_{i=1}^n X_i istatistiğine göre monoton artandır.
  4. D
    max⁡(X1,…,Xn)\max(X_1, \dots, X_n) istatistiğine göre monoton artandır.
  5. E
    ∑i=1nXi2\sum_{i=1}^n X_i^2 istatistiğine göre monoton azalandır.

Answer

Bernoulli dağılımı ailesi, toplam istatistiği olan ∑Xi\sum X_i değerine göre monoton artan olabilirlik oranına sahiptir.
Bernoulli dağılımı, yeterli istatistiği T(X)=∑XiT(X) = \sum X_i olan bir üstel aile üyesidir. p2>p1p_2 > p_1 için olabilirlik oranı L(p2)/L(p1)L(p_2)/L(p_1) yazıldığında, ∑Xi\sum X_i teriminin katsayısı olan ln⁡[p2(1−p1)/p1(1−p2)]\ln[p_2(1-p_1)/p_1(1-p_2)] değeri pozitif çıkar, bu da oranın toplam istatistiğine göre monoton artan olduğunu gösterir.

Step-by-Step Solution

1
Bernoulli dağılımının olabilirlik fonksiyonunu yazın.
L(p)=∏i=1npxi(1−p)1−xi=p∑xi(1−p)n−∑xiL(p) = \prod_{i=1}^n p^{x_i}(1-p)^{1-x_i} = p^{\sum x_i}(1-p)^{n-\sum x_i}
Olabilirlik oranını hesaplamak için önce örneklemin ortak olasılık fonksiyonu belirlenmelidir.
2
p2>p1p_2 > p_1 durumu için olabilirlik oranını (RR) hesaplayın.
R=L(p2)L(p1)=(p2(1−p1)p1(1−p2))∑xi(1−p21−p1)nR = \frac{L(p_2)}{L(p_1)} = \left( \frac{p_2(1-p_1)}{p_1(1-p_2)} \right)^{\sum x_i} \left( \frac{1-p_2}{1-p_1} \right)^n
Monotonluk özelliğini incelemek için iki farklı parametre değeri arasındaki oran yapılandırılır.
3
T=∑XiT = \sum X_i istatistiğine göre monotonluğu kontrol edin.
p2>p1⇒p21−p2>p11−p1p_2 > p_1 \Rightarrow \frac{p_2}{1-p_2} > \frac{p_1}{1-p_1} olduğundan taban değer 11'den büyüktür. Bu durumda oran, TT arttıkça artar.
p/(1−p)p/(1-p) fonksiyonu (0,1)(0, 1) aralığında artan bir fonksiyon olduğu için oranın tabanı pozitiftir ve birden büyüktür.

Key Concept

Monoton Olabilirlik Oranı (MLR) ve Üstel Aileler
Rate this question

Topics

Monoton Olabilirlik Oranı (MLR)

More questions from this topic