Examkin

Question

Difficulty: EasyTahmin Edicilerin Özellikleri: Tutarlılık (Consistency)

Bir θ\theta parametresini tahmin etmek amacıyla geliştirilen θ^n\hat{\theta}_n tahmin edicisinin beklenen değeri E(θ^n)=θ+1nE(\hat{\theta}_n) = \theta + \frac{1}{n} ve varyansı Var(θ^n)=σ2n2Var(\hat{\theta}_n) = \frac{\sigma^2}{n^2} olarak verilmiştir. Buna göre, örneklem hacmi nn sonsuza giderken θ^n\hat{\theta}_n tahmin edicisinin asimptotik davranışı için aşağıdakilerden hangisi söylenebilir?

  1. Tutarlı bir tahmin edicidir.Answer
  2. B
    Yansız bir tahmin edicidir.
  3. C
    Tutarlı olmayan bir tahmin edicidir.
  4. D
    Hata kareler ortalaması (MSEMSE) σ2\sigma^2 değerine yakınsar.
  5. E
    Örneklem hacminden bağımsız olarak her zaman θ\theta değerine eşittir.

Answer

Tahmin edici tutarlıdır çünkü örneklem hacmi sonsuza giderken hata kareler ortalaması (MSE) sıfıra yaklaşmaktadır.
Tutarlılık özelliği, tahmin edicinin örneklem hacmi arttıkça gerçek parametre değerine yaklaşma kapasitesini ölçer. Verilen tahmin edicide hem varyans (Var→0Var \to 0) hem de yan miktarının karesi (Bias2→0Bias^2 \to 0) sıfıra gittiği için Ortalama Hata Karesi (MSE) de sıfıra gitmektedir, bu da tahmin edicinin tutarlı olduğunu kanıtlar.

Step-by-Step Solution

1
Yan (bias) miktarını belirleyin.
B(θ^n)=E(θ^n)−θ=(θ+1n)−θ=1nB(\hat{\theta}_n) = E(\hat{\theta}_n) - \theta = (\theta + \frac{1}{n}) - \theta = \frac{1}{n}
Tutarlılık analizi için yan miktarının hesaplanması gerekir.
2
Hata kareler ortalaması (MSE) formülünü oluşturun.
MSE(θ^n)=Var(θ^n)+[B(θ^n)]2=σ2n2+(1n)2=σ2+1n2MSE(\hat{\theta}_n) = Var(\hat{\theta}_n) + [B(\hat{\theta}_n)]^2 = \frac{\sigma^2}{n^2} + (\frac{1}{n})^2 = \frac{\sigma^2 + 1}{n^2}
Tutarlılık için yeter koşul olan MSE'nin asimptotik davranışını incelemek gerekir.
3
Örneklem hacmi sonsuza giderken MSE'nin limitini hesaplayın.
lim⁡n→∞MSE(θ^n)=lim⁡n→∞σ2+1n2=0\lim_{n \to \infty} MSE(\hat{\theta}_n) = \lim_{n \to \infty} \frac{\sigma^2 + 1}{n^2} = 0
Limit değeri sıfır ise tahmin edici tutarlıdır.

Key Concept

Bir tahmin edicinin tutarlı (consistent) olabilmesi için gerek ve yeter koşul, tahmin edicinin parametreye olasılıksal olarak yakınsamasıdır; MSE'nin sıfıra gitmesi ise bunun için güçlü bir yeter koşuldur.

Practice More

Yanlı olup tutarlı olan başka tahmin ediciler (örneğin kitle varyansının n ile bölündüğü durum) üzerinde pratik yapabilirsiniz.
Estimated Time:45s
Rate this question

Topics

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Tutarlılık (Consistency)

More questions from this topic