Bir araştırmacı, kitle ortalaması \theta ve kitle varyansı \sigma^2 < \infty olan bir dağı… — KPSS İstatistik

Bir araştırmacı, kitle ortalaması $\theta$ ve kitle varyansı $\sigma^2 < \infty$ olan bir dağılımdan alınan $n$ çaplı rastgele bir örneklem $(X_1, X_2, \dots, X_n)$ üzerinden $\theta$ parametresini tahmin etmek istemektedir.

Örneklem ortalaması

\bar{X}_n

olmak üzere, araştırmacı aşağıdaki gibi yeni bir

T_n

tahmin edicisi tanımlamıştır:

T_n = \bar{X}_n + U_n

Burada

U_n

, örneklemden bağımsız bir rastgele değişken dizisi olup olasılık fonksiyonu şu şekildedir:

P(U_n = n) = \frac{1}{n^2}, \quad P(U_n = 0) = 1 - \frac{1}{n^2}

Bu tahmin edici $T_n$ ile ilgili olarak aşağıda verilen ifadelerden hangisi doğrudur?

$T_n$ , $\theta$ için tutarlı ve asimptotik yansız bir tahmin edicidir, ancak Ortalama Hata Karesi (MSE) sıfıra yakınsamaz.Answer
B
$T_n$ 'nin Ortalama Hata Karesi (MSE) sıfıra yakınsamadığı için, $T_n$ , $\theta$ için tutarlı bir tahmin edici olamaz.
C
$n \to \infty$ iken $U_n$ rastgele değişkeninin alabileceği maksimum değer sonsuza gittiği için $T_n$ olasılıkta yakınsamaz ve tutarsızdır.
D
$T_n$ asimptotik yansız bir tahmin edici olduğu için varyansı sıfıra yakınsar ve bu da onu tutarlı bir tahmin edici yapar.
E
$T_n$ 'nin içerdiği yan miktarı $n$ 'ye bağlı olarak sürekli arttığından, $T_n$ asimptotik yansız değildir ve dolayısıyla tutarsızdır.

Answer

Tahmin edici asimptotik yansızdır ve olasılıkta kitle ortalamasına yakınsadığı için tutarlıdır; ancak karesel sapmaları içeren MSE değeri sıfıra değil, 1'e yakınsamaktadır.

Tahmin edicinin tutarlılığı, olasılıkta yakınsama (convergence in probability) ile tanımlanır.

U_n

rassal değişkeninin büyük bir değer (

n

) alma olasılığı (

1/n^2

) çok hızlı bir şekilde sıfıra gittiği için

U_n

olasılıkta 0'a yakınsar. Büyük Sayılar Yasası gereği

\bar{X}_n

de olasılıkta

\theta

'ya yakınsar. Bu ikisinin toplamı olan

T_n

, olasılıkta

\theta

'ya yakınsadığı için tutarlıdır. Aynı zamanda

E(T_n) = \theta + 1/n \to \theta

olduğundan asimptotik yansızdır. Ancak,

U_n

'nin varyansı karesel sapmalardan dolayı 1'e yakınsadığı için, toplam MSE değeri 1 olur ve sıfıra yakınsamaz. Bu özel kurgu, MSE'nin sıfıra gitmesinin tutarlılık için yeter koşul olduğunu ancak gerek koşul olmadığını kanıtlayan klasik bir örnektir.

Step-by-Step Solution

T_n

'nin beklenen değerini ve asimptotik yansızlığını hesaplayın.

E(U_n) = n \cdot (1/n^2) + 0 \cdot (1 - 1/n^2) = 1/n

. Dolayısıyla

E(T_n) = E(\bar{X}_n) + E(U_n) = \theta + 1/n

. Limit alındığında

\lim_{n \to \infty} E(T_n) = \theta

olur. Tahmin edici asimptotik yansızdır.

Yansızlık durumunu ve asimptotik özelliklerini belirlemek.

T_n

'nin varyansını ve Ortalama Hata Karesini (MSE) hesaplayın.

E(U_n^2) = n^2 \cdot (1/n^2) + 0 = 1

. Buradan

Var(U_n) = 1 - (1/n)^2

T_n

'nin varyansı:

Var(T_n) = \frac{\sigma^2}{n} + 1 - \frac{1}{n^2}

. Limit alındığında varyans 1'e gider.

MSE(T_n) = Var(T_n) + [Yan]^2 = \frac{\sigma^2}{n} + 1 \to 1

Tutarlılık için yeter koşul olan MSE'nin sıfıra gidip gitmediğini kontrol etmek.

T_n

'nin olasılıkta yakınsamasını (tutarlılığını) temel tanımdan inceleyin.

Olasılıkta yakınsama için

P(|U_n| > \epsilon)

limitine bakılır.

\epsilon > 0

için

P(|U_n| > \epsilon) \le P(U_n = n) = 1/n^2 \to 0

. O halde

U_n \xrightarrow{p} 0

\bar{X}_n \xrightarrow{p} \theta

olduğundan, toplamları

T_n \xrightarrow{p} \theta

olur.

MSE sıfıra gitmediğinde tahmin edicinin hala tutarlı olup olamayacağını zayıf tutarlılık (olasılıkta yakınsama) tanımıyla doğrulamak.

Key Concept

Tutarlılık (Consistency) ve Ortalama Hata Karesi (MSE) İlişkisi

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic