Parametre Tahmin Yöntemleri

Bir kamu kurumunun bilgi işlem merkezinde, gelen destek taleplerinin yanıtlanma süresi ($X$, saat cinsinden) bir rastgele değişken olup beklenen değeri $E[X] = 2\theta$ olarak ifade edilmektedir. Merkezden rastgele seçilen 5 talebin yanıtlanma süreleri aşağıda verilmiştir:

3, 5, 2, 6, 4

Buna göre, $\theta$ parametresinin momentler yöntemi (MoM) ile elde edilen nokta tahmini aşağıdakilerden hangisidir?

Bir kitlenin olasılık yoğunluk fonksiyonu $\theta > 0$ parametresi ile şu şekilde verilmiştir:

Bu kitleden alınan $n$ birimlik bir rastgele örneklem temelinde, $\theta$ parametresinin herhangi bir yansız tahmin edicisinin varyansı için Cramer-Rao alt sınırı aşağıdakilerden hangisidir?

$\theta$ parametresini tahmin etmek amacıyla kullanılan bir $\hat{\theta}_n$ tahmin edicisinin hata kareler ortalaması ($MSE$) şu şekilde tanımlanmıştır:

Örneklem hacmi $n$ sonsuza giderken, bu tahmin edicinin hata kareler ortalamasının limitinin sıfır olduğu (${\lim_{n \to \infty} MSE(\hat{\theta}_n) = 0}$) bilinmektedir. Buna göre $\hat{\theta}_n$ tahmin edicisi $\theta$ parametresi için aşağıdakilerden hangisidir?

Bir kamu hizmet merkezinde işlem sırası bekleyen vatandaşların bekleme sürelerinin, beklenen değeri (ortalaması) $\theta$ olan üstel dağılıma uygun olduğu varsayılmaktadır. Örneklem verilerine dayanarak $\theta$ parametresinin en çok olabilirlik tahmin edicisi $\hat{\theta} = 10$ dakika olarak hesaplanmıştır. En çok olabilirlik tahmin edicilerinin değişmezlik (invariance) özelliği dikkate alındığında, birim zamandaki ortalama hizmet hızı olan $\lambda = \frac{1}{\theta}$ parametresinin en çok olabilirlik tahmin edicisi aşağıdakilerden hangisidir?

Bir belediyenin kurumsal iletişim merkezine gelen ardışık iki telefon araması arasındaki süre (dakika), $\theta$ parametreli ve $f(x; \theta) = \frac{1}{\theta} e^{-x/\theta}, x > 0$ olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip üstel dağılıma uygundur. Rastgele seçilen $n$ birimlik bir örneklem $X_1, X_2, \dots, X_n$ olduğuna göre, $\theta$ parametresi için Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi ile elde edilen yeterli istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

Bir belediyenin fen işleri müdürlüğü, şehir merkezindeki kaldırımların genişliğini ($X$, metre cinsinden) incelemektedir. $X$ rastgele değişkeninin $0$ ile $\theta+1$ aralığında düzgün (üniform) dağılım gösterdiği varsayılmaktadır. Örneklem olarak seçilen 4 kaldırımın genişliği $1,5$; $2,5$; $3,0$ ve $1,0$ metre olarak ölçülmüştür. Momentler yöntemi kullanılarak elde edilen $\theta$ parametresinin tahmin değeri kaçtır?

$X_1, X_2, \dots, X_n$ bir kitleden alınan $n$ birimlik bir rastgele örneklem olsun. Söz konusu kitlenin olasılık kütle fonksiyonu, $\theta > 0$ parametresi ile şu şekilde verilmiştir:

Buna göre, $\theta$ parametresinin her yansız tahmin edicisinin varyansı için Cramer-Rao alt sınırı aşağıdakilerden hangisidir?

Bir araştırmacı, 10 gözlemden oluşan bir veri seti üzerinde basit doğrusal regresyon analizi yapmaktadır. Yapılan hesaplamalar sonucunda bağımsız değişkenin aritmetik ortalaması $\bar{x} = 5$ ve bağımlı değişkenin aritmetik ortalaması $\bar{y} = 12$ olarak bulunmuştur. En Küçük Kareler (EKK) yöntemiyle tahmin edilen regresyon doğrusunun eğim katsayısı $\hat{\beta}_1 = 2,5$ olduğuna göre, bu regresyon doğrusunun sabit terimi (kesim noktası) olan $\hat{\beta}_0$ değeri kaçtır?

Bir gıda kontrol laboratuvarında analiz edilen ürünlerin tuz miktarları (gram), varyansı $\sigma^2=16$ olan normal dağılıma uymaktadır. Bu analizlerden elde edilen $n$ birimlik bir rastgele örneklem $X_1, X_2, \dots, X_n$ olduğuna göre, kitle ortalaması $\mu$ parametresinin Lehmann-Scheffe teoremi uyarınca düzgün en küçük varyanslı yansız tahmin edicisi (UMVUE) aşağıdakilerden hangisidir?

Bir kamu kurumunun arşiv dairesinde dosyaların dijitalleşme süreleri (dakika), ortalaması $\mu = 15$ olan normal dağılıma uymaktadır. Arşivden rastgele seçilen $n$ adet dosyanın dijitalleşme süreleri $X_1, X_2, \dots, X_n$ ile gözlemlendiğine göre, kitle varyansı $\sigma^2$ için düzgün en küçük varyanslı yansız tahmin edici (UMVUE) aşağıdakilerden hangisidir?

Bir araştırmacı, başarı olasılığı $p$ olan bir Bernoulli dağılımından $X_1, X_2, \dots, X_n$ ($n > 1$) şeklinde $n$ çaplı bir rastgele örneklem çekmiştir. $p$ parametresini tahmin etmek için sadece ilk gözleme dayalı olan $T = X_1$ yansız tahmin edicisini tanımlamıştır. Ayrıca, $S = \sum_{i=1}^n X_i$ istatistiğinin $p$ için yeterli (sufficient) olduğu bilinmektedir.

Rao-Blackwell teoremi uyarınca, $T$ tahmin edicisi $S$ yeterli istatistiği verildiğinde koşullandırılarak $T^* = E[T|S]$ şeklinde yeni bir tahmin edici elde ediliyor.

Buna göre, Rao-Blackwell teoreminin sağladığı varyans iyileştirmesi miktarını veren $Var(T) - Var(T^*)$ farkı aşağıdakilerden hangisidir?

Buna göre, $\theta$ parametresinin momentler yöntemi tahmin edicisi ($\hat{\theta}_{MoM}$) aşağıdakilerden hangisidir?

Düzenlilik (regularity) koşullarını sağlayan belirli bir parametrik aileden alınan rastgele örneklem üzerinden elde edilen en çok olabilirlik tahmin edicisi (Maximum Likelihood Estimator - MLE) ve özellikleri ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

$X_1, X_2, \dots, X_n$ rastgele değişkenleri, olasılık yoğunluk fonksiyonu

olan bir kitleye ait bağımsız ve özdeş dağılımlı (i.i.d.) bir örneklem olsun ($\theta > 0$ bilinmeyen bir parametredir).

Buna göre, kitlenin beklenen değeri olan $E[X]$ parametresinin en çok olabilirlik tahmin edicisi (MLE) aşağıdakilerden hangisidir?

Bir fabrikada üretilen parçaların kusurlu olma olasılığı $p$'dir. Bu fabrikadan rastgele seçilen $n$ adet parçanın kusurlu olup olmama durumu $X_1, X_2, \ldots, X_n$ Bernoulli rastgele değişkenleri ile modellenmektedir ($P(X_i=1)=p$).

Kalite kontrol birimi, kitle varyansı olan $\theta = p(1-p)$ parametresini tahmin etmek istemektedir.

$T = \sum_{i=1}^n X_i$ istatistiğinin $p$ için tam ve yeterli (complete and sufficient) olduğu bilindiğine göre, Lehmann-Scheffe teoremi uyarınca $\theta$'nın Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edicisi (UMVUE) aşağıdakilerden hangisidir?