Aralık Tahmini Practice Questions — KPSS İstatistik — Page 3

Question 41Question →

Bir kamu bankasının insan kaynakları departmanı, iki farklı şubesinde görev yapan müşteri temsilcilerinin bir kredi başvurusunu sonuçlandırma sürelerini (dakika) incelemektedir. A Şubesinden rastgele seçilen $n_A = 9$ temsilcinin sonuçlandırma süreleri ortalaması $\bar{x}_A = 82$ dakika ve varyansı $S_A^2 = 66$ 'dır. B Şubesinden rastgele seçilen $n_B = 16$ temsilcinin sonuçlandırma süreleri ortalaması $\bar{x}_B = 74$ dakika ve varyansı $S_B^2 = 20$ 'dir.

Her iki şubedeki başvuru sonuçlandırma sürelerinin normal dağıldığı ve kitle varyanslarının eşit olduğu varsayılmaktadır.
*(Tablo değerleri: $Z_{0,025} = 1,96$ ; $t_{0,025; 23} = 2,069$ ; $t_{0,025; 25} = 2,060$ )*

Buna göre, iki şubedeki temsilcilerin başvuru sonuçlandırma süreleri ortalamaları arasındaki fark ( $\mu_A - \mu_B$ ) için %95 güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

[2,83; 13,17]

[1,94; 14,06]

[3,10; 12,90]

[2,85; 13,15]

[2,57; 13,43]

Show answer & explanation

Answer: $[2,83; 13,17]$

Answer

İki kitle ortalaması farkı için hesaplanan %95 güven aralığı

[2,83; 13,17]

'dir.

Varyanslar eşit varsayıldığından önce ortak varyans

S_p^2 = 36

olarak hesaplanmıştır. Ardından

df=23

için

t=2,069

kritik değeri kullanılarak standart hata

(2,5)

ile çarpılmış ve hata payı

5,1725

bulunmuştur. Ortalamalar farkı

8

olduğundan

8 \pm 5,1725

işlemi sonucu

[2,83; 13,17]

aralığına ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Serbestlik derecesini (df) belirleyin.

df = n_A + n_B - 2 = 9 + 16 - 2 = 23

. Kritik tablo değeri

t_{0,025; 23} = 2,069

olarak seçilir.

Varyanslar bilinmediğinde ve eşit kabul edildiğinde, iki bağımsız örneklem için serbestlik derecesi formülü uygulanır.

2

Ortak varyansı (

S_p^2

) hesaplayın.

S_p^2 = \frac{(n_A-1)S_A^2 + (n_B-1)S_B^2}{n_A + n_B - 2} = \frac{(8)(66) + (15)(20)}{23} = \frac{528 + 300}{23} = \frac{828}{23} = 36

.

Kitle varyansları eşit varsayıldığından her iki örneklemden elde edilen varyanslar ağırlıklı ortalama yöntemiyle havuzlanmalıdır.

3

Standart hatayı hesaplayın.

Standart Hata =

\sqrt{S_p^2 (\frac{1}{n_A} + \frac{1}{n_B})} = \sqrt{36 (\frac{1}{9} + \frac{1}{16})} = \sqrt{36 (\frac{25}{144})} = \sqrt{\frac{900}{144}} = \sqrt{6,25} = 2,5

.

Ortalamalar farkının standart sapmasını bulmak için ortak varyans ve örneklem büyüklükleri kullanılır.

4

Güven aralığı sınırlarını (ME) hesaplayın.

Hata Payı (ME) =

t \times

Standart Hata =

2,069 \times 2,5 = 5,1725

.

\bar{x}_A - \bar{x}_B = 82 - 74 = 8

. Aralığın sınırları:

8 \pm 5,1725

, yani yaklaşık

[2,83; 13,17]

.

Nokta tahmininden (

\bar{x}_A - \bar{x}_B

) hata payı çıkarılıp toplanarak güven aralığı oluşturulur.

Key Concept

İki Kitle Ortalamaları Farkı İçin Güven Aralığı (Ortak Varyans Kullanımı)

Question 42Question →

Bir enerji araştırma merkezi, iki farklı teknolojiyle üretilen güneş panellerinin (A Tipi ve B Tipi) günlük enerji üretim miktarlarındaki değişkenliği karşılaştırmak istemektedir. Panellerin günlük enerji üretimlerinin bağımsız ve normal dağılıma sahip olduğu varsayılmaktadır.

Merkez, A Tipi panellerden rastgele $n_1 = 10$ günlük bir örneklem almış ve örneklem varyansını $S_1^2 = 45$ olarak hesaplamıştır. B Tipi panellerden ise rastgele $n_2 = 13$ günlük bir örneklem almış ve örneklem varyansını $S_2^2 = 15$ olarak hesaplamıştır.

Buna göre, kitle varyansları oranı $\left(\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}\right)$ için %90 güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

(Kritik değerler: $F_{0,05; 9, 12} = 2,80$ , $F_{0,05; 12, 9} = 3,07$ , $Z_{0,05} = 1,645$ , $t_{0,05; 21} = 1,72$ )

\left[ \frac{3}{2,80}, \; 3 \times 3,07 \right]

\left[ \frac{1}{3 \times 3,07}, \; \frac{2,80}{3} \right]

\left[ \frac{3}{1,645}, \; 3 \times 1,645 \right]

\left[ \frac{3}{3,07}, \; 3 \times 2,80 \right]

\left[ \frac{3}{1,72}, \; 3 \times 1,72 \right]

Show answer & explanation

Answer: $\left[ \frac{3}{2,80}, \; 3 \times 3,07 \right]$

Answer

Doğru aralık, örneklem varyansları oranı olan 3'ün F tablo değerleriyle formüle uygun şekilde çarpılıp bölündüğü [3 / 2,80 , 3 × 3,07] aralığıdır.

İki kitle varyansı oranı

\left(\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}\right)

için

1-\alpha

güven aralığı,

S_1^2 / S_2^2

oranının uygun F kritik değerleriyle işleme sokulmasıyla bulunur. Alt sınır için nokta tahmini

F_{\alpha/2; n_1-1, n_2-1}

değerine bölünür, üst sınır için ise nokta tahmini

F_{\alpha/2; n_2-1, n_1-1}

ile çarpılır. Verilen problemde nokta tahmini

45/15 = 3

'tür. Alt sınır

3 / 2,80

, üst sınır ise

3 \times 3,07

olmalıdır. Doğru seçenek bu matematiksel ifadeyi tam olarak yansıtmaktadır.

Step-by-Step Solution

1

Örneklem varyansları oranını (nokta tahmin edicisini) hesapla.

\frac{S_1^2}{S_2^2} = \frac{45}{15} = 3

İki kitle varyansı oranının en iyi nokta tahmin edicisi, örneklem varyanslarının oranıdır.

2

Serbestlik derecelerini ve anlamlılık düzeyini belirle.

v_1 = n_1 - 1 = 9

,

v_2 = n_2 - 1 = 12

. %90 güven düzeyi için

\alpha = 0,10

ve

\alpha/2 = 0,05

.

F dağılımında kullanılacak kritik tablo değerlerini doğru seçebilmek için pay ve payda serbestlik derecelerine ihtiyaç vardır.

3

Güven aralığının alt ve üst sınırlarını F dağılımı formülü ile hesapla.

Alt sınır:

3 \times \frac{1}{2,80}

, Üst sınır:

3 \times 3,07

Varyans oranının güven aralığı formülü

\left[ \frac{S_1^2}{S_2^2} \frac{1}{F_{\alpha/2; v_1, v_2}}, \; \frac{S_1^2}{S_2^2} F_{\alpha/2; v_2, v_1} \right]

şeklindedir.

Key Concept

İki bağımsız normal dağılımlı kitlenin varyansları oranına ait aralık tahmini, F dağılımı (pivot fonksiyonu) temel alınarak elde edilir.

Question 43Question →

Milli Eğitim Bakanlığı (MEB) Ölçme, Değerlendirme ve Sınav Hizmetleri Genel Müdürlüğü uzmanları, yeni geliştirilen lise düzeyindeki bir matematik yetenek testinin tamamlanma süresinin kitle ortalamasını ( $\mu$ ) tahmin etmek istemektedir. Bu amaçla rastgele seçilen $n=16$ öğrenciye test uygulanmış ve öğrencilerin testi tamamlama sürelerinin örneklem ortalaması $\bar{x} = 45$ dakika, örneklem standart sapması ise $s = 8$ dakika olarak hesaplanmıştır.

Testi tamamlama sürelerinin normal dağılıma sahip olduğu ve kitle varyansının bilinmediği varsayımı altında, kitle ortalaması $\mu$ için %95 güven düzeyindeki aralık tahmini ve bu aralığın frekansçı (frequentist) yorumu aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

(Tablo değerleri: $Z_{0.025} = 1.960$ , $t_{(15, 0.025)} = 2.131$ , $t_{(16, 0.025)} = 2.120$ , $t_{(15, 0.05)} = 1.753$ )

(41.080, \; 48.920)

/ Gerçek kitle ortalamasının hesaplanan bu aralığa düşme olasılığı tam olarak %95'tir.

(40.738, \; 49.262)

/ Gerçek kitle ortalamasının hesaplanan bu spesifik aralıkta bulunma olasılığı %95'tir.

(40.760, \; 49.240)

/ Aynı hacimli tekrarlı örneklemlerden elde edilecek tüm örneklem ortalamalarının %95'i bu aralıktadır.

(40.738, \; 49.262)

/ Bu tahmin yöntemiyle elde edilecek çok sayıdaki güven aralığının yaklaşık %95'i gerçek kitle ortalamasını kapsar.

(41.080, \; 48.920)

/ Bu tahmin yöntemiyle elde edilecek çok sayıdaki güven aralığının yaklaşık %95'i gerçek kitle ortalamasını kapsar.

Show answer & explanation

Answer: $(40.738, \; 49.262)$ / Bu tahmin yöntemiyle elde edilecek çok sayıdaki güven aralığının yaklaşık %95'i gerçek kitle ortalamasını kapsar.

Answer

Doğru seçenek; aralık sınırlarının t-dağılımı (sd=15) kullanılarak

(40.738, 49.262)

bulunduğu ve güven düzeyinin 'bu yöntemle oluşturulacak çok sayıdaki aralığın kitle ortalamasını kapsama oranı' olarak yorumlandığı seçenektir.

Verilen problemde kitle varyansı bilinmediği için n-1 (16-1=15) serbestlik dereceli Student-t dağılımı kullanılmalıdır. İlgili t tablo değeri 2.131'dir. Hata marjı 2.131 * (8/4) = 4.262 olarak hesaplanır ve bu değer 45'e eklenip çıkarılarak (40.738, 49.262) aralığı bulunur. İstatistiksel frekansçı yaklaşıma göre %95 güven düzeyi, oluşturulan bu aralıkların uzun vadede %95'inin kitle ortalamasını barındıracağı anlamına gelir; bu nedenle ilgili yorum tamamen doğrudur.

Step-by-Step Solution

1

Örneklem verilerinin tanımlanması ve uygun dağılımın belirlenmesi.

n=16

,

\bar{x}=45

ve

s=8

. Kitle varyansı (

\sigma^2

) bilinmediğinden, tahmin için standart normal dağılım (Z) yerine

n-1 = 15

serbestlik dereceli Student-t dağılımı kullanılmalıdır.

Varyans bilinmediğinde örneklem standart sapması (

s

) kullanılır ve bu durum küçük örneklemlerde t-dağılımını gerektirir.

2

Kritik t-değerinin ve standart hatanın (SH) hesaplanması.

%95 güven düzeyi (

\alpha = 0.05

) için çift yönlü tablo değeri

t_{(15, 0.025)} = 2.131

'dir. Standart hata ise

SH = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{8}{\sqrt{16}} = \frac{8}{4} = 2

olarak bulunur.

Güven aralığının genişliğini belirleyen hata marjı, kritik değer ile standart hatanın çarpımına eşittir.

3

Güven aralığı alt ve üst sınırlarının hesaplanması.

Sınırlar

= \bar{x} \pm t_{(15, 0.025)} \times SH = 45 \pm (2.131 \times 2) = 45 \pm 4.262

. Buradan alt sınır

40.738

ve üst sınır

49.262

olarak elde edilir.

Nokta tahmininden (örneklem ortalaması) hata marjı çıkarılarak alt sınır, eklenerek üst sınır bulunur.

4

Güven aralığının frekansçı (frequentist) teoride yorumlanması.

Klasik istatistikte

\mu

sabit bir değerdir. Bu nedenle '

\mu

'nün hesaplanan bu aralığa düşme olasılığı %95'tir' denemez. Doğru yorum: Aynı yöntemle sayısız örneklem çekilip aralıklar oluşturulduğunda, bu aralıkların %95'i gerçek

\mu

'yü içerecektir.

Olasılık parametreye değil, sonsuz tekrarlı örnekleme sürecinden elde edilen güven sınırları dizisine aittir.

Key Concept

Tek Kitle Ortalaması İçin Güven Aralığı ve Yorumu

Question 44Question →

Bir Sosyal Güvenlik Kurumu (SGK) il müdürlüğü, sisteme kayıtlı olan serbest meslek sahiplerinin prim ödemelerini düzenli olarak otomatik ödeme talimatıyla yapıp yapmadıklarını incelemektedir. Rastgele seçilen $6400$ serbest meslek sahibinin $1280$ 'inin prim ödemelerini otomatik ödeme talimatıyla gerçekleştirdiği tespit edilmiştir.

Buna göre, bu ildeki serbest meslek sahipleri arasında otomatik ödeme talimatı kullananların gerçek kitle oranı için $\%95$ güven düzeyindeki güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
(Gerektiğinde $Z_{0.025} = 1.96$ ve $Z_{0.05} = 1.645$ değerlerini kullanınız.)

[0.1902, \ 0.2098]

[0.1918, \ 0.2082]

[0.1890, \ 0.2110]

[0.7902, \ 0.8098]

[0.1961, \ 0.2039]

Show answer & explanation

Answer: $[0.1902, \ 0.2098]$

Answer

Doğru güven aralığı

[0.1902, \ 0.2098]

değerlerini içeren seçenektir.

Verilen problemde örneklem hacmi

n = 6400

, örneklem başarısı

x = 1280

'dir. Örneklem oranı

\hat{p} = \frac{1280}{6400} = 0.20

olarak hesaplanır.

\%95

güven aralığı için anlamlılık düzeyi

\alpha=0.05

'tir ve iki yönlü aralık formülüne göre

Z_{\alpha/2} = Z_{0.025} = 1.96

değeri kritik değer olarak alınmalıdır. Örneklem oranının standart hatası

S.H. = \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = \sqrt{\frac{0.20 \times 0.80}{6400}} = \sqrt{0.000025} = 0.005

olarak elde edilir. Hata payı

E = 1.96 \times 0.005 = 0.0098

olur. Aralığın sınırları

0.20 \pm 0.0098

işleminden

[0.1902, \ 0.2098]

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Örneklem oranını (

\hat{p}

) hesapla.

\hat{p} = \frac{1280}{6400} = 0.20

Kitle oranını tahmin etmek için örneklemdeki ilgilenilen özelliğe sahip birim sayısının toplam örneklem hacmine bölünmesi gerekir.

2

Kritik tablo değerini (

Z_{\alpha/2}

) belirle.

\%95

güven düzeyi için

\alpha = 0.05

ve

Z_{\alpha/2} = Z_{0.025} = 1.96

bulunur.

İki yönlü bir güven aralığı oluşturulduğu için anlamlılık düzeyi (

\alpha

) ikiye bölünmelidir.

3

Örneklem oranının standart hatasını (

S_{\hat{p}}

) hesapla.

S_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = \sqrt{\frac{0.20 \times 0.80}{6400}} = \sqrt{\frac{0.16}{6400}} = \sqrt{0.000025} = 0.005

Büyük örneklemlerde oran tahmini için standart hata varyansın kök içine alınmasıyla elde edilir.

4

Hata payını (Marj) ve güven aralığı sınırlarını oluştur.

Hata Payı =

1.96 \times 0.005 = 0.0098

. Alt sınır:

0.20 - 0.0098 = 0.1902

, Üst sınır:

0.20 + 0.0098 = 0.2098

. Güven aralığı:

[0.1902, \ 0.2098]

Güven aralığı

\hat{p} \pm Z_{\alpha/2} \times S_{\hat{p}}

formülü ile bulunur.

Key Concept

Tek Kitle Oranı İçin Asimptotik Güven Aralığı

Question 45Question →

Bir büyükşehir belediyesi su ve kanalizasyon idaresi, altyapıda kullanılan belirli bir tip su pompasının arızalanana kadar geçen çalışma süresini (bin saat cinsinden) incelemektedir. Pompaların çalışma süresinin $f(x;\theta) = \frac{1}{\theta} e^{-x/\theta}, \ (x > 0, \ \theta > 0)$ olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip üstel dağılıma uyduğu bilinmektedir.

İdare, rastgele seçilen çok sayıda ( $n$ hacimli, $n \to \infty$ ) pompanın çalışma sürelerini gözlemlemiş ve örneklem ortalamasını $\bar{x}$ olarak hesaplamıştır.

Buna göre, ortalama çalışma süresi olan $\theta$ parametresi için $100(1-\alpha)\%$ güven düzeyindeki asimptotik (büyük örneklem) güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\bar{x}}{\sqrt{n}}

\bar{x} \pm t_{n-1, \alpha/2} \frac{\bar{x}}{\sqrt{n}}

\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\theta}{\sqrt{n}}

\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\bar{x}}{n}}

\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\bar{x}^2}{n}

Show answer & explanation

Answer: $\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\bar{x}}{\sqrt{n}}$

Answer

Doğru asimptotik güven aralığı, sınırlarında standart normal dağılım kritik değerini ve doğru hesaplanmış standart hatayı içeren

\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\bar{x}}{\sqrt{n}}

formülüdür.

Büyük örneklemlerde, en çok olabilirlik tahmin edicisinin (

\hat{\theta}=\bar{x}

) asimptotik dağılımı

N(\theta, \frac{1}{n I(\theta)})

'dır. Üstel dağılım için

I(\theta) = 1/\theta^2

olduğundan asimptotik varyans

\theta^2/n

'dir. Standart hata için karekök alınır ve

\theta

yerine

\bar{x}

konularak

\bar{x}/\sqrt{n}

bulunur. Dağılım asimptotik normal olduğu için

z_{\alpha/2}

çarpanı kullanılır.

Step-by-Step Solution

1

Verilen dağılım için en çok olabilirlik tahmin edicisini (MLE) belirleyin.

Üstel dağılımda

f(x;\theta) = \frac{1}{\theta} e^{-x/\theta}

için

\theta

'nın en çok olabilirlik tahmin edicisi örneklem ortalaması olan

\hat{\theta} = \bar{x}

'tir.

Asimptotik güven aralıkları genellikle MLE'nin asimptotik normallik özelliğine dayanarak oluşturulur.

2

Fisher Bilgi (Information) matrisini kullanarak tahmin edicinin asimptotik varyansını hesaplayın.

Tek bir gözlem için Fisher Bilgi değeri

I(\theta) = \frac{1}{\theta^2}

'dir.

n

hacimli örneklem için MLE'nin asimptotik varyansı

\frac{1}{n I(\theta)} = \frac{\theta^2}{n}

olur.

Güven sınırlarını belirlerken tahmin edicinin yayılımını (varyansını) bilmek gerekir.

3

Bilinmeyen parametre yerine tahmin edicisini koyarak tahmini standart hatayı bulun.

Varyans

\frac{\theta^2}{n}

olduğundan standart hata

\frac{\theta}{\sqrt{n}}

'dir.

\theta

yerine

\hat{\theta} = \bar{x}

yazıldığında tahmini standart hata

\frac{\bar{x}}{\sqrt{n}}

elde edilir.

Güven sınırlarının sadece bilinen örneklem istatistiklerinden oluşması için bilinmeyen parametre asimptotik yaklaşımla tahmin edicisi ile değiştirilir.

4

Asimptotik normallik teoremine göre aralığı oluşturun.

\bar{x} \sim N(\theta, \frac{\bar{x}^2}{n})

asimptotik yaklaşımı ile

100(1-\alpha)\%

güven aralığı

\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\bar{x}}{\sqrt{n}}

olarak bulunur.

Büyük örneklemlerde Merkezi Limit Teoremi ve MLE asimptotik özellikleri gereği Z standart normal dağılımı kullanılır.

Key Concept

En Çok Olabilirlik Tahmin Edicilerinin Asimptotik Dağılımı ve Güven Aralıkları

Question 46Question →

Enerji Piyasası Düzenleme Kurumu (EPDK) uzmanları, yeni kurulan bir rüzgâr enerjisi santralinin günlük elektrik üretimindeki değişkenliği incelemektedir. Bu amaçla santralin rastgele seçilen $16$ günlük elektrik üretim miktarları (MWh cinsinden) kaydedilmiş ve aşağıdaki istatistikler hesaplanmıştır:

$\sum_{i=1}^{16} x_i = 480$

$\sum_{i=1}^{16} x_i^2 = 14.850$

Günlük üretim miktarlarının normal dağıldığı varsayımı altında, santralin günlük elektrik üretim varyansı ( $\sigma^2$ ) için $\%90$ güven düzeyindeki aralık tahmini aşağıdakilerden hangisidir?

( $\chi^2$ tablo değerleri: $\chi^2_{0,05; 15} = 25$ ; $\chi^2_{0,95; 15} = 7,5$ ; $\chi^2_{0,05; 16} = 26,3$ ; $\chi^2_{0,95; 16} = 7,9$ )

[1,2 \, ; \, 4,0]

[17,11 \, ; \, 56,96]

[18 \, ; \, 60]

[594 \, ; \, 1.980]

[3.375 \, ; \, 11.250]

Show answer & explanation

Answer: $[18 \, ; \, 60]$

Answer

Doğru güven aralığı

[18 \, ; \, 60]

olarak hesaplanmaktadır.

Kitle ortalaması bilinmediğinde, tek kitle varyansı için

\%100(1-\alpha)

güven aralığı

\left[ \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2, n-1}} , \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2, n-1}} \right]

formülüyle hesaplanır. Soruda verilen ham momentler üzerinden

(n-1)S^2 = \sum x_i^2 - n\bar{x}^2 = 450

bulunur. Alt sınır için

450/25 = 18

, üst sınır için

450/7,5 = 60

elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Örneklem ortalamasını (

\bar{x}

) hesaplayın.

\bar{x} = \frac{480}{16} = 30

Hata kareler toplamını (sapmaların kareleri toplamını) bulabilmek için örneklem ortalamasına ihtiyaç vardır.

2

Hata kareler toplamını (

\sum (x_i - \bar{x})^2

) hesaplayın. Bu değer aynı zamanda

(n-1)S^2

ifadesine eşittir.

(n-1)S^2 = \sum x_i^2 - n\bar{x}^2 = 14.850 - 16(30)^2 = 14.850 - 16(900) = 14.850 - 14.400 = 450

Tek kitle varyansı güven aralığı formülünün pay kısmı

(n-1)S^2

değeridir.

3

Serbestlik derecesini belirleyin ve ilgili Ki-kare tablo değerlerini seçin.

Serbestlik derecesi

\nu = n - 1 = 16 - 1 = 15

. Tablo değerleri:

\chi^2_{0,05; 15} = 25

ve

\chi^2_{0,95; 15} = 7,5

.

Kitle ortalaması bilinmediği için serbestlik derecesi

(n-1)

olmalıdır.

4

Güven aralığı formülünü uygulayın:

\left[ \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{0,05; 15}} , \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{0,95; 15}} \right]

Alt sınır:

\frac{450}{25} = 18

Üst sınır:

\frac{450}{7,5} = 60

Aralık:

[18 \, ; \, 60]

Varyansın alt sınırını bulmak için büyük Ki-kare değerine, üst sınırını bulmak için küçük Ki-kare değerine bölünmesi gerekir.

Key Concept

Tek kitle varyansı için güven aralığı oluşturulurken hata kareler toplamının

(n-1)S^2

bulunması ve

(n-1)

serbestlik dereceli Ki-kare dağılımının kullanılması.

Question 47Question →

Orman Genel Müdürlüğü (OGM) araştırmacıları, endüstriyel plantasyon alanlarındaki belirli bir çam türü fidanlarının boy uzama miktarlarındaki değişkenliği incelemektedir. Normal dağılım gösterdiği bilinen bu kitleyi temsilen rastgele seçilen $25$ fidanın boy uzama miktarları ölçülmüş ve örneklem standart sapması $6\text{ cm}$ olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, fidanların boy uzama miktarlarının kitle varyansı ( $\sigma^2$ ) için $\%90$ güven düzeyindeki aralık tahmini aşağıdakilerden hangisidir?

(Hesaplamalarınızda tablo değerlerini $\chi^2_{0,05; 24} = 36,4$ , $\chi^2_{0,95; 24} = 13,8$ ve $Z_{0,05} = 1,645$ olarak alınız. Sonuçları bir ondalık basamağa yuvarlayınız.)

[23,7 \, ; \, 62,6]

[62,6 \, ; \, 23,7]

[24,7 \, ; \, 65,2]

[4,0 \, ; \, 10,4]

[34,0 \, ; \, 38,0]

Show answer & explanation

Answer: $[23,7 \, ; \, 62,6]$

Answer

Doğru aralık

[23,7 \, ; \, 62,6]

olarak hesaplanmıştır.

Kitle varyansı için güven aralığı oluştururken

\frac{(n-1)S^2}{\chi^2}

formülü kullanılır. Sınırlar hesaplanırken; alt sınır için payda kısmına

\chi^2_{\alpha/2}

(

36,4

), üst sınır için payda kısmına

\chi^2_{1-\alpha/2}

(

13,8

) yazılır. Pay kısmı

(25-1) \times 6^2 = 864

bulunur. Buradan sınırlar

864 / 36,4 \approx 23,7

ve

864 / 13,8 \approx 62,6

olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Verilen parametrelerin tanımlanması ve karesinin alınması.

Örneklem hacmi

n = 25

, standart sapma

S = 6 \implies S^2 = 36

, güven düzeyi

1 - \alpha = 0,90 \implies \alpha = 0,10

.

Varyans güven aralığı formülü standart sapmayı değil varyansı (

S^2

) gerektirir.

2

Serbestlik derecesinin ve ilgili Ki-kare tablo değerlerinin belirlenmesi.

Serbestlik derecesi

sd = n - 1 = 24

. Alt ve üst kuyruk için

\chi^2_{0,05; 24} = 36,4

ve

\chi^2_{0,95; 24} = 13,8

kullanılır.

Varyans tahmini asimetrik olan Ki-kare dağılımını temel alan bir pivot fonksiyonuna dayanır.

3

Güven aralığı formülünün pay kısmının hesaplanması.

Pay:

(n - 1)S^2 = 24 \times 36 = 864

.

Bu değer, güven aralığının alt ve üst sınırlarını bulmak için her iki tablo değerine bölünecek olan ortak paydır.

4

Alt ve üst sınırların formülde yerine konularak hesaplanması.

Alt Sınır:

864 / 36,4 \approx 23,7

. Üst Sınır:

864 / 13,8 \approx 62,6

. Güven aralığı:

[23,7 \, ; \, 62,6]

.

Büyük tablo değeri aralığın alt sınırını, küçük tablo değeri ise üst sınırını oluşturur.

Key Concept

Tek kitle varyansı için

(n-1)S^2/\chi^2

pivotunu kullanarak asimetrik güven aralığı oluşturma

Question 48Question →

Milli Eğitim Bakanlığı (MEB), ülke genelindeki devlet okullarında yeni dağıtılan dijital akıllı tahta yazılımının teknik bir sorun yaşanmadan tam entegre edilme oranını tahmin etmek istemektedir. Bu amaçla rastgele seçilen $2100$ okulda yapılan incelemelerde, $630$ okulun yazılımı hiçbir teknik aksaklık yaşamadan tam olarak entegre ettiği tespit edilmiştir.

Buna göre, akıllı tahta yazılımını sorunsuz bir şekilde entegre eden okulların gerçek kitle oranı için $\%95$ 'lik güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

(Hesaplamalarda standart normal dağılım kritik değerlerini $Z_{0.05} = 1.645$ , $Z_{0.025} = 1.96$ ve $Z_{0.005} = 2.575$ olarak alınız.)

[0.2836, \ 0.3165]

[0.2804, \ 0.3196]

[0.2766, \ 0.3234]

[0.2743, \ 0.3258]

[0.2998, \ 0.3002]

Show answer & explanation

Answer: $[0.2804, \ 0.3196]$

Answer

[0.2804, \ 0.3196]

aralığıdır.

Tek kitle oranı için büyük örneklemlerde güven aralığı

\hat{p} \pm Z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}

formülü ile hesaplanır. Verilen örneklemde

\hat{p} = \frac{630}{2100} = 0.30

olarak bulunur. Formüldeki kareköklü ifade (standart hata),

\sqrt{\frac{0.30 \times 0.70}{2100}} = 0.01

değerini verir.

\%95

güven düzeyi istendiği için çift yönlü test mantığıyla

Z_{\alpha/2} = Z_{0.025} = 1.96

kritik değeri seçilir.

0.30 \pm (1.96 \times 0.01) = 0.30 \pm 0.0196

işlemi yapılarak aralığın

[0.2804, \ 0.3196]

olduğu kesinleştirilir.

Step-by-Step Solution

1

Örneklem oranını (

\hat{p}

) hesapla.

\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{630}{2100} = 0.30

Kitle oranını tahmin edebilmek için öncelikle elimizdeki örnekleme ait başarı oranını nokta tahmin edici olarak bulmalıyız.

2

Oran için standart hatayı (

SE

) hesapla.

SE = \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = \sqrt{\frac{0.30 \times 0.70}{2100}} = \sqrt{\frac{0.21}{2100}} = \sqrt{0.0001} = 0.01

Büyük örneklem hacminde (np > 5 ve n(1-p) > 5 şartları sağlandığında) oran dağılımının standart sapmasını bulmak için bu formül kullanılır.

3

\%95

güven düzeyi için uygun kritik

Z

değerini belirle.

1 - \alpha = 0.95 \implies \alpha = 0.05

. Çift yönlü aralık için

Z_{\alpha/2} = Z_{0.025} = 1.96

kullanılır.

Güven aralığı simetrik olarak her iki yönde de hata payı bırakılarak oluşturulduğu için

\alpha

değeri ikiye bölünmelidir.

4

Hata payını (ME) hesapla ve aralığı oluştur.

Hata Payı

= 1.96 \times 0.01 = 0.0196

. Aralık

= 0.30 \pm 0.0196 \implies [0.2804, \ 0.3196]

Nokta tahmininden hata payı çıkarılarak alt sınır, eklenerek üst sınır elde edilir.

Key Concept

Tek Kitle Oranı İçin Asimptotik Güven Aralığı

Question 49Question →

Bir havacılık şirketinde, iki farklı uçuş rotasındaki (Kısa Mesafe ve Uzun Mesafe) rötar sürelerinin değişkenliği incelenmektedir.

Kısa Mesafe (K) rotasından rastgele seçilen $11$ uçuşun rötar sürelerine ait örneklem varyansı $S_K^2 = 50$ , Uzun Mesafe (U) rotasından rastgele seçilen $15$ uçuşun rötar sürelerine ait örneklem varyansı $S_U^2 = 20$ olarak hesaplanmıştır.

Uçuş rötar sürelerinin normal dağılıma sahip olduğu varsayımı altında, $\frac{\sigma_U^2}{\sigma_K^2}$ kitle varyansları oranı için $\%90$ güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
(İşlemlerde $F_{0,05; 10, 14} = 2,60$ ve $F_{0,05; 14, 10} = 2,86$ değerlerini kullanınız.)

\left[ \frac{0,4}{2,86}, \; 0,4 \times 2,60 \right]

\left[ \frac{0,4}{2,60}, \; 0,4 \times 2,86 \right]

\left[ \frac{0,4}{2,86}, \; \frac{0,4}{2,60} \right]

\left[ \frac{2,5}{2,60}, \; 2,5 \times 2,86 \right]

\left[ 0,4 \times 2,60, \; 0,4 \times 2,86 \right]

Show answer & explanation

Answer: $\left[ \frac{0,4}{2,86}, \; 0,4 \times 2,60 \right]$

Answer

\left[ \frac{0,4}{2,86}, \; 0,4 \times 2,60 \right]

aralığını veren seçenek doğrudur.

İki kitle varyansı oranı

\frac{\sigma_U^2}{\sigma_K^2}

için

\%90

güven aralığı hesaplanırken nokta tahmin edici

\frac{S_U^2}{S_K^2} = \frac{20}{50} = 0,4

olarak bulunur. Pivot fonksiyonu olan oran,

F

dağılımına sahiptir. Pay (U) için serbestlik derecesi

v_U = 15 - 1 = 14

ve payda (K) için

v_K = 11 - 1 = 10

'dur. Güven aralığının alt sınırı

\frac{S_U^2}{S_K^2} \times \frac{1}{F_{0,05; 14, 10}}

formülü ile

\frac{0,4}{2,86}

olarak hesaplanır. Üst sınır formülü olan

\frac{S_U^2}{S_K^2} \times \frac{1}{F_{0,95; 14, 10}}

, F dağılımının tersinme özelliği (

F_{1-\alpha; v_1, v_2} = \frac{1}{F_{\alpha; v_2, v_1}}

) kullanılarak

\frac{S_U^2}{S_K^2} \times F_{0,05; 10, 14}

haline getirilir ve bu da

0,4 \times 2,60

sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1

İstenen aralık için nokta tahmin edicisini hesaplamak.

\frac{S_U^2}{S_K^2} = \frac{20}{50} = 0,4

\frac{\sigma_U^2}{\sigma_K^2}

oranı için güven aralığı, örneklem varyansları oranı merkez alınarak kurgulanır.

2

Serbestlik derecelerini ve anlamlılık düzeyini belirlemek.

\alpha = 0,10 \implies \alpha/2 = 0,05

. Payın (U) serbestlik derecesi

v_U = 15 - 1 = 14

, paydanın (K) serbestlik derecesi

v_K = 11 - 1 = 10

.

F dağılımında kritik değerleri doğru okumak için pay ve payda serbestlik derecelerinin sırası kritik öneme sahiptir.

3

Güven aralığının alt sınırını formüle etmek.

Alt sınır:

\frac{S_U^2}{S_K^2} \times \frac{1}{F_{\alpha/2; v_U, v_K}} = \frac{0,4}{F_{0,05; 14, 10}} = \frac{0,4}{2,86}

Standart pivot fonksiyonu eşitsizliğinin çözümü sonucunda alt sınır formülü bu şekilde elde edilir.

4

Güven aralığının üst sınırını F dağılımının özelliği yardımıyla formüle etmek.

Üst sınır:

\frac{S_U^2}{S_K^2} \times \frac{1}{F_{1-\alpha/2; v_U, v_K}}

. Özellik gereği

F_{1-\alpha/2; v_U, v_K} = \frac{1}{F_{\alpha/2; v_K, v_U}}

olduğundan üst sınır

0,4 \times F_{0,05; 10, 14} = 0,4 \times 2,60

olur.

F dağılımı tabloları genellikle sadece sağ kuyruk (küçük

\alpha

) değerlerini içerdiğinden, tersinme (reciprocal) özelliği kullanılarak formül yeniden düzenlenir.

Key Concept

İki Kitle Varyansları Oranı İçin Güven Aralığı Formülasyonu

Question 50Question →

Bir kamu kurumunda evrak kayıt işlemlerini hızlandırmak amacıyla iki farklı veri giriş yazılımı (Yazılım A ve Yazılım B) test edilmektedir. Yazılımların işlem sürelerini karşılaştırmak için tesadüfi olarak seçilen işlemlerin sürelerine (saniye) ait özet bilgiler şu şekildedir:

* Yazılım A: $n_1 = 16$ , $\bar{x}_1 = 50$ saniye, $s_1^2 = 18$
* Yazılım B: $n_2 = 11$ , $\bar{x}_2 = 44$ saniye, $s_2^2 = 32$

Kitlelerin normal dağılıma sahip olduğu ve varyansların bilinmediği ancak eşit olduğu ( $\sigma_1^2 = \sigma_2^2$ ) varsayıldığında, iki yazılımın ortalama işlem süreleri arasındaki fark ( $\mu_1 - \mu_2$ ) için %95 güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
( $t_{0,025; 25} = 2,06$ alınız.)

[2,08; 9,92]

house

[1,86; 10,14]

house

[2,27; 9,73]

house

[1,96; 10,04]

house

[1,95; 10,05]

house

Show answer & explanation

Answer: $[2,08; 9,92]$ house

Answer

[2,08; 9,92]

aralığı, iki yazılımın ortalama işlem süreleri arasındaki farkı %95 güvenle temsil eder.

Verilen problemde kitle varyansları bilinmemekte ancak eşit kabul edilmektedir. Bu durumda

n_1 + n_2 - 2

serbestlik dereceli t-dağılımı ve ortak varyans (

s_p^2

) kullanılarak hesaplanan standart hata ile ulaşılan

[2,08; 9,92]

aralığı doğrudur.

Step-by-Step Solution

1

Serbestlik derecesini hesapla

df = n_1 + n_2 - 2 = 16 + 11 - 2 = 25

Varyanslar eşit ve bilinmiyorken t-dağılımı serbestlik derecesi bu formülle bulunur.

2

Ortak varyansı (

s_p^2

) hesapla

s_p^2 = \frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2} = \frac{(15 \times 18) + (10 \times 32)}{25} = \frac{270 + 320}{25} = 23,6

İki kitlenin varyansları eşit olduğunda, verileri birleştirerek daha hassas bir varyans tahmini elde edilir.

3

Standart hatayı (

SE

) hesapla

SE = \sqrt{s_p^2 \left(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}\right)} = \sqrt{23,6 \left(\frac{1}{16} + \frac{1}{11}\right)} = \sqrt{23,6 \times 0,1534} \approx 1,903

Farkın dağılımının yayılımını belirlemek için standart hata hesaplanır.

4

Hata payını (

ME

) ve güven aralığını oluştur

ME = t_{0,025; 25} \times SE = 2,06 \times 1,903 \approx 3,92

. Güven Aralığı:

(\bar{x}_1 - \bar{x}_2) \pm ME = (50 - 44) \pm 3,92 = [2,08; 9,92]

Ortalama farkına hata payı eklenip çıkarılarak güven sınırları belirlenir.

Key Concept

İki kitle ortalaması farkı için ortak varyans (pooled variance) temelli t-güven aralığı oluşturulması.

Estimated Time:2m 0s

Question 51Question →

Bir kamu araştırma kurumu, kırsal kalkınma planlaması kapsamında belirli bir bölgedeki köylerde bulunan ortalama traktör sayısını ( $\lambda$ ) incelemektedir. Köylerdeki traktör sayısının $\lambda$ parametreli Poisson dağılımına uyduğu varsayılmaktadır. Bölgeden rastgele seçilen $100$ köyde yapılan sayımlarda toplam $900$ traktör olduğu saptanmıştır. Buna göre, $\lambda$ parametresi için %95 güven düzeyinde oluşturulacak büyük örneklem (asimptotik) güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir? ( $z_{0,025} = 1,96$ )

[8,41 \ ; \ 9,59]

outdoor

[8,40 \ ; \ 9,60]

outdoor

[8,51 \ ; \ 9,49]

outdoor

[8,82 \ ; \ 9,18]

outdoor

[7,24 \ ; \ 10,76]

outdoor

Show answer & explanation

Answer: $[8,41 \ ; \ 9,59]$ outdoor

Answer

Hesaplanan %95 asimptotik güven aralığı

[8,41 \ ; \ 9,59]

olarak bulunur.

Verilen örneklemde toplam 900 traktör 100 köye bölündüğünde örneklem ortalaması 9 olarak bulunur. Poisson dağılımında kitle varyansı parametreye (

\lambda

) eşittir. Asimptotik durumda

\bar{X}

tahmin edicisinin varyansı

\lambda/n

olur ve tutarlılık özelliği gereği bu değer

\bar{x}/n

ile tahmin edilir. Standart hata

\sqrt{9/100} = 0,3

olarak hesaplanır. %95 güven düzeyi için

1,96

kritik değeri kullanıldığında hata payı

1,96 \times 0,3 = 0,588

olur. Sonuç olarak

9 \pm 0,588

işlemi

[8,41 \ ; \ 9,59]

aralığını verir.

Step-by-Step Solution

1

Örneklem ortalamasının (

\bar{x}

) hesaplanması

\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{900}{100} = 9

Poisson dağılımında parametre

\lambda

için en çok olabilirlik tahmin edicisi örneklem ortalamasıdır.

2

Tahmin edicinin asimptotik varyansının ve standart hatasının belirlenmesi

Var(\bar{X}) = \frac{\lambda}{n} \approx \frac{\bar{x}}{n} = \frac{9}{100} = 0,09 \implies SH = \sqrt{0,09} = 0,3

Merkezi Limit Teoremi uyarınca

\bar{X}

asimptotik olarak normal dağılır ve Poisson dağılımı için varyans parametreye eşittir.

3

Güven aralığı sınırlarının hesaplanması

\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \times SH = 9 \pm 1,96 \times 0,3 = 9 \pm 0,588

%95 güven düzeyi için kritik

z

değeri olan

1,96

ile standart hata çarpılarak hata payı bulunur.

4

Aralık sınırlarının yuvarlanarak yazılması

Alt Sınır:

9 - 0,588 = 8,412 \approx 8,41

; Üst Sınır:

9 + 0,588 = 9,588 \approx 9,59

İstatistiksel gösterimde genellikle virgülden sonra iki basamak kullanılır.

Key Concept

Poisson dağılımı için en çok olabilirlik tahmin edicisinin (MLE) asimptotik normallik özelliği kullanılarak oluşturulan güven aralığı.

Practice More

Benzer bir soruyu Bernoulli dağılımı (oran tahmini) için uygulayarak asimptotik varyansın nasıl değiştiğini inceleyebilirsiniz.

Estimated Time:2m 0s

Question 52Question →

Bir katılım bankası, yeni devreye aldığı mobil şube arayüzünün kullanıcı memnuniyetini ölçmek amacıyla, farklı yaş gruplarındaki müşterilerinden bağımsız rastgele iki örneklem seçmiştir. Örneklem sonuçları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Yaş Grubu	Örneklem Çapı ( $n$ )	Memnun Müşteri Sayısı ( $x$ )
18-35 Yaş	400	200
36-55 Yaş	400	160

Buna göre, iki yaş grubu arasındaki memnuniyet oranlarının farkı ( $p_1 - p_2$ ) için %95'lik güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir? ( $z_{0,025} = 1,96$ alınız.)

(0,0314 \,;\, 0,1686)

(0,0424 \,;\, 0,1576)

(0,0300 \,;\, 0,1700)

(0,0310 \,;\, 0,1690)

(-0,0686 \,;\, 0,0686)

Show answer & explanation

Answer: $(0,0314 \,;\, 0,1686)$

Answer

(0,0314 \,;\, 0,1686)

aralığı iki kitle oranı farkı için doğru güven aralığıdır.

Verilen örneklem değerlerine göre birinci grubun oranı

0,5

, ikinci grubun oranı

0,4

ve fark

0,1

olarak bulunur. Standart hata

\sqrt{0,001225} = 0,035

olarak hesaplandığında,

1,96

kritik değeri ile çarpılan hata payı

0,0686

olur. Bu değerin nokta tahminine eklenip çıkarılmasıyla doğru aralık elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Örneklem oranlarını hesaplayınız.

\hat{p}_1 = \frac{200}{400} = 0,5

ve

\hat{p}_2 = \frac{160}{400} = 0,4

.

Güven aralığının merkezini oluşturacak olan nokta tahminlerini bulmak için gereklidir.

2

Oran farkını ve örneklem varyanslarını belirleyiniz.

\hat{p}_1 - \hat{p}_2 = 0,1

. Varyanslar:

Var_1 = \frac{0,5 \times 0,5}{400} = 0,000625

ve

Var_2 = \frac{0,4 \times 0,6}{400} = 0,0006

.

Standart hatayı hesaplamak için bağımsız iki örneklemin varyansları toplanmalıdır.

3

Standart hatayı (

SH

) hesaplayınız.

SH = \sqrt{0,000625 + 0,0006} = \sqrt{0,001225} = 0,035

.

Tahmin edicinin yayılımını ölçmek için standart hata gereklidir.

4

Hata payını ve güven sınırlarını oluşturunuz.

0,1 \pm (1,96 \times 0,035) = 0,1 \pm 0,0686

.

%95 güven düzeyi için kritik

z

değeri ile standart hata çarpılarak hata payı bulunur.

Key Concept

İki bağımsız kitle oranı farkı için güven aralığı, büyük örneklemlerde standart normal dağılım (Z) yaklaşımı kullanılarak

(\hat{p}_1 - \hat{p}_2) \pm z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}_1\hat{q}_1}{n_1} + \frac{\hat{p}_2\hat{q}_2}{n_2}}

formülü ile hesaplanır.

Practice More

Güven düzeyinin %99'a çıkarılması durumunda aralık genişliğinin nasıl değişeceğini hesaplayınız.

Estimated Time:2m 0s

Question 53Question →

Sosyal Güvenlik Kurumu (SGK) müfettişleri, bir ildeki eczanelerin aylık ortalama reçete tutarını ( $\mu$ ) tahmin etmek amacıyla rastgele 25 reçeteyi incelemiştir. Yapılan inceleme sonucunda örneklem ortalaması $\bar{x} = 450$ TL ve örneklem standart sapması $s = 50$ TL olarak hesaplanmıştır. Kitle değişkeninin normal dağılım gösterdiği varsayıldığında, kitle ortalaması için %95 güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

( $t_{24, 0.025} = 2.064$ , $z_{0.025} = 1.960$ )

(429.36, 470.64)

(430.40, 469.60)

(346.80, 553.20)

(445.87, 454.13)

(352.00, 548.00)

Show answer & explanation

Answer: $(429.36, 470.64)$

Answer

Kitle ortalaması için %95 güven aralığı

(429.36, 470.64)

olarak hesaplanır.

Kitle varyansı bilinmediği ve örneklem büyüklüğü 25 (30'dan küçük) olduğu için güven aralığı hesaplanırken

t

dağılımı kullanılmalıdır. İlgili serbestlik derecesi

df = 25 - 1 = 24

olup tablo değeri

2.064

olarak verilmiştir. Standart hata

10

birimdir ve bu iki değerin çarpımı olan

20.64

, örneklem ortalamasına eklendiğinde ve çıkarıldığında doğru aralık olan

(429.36, 470.64)

elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Verilen parametrelerin ve uygun dağılımın belirlenmesi

n = 25, \bar{x} = 450, s = 50, \alpha = 0.05

. Kitle varyansı (

\sigma^2

) bilinmiyor ve

n < 30

olduğu için

n-1 = 24

serbestlik dereceli

t

dağılımı kullanılır.

Küçük örneklemlerde kitle varyansı bilinmiyorsa merkezi limit teoremi doğrudan uygulanamaz,

t

istatistiği kullanılır.

2

Standart hatanın hesaplanması

S_{\bar{x}} = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{50}{\sqrt{25}} = \frac{50}{5} = 10

Ortalamanın örnekleme dağılımının yayılımını belirlemek için standart hata hesaplanmalıdır.

3

Hata payının (Margin of Error) hesaplanması

h = t_{24, 0.025} \times S_{\bar{x}} = 2.064 \times 10 = 20.64

Güven düzeyine karşılık gelen kritik değer ile standart hatanın çarpımı hata payını verir.

4

Güven sınırlarının oluşturulması

\bar{x} \pm h = 450 \pm 20.64 \rightarrow (429.36, 470.64)

Örneklem ortalamasına hata payı eklenip çıkarılarak aralık tahmini tamamlanır.

Key Concept

Küçük örneklemlerde (

n < 30

) kitle varyansı bilinmediğinde tek kitle ortalaması için güven aralığı

t

dağılımı kullanılarak oluşturulur.

Question 54Question →

Bir tekstil mühendisi, iki farklı dokuma tezgahından (Tezgah A ve Tezgah B) elde edilen ipliklerin kopma mukavemetlerindeki değişkenliği karşılaştırmak amacıyla bir araştırma yapmaktadır. Tezgah A'dan rastgele seçilen $16$ iplik örneğinin mukavemet varyansı $s_A^2 = 25$ $kg^2$ , Tezgah B'den seçilen $21$ iplik örneğinin mukavemet varyansı ise $s_B^2 = 10$ $kg^2$ olarak hesaplanmıştır. İplik mukavemetlerinin normal dağılım gösterdiği varsayımı altında, bu iki tezgahtan alınan ipliklerin kitle varyanslarının oranına ( $\sigma_A^2 / \sigma_B^2$ ) ilişkin $\%90$ güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

(Not: $F_{0,05; 15, 20} = 2,20$ ve $F_{0,05; 20, 15} = 2,33$ olarak alınız.)

[1,136 ; 5,825]

[0,172 ; 0,880]

[1,073 ; 5,500]

[2,125 ; 2,875]

[0,455 ; 2,500]

Show answer & explanation

Answer: $[1,136 ; 5,825]$

Answer

Kitle varyansları oranı (

\sigma_A^2 / \sigma_B^2

) için

\%90

güven aralığı

[1,136 ; 5,825]

olarak bulunur.

Kitle varyanslarının oranı için oluşturulan

\%90

güven aralığı formülünde, pay ve paydadaki serbestlik derecelerine uygun F kritik değerleri (

2,20

ve

2,33

) kullanıldığında alt sınır

1,136

ve üst sınır

5,825

olarak elde edilir. Bu aralık, kitle varyansları oranını

\%90

güvenle kapsar.

Step-by-Step Solution

1

Nokta tahmin edicisini hesaplayınız.

\frac{s_A^2}{s_B^2} = \frac{25}{10} = 2,5

Güven aralığının merkezini ve oran katsayısını belirlemek için gereklidir.

2

Serbestlik derecelerini belirleyiniz.

\nu_1 = n_A - 1 = 15

ve

\nu_2 = n_B - 1 = 20

F dağılımı kritik değerlerini doğru seçmek için örneklem hacimlerinden bir çıkarılır.

3

Güven aralığı alt ve üst sınır formülünü uygulayınız.

L = \frac{s_A^2/s_B^2}{F_{\alpha/2; \nu_1, \nu_2}} = \frac{2,5}{2,20} = 1,136

ve

U = (s_A^2/s_B^2) \times F_{\alpha/2; \nu_2, \nu_1} = 2,5 \times 2,33 = 5,825

Varyans oranı için geçerli olan pivot fonksiyonu üzerinden aralık sınırları hesaplanır.

Key Concept

İki normal kitlenin varyans oranları için güven aralığı, F dağılımı kullanılarak oluşturulur.

Practice More

Güven aralığının 1 değerini kapsayıp kapsamadığına bakarak kitle varyanslarının eşitliği hakkında yorum yapmayı deneyiniz.

Estimated Time:1m 40s

Question 55Question →

Bir tekstil fabrikasında üretilen ipliklerin kopma mukavemetinin (Newton) $N(\mu, \sigma^2)$ dağılımına uygun olduğu bilinmektedir. Fabrika standartlarına göre mukavemet ortalaması $\mu = 200$ Newton olarak kesin bir şekilde sabitlenmiştir. Kalite kontrol sorumlusu, üretim sürecindeki değişkenliği kontrol etmek amacıyla varyans ( $\sigma^2$ ) parametresi için bir güven aralığı hesaplamak istemektedir. $n$ birimlik bir tesadüfi örneklem ( $X_1, X_2, \dots, X_n$ ) seçildiğinde, $\sigma^2$ parametresi için güven aralığı oluşturmada kullanılabilecek ve **serbestlik derecesi $n$ olan ki-kare ( $\chi^2_n$ ) dağılımına sahip** pivot (eksen) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?

Q = \frac{\sum_{i=1}^{n} (X_i - 200)^2}{\sigma^2}

Q = \frac{\sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2}{\sigma^2}

Q = \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}

Q = \frac{\bar{X} - 200}{\sigma / \sqrt{n}}

Q = \frac{\sum_{i=1}^{n} (X_i - 200)}{\sigma}

Show answer & explanation

Answer: $Q = \frac{\sum_{i=1}^{n} (X_i - 200)^2}{\sigma^2}$

Answer

Varyans parametresi için kitle ortalamasının bilindiği durumda kullanılan pivot fonksiyonu

\frac{\sum (X_i - \mu)^2}{\sigma^2}

şeklindedir.

Kitle ortalaması

\mu

bilindiğinde, her bir gözlemden bilinen bu sabit değer çıkarılıp standart sapmaya bölündüğünde elde edilen standart normal değişkenlerin (

Z_i

) kareleri toplamı, gözlem sayısı olan

n

serbestlik dereceli bir ki-kare dağılımı üretir. Bu durumda

\sigma^2

paydada yer aldığı için bu fonksiyon bir pivot fonksiyonudur.

Step-by-Step Solution

1

Verilen dağılım ve parametrelerin belirlenmesi

X \sim N(\mu, \sigma^2)

ve

\mu = 200

(biliniyor).

Pivot fonksiyonu seçimi, kitle parametrelerinden hangilerinin bilindiğine göre değişir.

2

Değişkenlerin standartlaştırılması

Z_i = \frac{X_i - 200}{\sigma} \sim N(0, 1)

Ki-kare dağılımı, standart normal değişkenlerin karelerinin toplamı olarak tanımlanır.

3

Kareler toplamının dağılımının bulunması

\sum_{i=1}^{n} Z_i^2 = \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{X_i - 200}{\sigma} \right)^2 = \frac{\sum (X_i - 200)^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_n

Bağımsız

n

adet standart normal değişkenin kareleri toplamı,

n

serbestlik dereceli ki-kare dağılımı verir.

Key Concept

Pivot (Eksen) Fonksiyonu Tanımı ve Dağılımı

Hints

1

Bir fonksiyonun pivot olabilmesi için dağılımının bilinmeyen parametreye bağlı olmaması gerekir.

2

Normal dağılımdan gelen örneklemlerde varyans için güven aralığı oluşturulurken genellikle ki-kare dağılımından yararlanılır.

3

Kitle ortalaması biliniyorsa serbestlik derecesinde bir azalma olmaz,

n

olarak kalır.

Practice More

Ortalamanın bilinmediği durumda pivot fonksiyonunun nasıl değiştiğini ve serbestlik derecesindeki farkın nedenini inceleyin.

Estimated Time:1m 30s

Question 56Question →

Devlet Malzeme Ofisi tarafından kamu hastaneleri için tedarik edilecek iki farklı dijital termometre markasının (A ve B) ölçüm hassasiyetleri karşılaştırılmaktadır. A markasından rastgele seçilen 16 adet termometrenin ölçüm varyansı $0,24$ , B markasından rastgele seçilen 21 adet termometrenin ölçüm varyansı ise $0,08$ olarak hesaplanmıştır. Ölçümlerin normal dağılım gösteren bağımsız kitlelerden geldiği varsayımı altında, bu iki markanın kitle varyansları oranının ( $\sigma_A^2 / \sigma_B^2$ ) %95 güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

(Tablo değerleri: $F_{0,025; 15, 20} = 2,57$ ; $F_{0,025; 20, 15} = 2,76$ )

[1,167 ; 8,280]

[1,087 ; 7,710]

[0,121 ; 0,857]

[1,254 ; 4,746]

[0,141 ; 0,920]

Show answer & explanation

Answer: $[1,167 ; 8,280]$

Answer

Termometre markalarının kitle varyansları oranı için %95 güven aralığı

[1,167 ; 8,280]

olarak hesaplanır.

Doğru yanıt olan seçenek, örnek varyansları oranını (

3

) alt sınır için

F_{0,025; 15, 20}

değerine bölerek, üst sınır için ise

F_{0,025; 20, 15}

değeri ile çarparak elde edilen

[1,167 ; 8,280]

aralığını sunmaktadır.

Step-by-Step Solution

1

Serbestlik derecelerini belirleyin.

\nu_A = n_A - 1 = 16 - 1 = 15

ve

\nu_B = n_B - 1 = 21 - 1 = 20

F dağılımı parametreleri için örnek çaplarının bir eksiği kullanılır.

2

Örnek varyansları oranını hesaplayın.

\frac{s_A^2}{s_B^2} = \frac{0,24}{0,08} = 3

Güven aralığının merkezindeki nokta tahmin edici bu orandır.

3

Güven aralığı formülünü uygulayın.

L = \frac{s_A^2}{s_B^2} \cdot \frac{1}{F_{\alpha/2; \nu_A, \nu_B}}

ve

U = \frac{s_A^2}{s_B^2} \cdot F_{\alpha/2; \nu_B, \nu_A}

İki kitle varyansı oranı için alt ve üst sınırlar F dağılımı kritik değerleri kullanılarak belirlenir.

4

Sayısal değerleri yerine koyarak sınırları hesaplayın.

L = \frac{3}{2,57} \approx 1,167

ve

U = 3 \cdot 2,76 = 8,28

Verilen tablo değerleri formüle yerleştirildiğinde alt sınır

1,167

ve üst sınır

8,28

bulunur.

Key Concept

İki kitle varyansı oranı için güven aralığı oluşturulurken pivot değişken olarak

F = \frac{s_1^2/\sigma_1^2}{s_2^2/\sigma_2^2}

istatistiği kullanılır.

Alternative Method

Eğer formülü hatırlamakta zorlanıyorsanız,

F

istatistiğinin tanımından (

\frac{s_1^2/\sigma_1^2}{s_2^2/\sigma_2^2}

) yola çıkarak

P(1/F_{0,025; \nu_2, \nu_1} < \frac{s_1^2/\sigma_1^2}{s_2^2/\sigma_2^2} < F_{0,025; \nu_1, \nu_2})

eşitsizliğini kurup

\sigma_1^2/\sigma_2^2

terimini yalnız bırakabilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 57Question →

İki farklı kamu kurumunda görev yapan personelin uzaktan çalışma sisteminden memnuniyet oranlarını karşılaştırmak amacıyla bir araştırma yapılmıştır. Araştırma kapsamında elde edilen veriler aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Kurum	Örneklem Çapı ( $n$ )	Memnun Olan Personel Sayısı ( $x$ )
A Kurumu	300	180
B Kurumu	300	120

Buna göre, iki kurumdaki personelin memnuniyet oranları farkı ( $p_A - p_B$ ) için %95 güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir? ( $z_{0,025} = 1,96$ )

(0,1342 \,;\, 0,2658)

(0,1216 \,;\, 0,2784)

(0,1200 \,;\, 0,2800)

(0,0968 \,;\, 0,3032)

(0,1969 \,;\, 0,2031)

Show answer & explanation

Answer: $(0,1216 \,;\, 0,2784)$

Answer

İki kitle oranı farkı için %95 güven aralığı

(0,1216 \,;\, 0,2784)

olarak hesaplanır.

Verilen verilere göre A kurumunun memnuniyet oranı

0,60

, B kurumunun memnuniyet oranı ise

0,40

olarak bulunur. Aradaki fark

0,20

'dir. Standart hata, her iki kitlenin varyans tahminlerinin toplamının karekökü olan

0,04

olarak hesaplanır. %95 güven düzeyi için

1,96

kritik değeriyle bu standart hata çarpıldığında hata payı

0,0784

bulunur.

0,20

değerine bu pay eklenip çıkarıldığında

(0,1216 \,;\, 0,2784)

aralığı elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Örneklem oranlarını hesaplayınız.

\hat{p}_A = \frac{180}{300} = 0,60

ve

\hat{p}_B = \frac{120}{300} = 0,40

Güven aralığı formülünde kullanılacak nokta tahmin edicileri belirlemek için.

2

Nokta tahminleri arasındaki farkı bulunuz.

\hat{p}_A - \hat{p}_B = 0,60 - 0,40 = 0,20

Güven aralığının merkez noktasını belirlemek için.

3

Standart hatayı (

SH

) hesaplayınız.

SH = \sqrt{\frac{0,60 \times 0,40}{300} + \frac{0,40 \times 0,60}{300}} = \sqrt{0,0008 + 0,0008} = \sqrt{0,0016} = 0,04

Aralık genişliğini belirlemek üzere hata payı hesaplamasında kullanmak için.

4

Hata payını ve güven sınırlarını hesaplayınız.

0,20 \pm (1,96 \times 0,04) = 0,20 \pm 0,0784

Belirlenen güven düzeyinde alt ve üst sınırları oluşturmak için.

Key Concept

İki bağımsız kitle oranı farkı için güven aralığı, büyük örneklemlerde normal dağılım yaklaşımı kullanılarak

(\hat{p}_1 - \hat{p}_2) \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}_1\hat{q}_1}{n_1} + \frac{\hat{p}_2\hat{q}_2}{n_2}}

formülü ile hesaplanır.

Practice More

Örneklem çaplarının güven aralığı genişliği üzerindeki etkisini incelemek için örneklem boyutlarını iki katına çıkararak aynı soruyu tekrar çözünüz.

Estimated Time:2m 0s

Question 58Question →

Bir kamu kurumunda çalışan personelin günlük ortalama evrak işleme kapasitesini belirlemek amacıyla yapılan bir araştırmada, birim zamanda işlenen evrak sayısının ortalaması $\mu$ ve varyansı $\sigma^2$ olan bir dağılıma sahip olduğu varsayılmaktadır. Bu kitleden $n=64$ birimlik bir rastgele örneklem seçilmiş; örneklem ortalaması $\bar{X}=18$ ve örneklem varyansı $S^2=256$ olarak hesaplanmıştır. Buna göre, Merkezi Limit Teoremi'nden yararlanılarak $\mu$ parametresi için oluşturulan %95'lik asimptotik güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir? ( $Z_{0,025} = 1,96$ )

[14,08 \ ; \ 21,92]

[14,71 \ ; \ 21,29]

[17,51 \ ; \ 18,49]

[14,00 \ ; \ 22,00]

[10,16 \ ; \ 25,84]

Show answer & explanation

Answer: [14,08 \ ; \ 21,92]

Answer

[14,08 \ ; \ 21,92]

aralığı doğru asimptotik güven aralığıdır.

Doğru cevap olan

[14,08 \ ; \ 21,92]

seçeneği, asimptotik (büyük örneklem) güven aralığı formülü kullanılarak elde edilmiştir. Örneklem hacmi

n=64

(30'dan büyük) olduğu için Merkezi Limit Teoremi geçerlidir. Bu durumda standart hata

16/8=2

olarak bulunur ve %95 güven düzeyi için kullanılan 1,96 kritik değeriyle çarpıldığında 3,92 marjinal hata elde edilir. 18 olan örneklem ortalamasından bu değerin çıkarılması ve eklenmesi sonucunda doğru sınırlara ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Örneklem istatistiklerini ve parametreleri belirle.

\bar{X} = 18

,

S^2 = 256

(yani

S = 16

),

n = 64

ve

Z_{0,025} = 1,96

.

Hesaplama için gerekli olan merkezi eğilim ve yayılım ölçülerini tespit etmek gerekir.

2

Standart hatayı hesapla.

SE = \frac{S}{\sqrt{n}} = \frac{16}{\sqrt{64}} = \frac{16}{8} = 2

.

Örneklem ortalamasının standart sapması olan standart hata, güven aralığının genişliğini belirler.

3

Güven sınırlarını hesapla.

\bar{X} \pm Z_{\alpha/2} \cdot SE = 18 \pm (1,96 \times 2) = 18 \pm 3,92

.

Asimptotik güven aralığı formülü olan

\bar{X} \pm Z_{\alpha/2} \frac{S}{\sqrt{n}}

ifadesi uygulanır.

4

Alt ve üst sınır değerlerini bul.

Alt sınır:

18 - 3,92 = 14,08

; Üst sınır:

18 + 3,92 = 21,92

.

Nokta tahmininden marjinal hata çıkarılıp eklenerek aralık tamamlanır.

Key Concept

Büyük örneklem hacmine (

n \to \infty

) sahip kitlelerde, kitlenin dağılımı normal olmasa bile Merkezi Limit Teoremi gereği örneklem ortalaması asimptotik olarak normal dağılır ve güven aralığı hesaplanırken Z tablosu kullanılır.

Question 59Question →

Hazine ve Maliye Bakanlığı, iki farklı kalkınma bölgesinde uygulanan yeni yatırım teşvik sistemlerinin etkinliğini karşılaştırmak amacıyla bağımsız rastgele örneklemler seçmiştir. Yapılan inceleme sonuçları aşağıdaki tabloda özetlenmiştir:

Bölge	İncelenen Yatırım Sayısı ( $n$ )	Hedeflenen İstihdama Ulaşan Sayısı ( $x$ )
A Bölgesi	$600$	$180$
B Bölgesi	$400$	$80$

Buna göre, iki bölgedeki yatırım başarı oranları (hedeflenen istihdama ulaşma oranları) arasındaki fark ( $p_A - p_B$ ) için %95 güven düzeyinde oluşturulacak güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir? ( $z_{0,025} = 1,96$ alınız.)

(0,0463 \,;\, 0,1537)

(0,0445 \,;\, 0,1555)

(0,0550 \,;\, 0,1450)

(0,0985 \,;\, 0,1015)

(0,0346 \,;\, 0,1654)

Show answer & explanation

Answer: $(0,0463 \,;\, 0,1537)$

Answer

İki kitle oranı farkı için %95 güven aralığı

(0,0463 \,;\, 0,1537)

olarak hesaplanır.

Verilen verilerle örneklem oranları

0,30

ve

0,20

olarak bulunur. Farkın varyansı

0,00075

ve standart hatası

\sqrt{0,00075} \approx 0,0274

hesaplanır. %95 güven düzeyi için

1,96

çarpanı ile hata payı

0,0537

olarak belirlenir. Bu değer

0,10

farkına uygulandığında

(0,0463 \,;\, 0,1537)

aralığına ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Örneklem oranlarının hesaplanması

\hat{p}_A = \frac{180}{600} = 0,30

ve

\hat{p}_B = \frac{80}{400} = 0,20

Kitle oranlarının nokta tahmin edicilerini bulmak için başarı sayıları örneklem büyüklüklerine bölünür.

2

Oranlar farkının standart hatasının hesaplanması

SE = \sqrt{\frac{0,3 \times 0,7}{600} + \frac{0,2 \times 0,8}{400}} = \sqrt{0,00035 + 0,0004} = \sqrt{0,00075} \approx 0,027386

İki bağımsız kitle oranının farkının varyansı, ayrı ayrı varyansların toplamına eşittir.

3

Hata payının hesaplanması

ME = 1,96 \times 0,027386 \approx 0,0537

%95 güven düzeyi için kritik

z

değeri ile standart hata çarpılır.

4

Güven aralığı sınırlarının belirlenmesi

(0,3 - 0,2) \pm 0,0537 \rightarrow (0,0463 \,;\, 0,1537)

Oranlar farkına hata payı eklenip çıkarılarak aralık oluşturulur.

Key Concept

İki bağımsız kitle oranı farkı (

p_1 - p_2

) için güven aralığı, örneklem büyüklükleri yeterli olduğunda normal dağılım yaklaşımı kullanılarak

(\hat{p}_1 - \hat{p}_2) \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}_1\hat{q}_1}{n_1} + \frac{\hat{p}_2\hat{q}_2}{n_2}}

formülü ile hesaplanır.

Question 60Question →

Tarım ve Orman Bakanlığı tarafından bir bölgedeki mısır üreticilerinin dekara aldıkları ortalama verimi ( $\mu$ ) belirlemek amacıyla yapılan çalışmada, rastgele seçilen $n = 16$ tarladan elde edilen örneklem ortalaması $\bar{x} = 500$ kg/dekar ve örneklem standart sapması $s = 40$ kg/dekar olarak bulunmuştur. Verimin kitlede normal dağıldığı varsayıldığında, kitle ortalaması ( $\mu$ ) için %95 düzeyindeki güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir? (Not: $z_{0,025} = 1,96$ ; $t_{15; 0,025} = 2,131$ ; $t_{16; 0,025} = 2,120$ )

(478,69; \; 521,31)

(480,40; \; 519,60)

(478,80; \; 521,20)

(414,76; \; 585,24)

(494,67; \; 505,33)

Show answer & explanation

Answer: $(478,69; \; 521,31)$

Answer

(478,69; \; 521,31)

aralığı, kitle ortalaması için doğru %95 güven aralığıdır.

Verilen problemde kitle varyansı bilinmemekte ve örneklem hacmi (

n=16

) küçüktür. Bu durumda güven aralığı hesaplanırken

n-1=15

serbestlik dereceli t-dağılımı kullanılmalıdır. İlgili kritik değer (

t_{15; 0,025} = 2,131

) ve standart hata (

40/\sqrt{16} = 10

) çarpılarak elde edilen hata payı (

21,31

), örneklem ortalamasına (

500

) uygulanmıştır.

Step-by-Step Solution

1

Parametreleri ve dağılım şartlarını belirleme

n = 16

,

\bar{x} = 500

,

s = 40

,

\alpha = 0,05

.

Kitle varyansı bilinmediği ve

n < 30

olduğu için

n-1 = 15

serbestlik dereceli t-dağılımı kullanılmalıdır.

2

Standart hatayı hesaplama

S_{\bar{x}} = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{40}{\sqrt{16}} = 10

.

Güven aralığı genişliğini belirlemek için örnekleme dağılımının standart sapması (standart hata) gereklidir.

3

Hata payını (ME) hesaplama

ME = t_{15; 0,025} \times S_{\bar{x}} = 2,131 \times 10 = 21,31

.

Seçilen güven düzeyindeki kritik değer ile standart hatanın çarpımı hata payını verir.

4

Güven aralığı sınırlarını oluşturma

500 \pm 21,31 \Rightarrow (478,69; \; 521,31)

.

Örneklem ortalamasına hata payı eklenip çıkarılarak aralık tahmini tamamlanır.

Key Concept

Küçük örneklemlerde (

n < 30

) ve kitle varyansı bilinmediğinde, kitle ortalaması için güven aralığı oluşturulurken t-dağılımı (

df=n-1

) kullanılır.

Practice More

Kitle varyansının bilindiği varsayımı altında aynı verilerle güven aralığının nasıl daralacağını karşılaştırınız.

Estimated Time:2m 0s

Aralık Tahmini

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes