Bir araştırmacı, bağımlı değişken Y ile iki bağımsız değişken (X_1 ve X_2) arasındaki iliş… — KPSS İstatistik

Bir araştırmacı, bağımlı değişken $Y$ ile iki bağımsız değişken ( $X_1$ ve $X_2$ ) arasındaki ilişkiyi incelemek için bir çoklu doğrusal regresyon modeli kuracaktır. Analiz öncesinde tüm değişkenler standartlaştırılarak ortalamaları 0 ve varyansları 1 hâline getirilmiştir. Değişkenler arasındaki basit (ikili) korelasyon katsayıları aşağıda verilmiştir:

- $Y$ ile $X_1$ arasındaki korelasyon: $r_{Y, X_1} = 0.70$
- $Y$ ile $X_2$ arasındaki korelasyon: $r_{Y, X_2} = 0.50$
- $X_1$ ile $X_2$ arasındaki korelasyon: $r_{X_1, X_2} = 0.50$

Araştırmacı, standartlaştırılmış değişkenler üzerinden $Z_Y = \beta_1^* Z_{X_1} + \beta_2^* Z_{X_2} + \varepsilon$ modelini tahmin etmiştir.

Buna göre, tahmin edilen standartlaştırılmış regresyon katsayıları ( $\beta_1^*$ ve $\beta_2^*$ ) ve değişkenlerin bağıl önemleri hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A
$\beta_1^* = 0.70$ ve $\beta_2^* = 0.50$ 'dir; standartlaştırma işlemi kısmi etkileri ortadan kaldırdığı için katsayılar doğrudan ikili korelasyon değerlerine eşittir.
$\beta_1^* = 0.60$ ve $\beta_2^* = 0.20$ 'dir; $X_1$ değişkeninin $Y$ üzerindeki bağıl (göreli) önemi $X_2$ 'den daha yüksektir.Answer
C
$\beta_1^* = 0.95$ ve $\beta_2^* = 0.75$ 'tir; bağımsız değişkenler arasındaki pozitif korelasyon, standartlaştırılmış katsayıların EKK tahmincilerinde sapmaya yol açarak değerlerini şişirmiştir.
D
$\beta_1^* = 0.35$ ve $\beta_2^* = 0.25$ 'tir; standartlaştırılmış katsayılar modelin açıklama gücünü ( $R^2$ ) yansıttığından, bu katsayılar $Y$ üzerindeki kesin nedensel etkinin büyüklüğünü kanıtlar.
E
$\beta_1^* = 1.20$ ve $\beta_2^* = 1.00$ 'dır; katsayılar 1'den büyük çıktığı için, $X_1$ değişkeninin modele dâhil edilmesi basit regresyondaki etkisini bağımsız bir şekilde ikiye katlamıştır.

Answer

Standartlaştırılmış katsayılar sırasıyla 0.60 ve 0.20'dir;

X_1

'in bağıl önemi

X_2

'den daha yüksektir.

Çoklu doğrusal regresyonda standartlaştırılmış regresyon katsayıları (Beta), değişkenler farklı ölçü birimlerine sahip olduğunda 'birimden arındırılmış' hâle getirilerek bağıl (göreli) önemlerini karşılaştırmak için kullanılır. İki bağımsız değişkenli bir modelde bu katsayılar basit korelasyonlar üzerinden

\beta_1^* = \frac{r_{Y,X_1} - r_{Y,X_2}r_{X_1,X_2}}{1 - r_{X_1,X_2}^2}

formülüyle hesaplanır. Değerler yerine konduğunda

\beta_1^* = \frac{0.70 - 0.25}{0.75} = 0.60

\beta_2^* = \frac{0.50 - 0.35}{0.75} = 0.20

bulunur. Standartlaştırılmış katsayıların mutlak değeri dikkate alınarak

|0.60| > |0.20|

olduğu için

X_1

değişkeninin bağıl öneminin daha yüksek olduğu sonucuna varılır.

Step-by-Step Solution

Standartlaştırılmış regresyon katsayılarını (

\beta^*

) hesaplamak için basit korelasyon matrisi formüllerini belirleyin.

\beta_1^* = \frac{r_{Y,X_1} - r_{Y,X_2}r_{X_1,X_2}}{1 - r_{X_1,X_2}^2}

\beta_2^* = \frac{r_{Y,X_2} - r_{Y,X_1}r_{X_1,X_2}}{1 - r_{X_1,X_2}^2}

formülleri kullanılmalıdır.

Bağımsız değişkenler arasında korelasyon olduğu için (

r_{X_1,X_2} \neq 0

), kısmi etkiler basit korelasyonlardan farklılaşır.

Verilen korelasyon değerlerini formülde yerine koyarak

\beta_1^*

değerini hesaplayın.

\beta_1^* = \frac{0.70 - (0.50)(0.50)}{1 - (0.50)^2} = \frac{0.70 - 0.25}{1 - 0.25} = \frac{0.45}{0.75} = 0.60

Bu işlem,

X_2

'nin dolaylı etkisi arındırıldıktan sonra

X_1

'in

Y

üzerindeki saf (kısmi) etkisini verir.

Aynı yöntemi kullanarak

\beta_2^*

değerini hesaplayın.

\beta_2^* = \frac{0.50 - (0.70)(0.50)}{1 - (0.50)^2} = \frac{0.50 - 0.35}{0.75} = \frac{0.15}{0.75} = 0.20

Bu sayede

X_2

'nin de

Y

üzerindeki standartlaştırılmış kısmi etkisi bulunmuş olur.

Hesaplanan katsayıların mutlak değerlerini karşılaştırarak bağıl önemi belirleyin.

|0.60| > |0.20|

olduğundan,

X_1

değişkeninin

Y

üzerindeki bağıl (göreli) önemi daha yüksektir.

Standartlaştırılmış (birimden arındırılmış) katsayıların mutlak büyüklüğü, bağımsız değişkenlerin modele olan göreli katkısını (önemini) gösterir.

Key Concept

Standartlaştırılmış Regresyon Katsayılarının Korelasyon Matrisi ile Hesaplanması ve Bağıl Önem

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics