Kitle ortalaması \mu ve varyansı \sigma^2 < \infty olan bir ana kütleden n hacimli bir ras… — KPSS İstatistik

Kitle ortalaması $\mu$ ve varyansı $\sigma^2 < \infty$ olan bir ana kütleden $n$ hacimli bir rastgele örneklem çekilmiştir. $\mu$ parametresini tahmin etmek amacıyla önerilen $T_n = \frac{\sum_{i=1}^n X_i + 1}{n}$ tahmin edicisinin asimptotik davranışları dikkate alındığında, tutarlılık (consistency) özelliği ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Yanlı bir tahmin edicidir ancak örneklem hacmi sonsuza giderken hata kareler ortalaması sıfıra yaklaştığı için tutarlıdır.Answer
B
Yansız bir tahmin edicidir ve varyansı sıfıra yaklaştığı için tutarlı bir tahmin edicidir.
C
Yanlı bir tahmin edicidir ve yanlılık terimi örneklem hacminden bağımsız olduğu için tutarsızdır.
D
Beklenen değeri parametreye eşit olmadığı için olasılıkta yakınsama şartını sağlamaz ve tutarsızdır.
E
Sadece kitle varyansının sıfır olduğu özel durumda tutarlı hale gelir, aksi halde tutarsızdır.

Answer

Önerilen tahmin edici yanlıdır fakat örneklem hacmi sonsuza giderken hata kareler ortalaması sıfıra yaklaştığı için tutarlıdır.

Tahmin edicinin beklenen değeri

\mu + 1/n

olduğu için

n

değerinin her sonlu seçimi için yanlıdır. Ancak

n \rightarrow \infty

iken beklenen değer

\mu

değerine yakınsar ve varyansı

\sigma^2/n

de sıfıra gider. Bu iki durum Hata Kareler Ortalamasının (MSE) sıfıra gitmesini sağlar, bu da tutarlılık için yeterli bir şarttır.

Step-by-Step Solution

Tahmin edicinin beklenen değerini hesaplayın.

E(T_n) = E\left(\frac{\sum X_i + 1}{n}\right) = \frac{1}{n} [E(\sum X_i) + 1] = \frac{n\mu + 1}{n} = \mu + \frac{1}{n}

Yansızlık ve asimptotik yansızlık durumunu belirlemek için beklenen değer hesaplanmalıdır.

Tahmin edicinin varyansını hesaplayın.

Var(T_n) = Var\left(\frac{\sum X_i + 1}{n}\right) = \frac{1}{n^2} Var(\sum X_i + 1) = \frac{1}{n^2} (n\sigma^2) = \frac{\sigma^2}{n}

Tutarlılık için varyansın örneklem hacmi arttıkça davranışını incelemek gerekir.

Hata Kareler Ortalamasının (MSE) limitini kontrol edin.

MSE(T_n) = Var(T_n) + [Bias(T_n)]^2 = \frac{\sigma^2}{n} + \left(\frac{1}{n}\right)^2

n \rightarrow \infty

iken

MSE(T_n) \rightarrow 0

Bir tahmin edicinin MSE'sinin sıfıra gitmesi, o tahmin edicinin parametreye olasılıkta yakınsadığını (tutarlı olduğunu) gösteren yeterli bir koşuldur.

Key Concept

Bir tahmin edicinin tutarlı olması için örneklem hacmi sonsuza giderken parametreye olasılıkta yakınsaması gerekir (

T_n \xrightarrow{P} \theta

). Eğer

MSE(T_n) \rightarrow 0

ise bu koşul sağlanır.

Estimated Time:1m 30s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic